陳波,劉有余*,

(1.高端裝備先進(jìn)感知與智能控制教育部重點實驗室,安徽蕪湖 241000;2.安徽工程大學(xué) 機械工程學(xué)院,安徽蕪湖 241000)

軌跡規(guī)劃是機器人控制的基礎(chǔ),其性能對機器人作業(yè)效率和運動平穩(wěn)性有決定性意義。軌跡規(guī)劃大多采用示教和插值的方法[1],示教雖然一定程度上能夠緩解部分勞動強度,但是不能確保軌跡平滑、運行平穩(wěn);插值可以克服示教不能保證軌跡平滑的問題,但是在時間間隔較小時,容易出現(xiàn)軌跡超出機器人運動極限的情況。時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃[2]以插值為基礎(chǔ),引入約束和最優(yōu)化的概念,能夠彌補示教和插值的缺陷,最大限度地發(fā)揮機器人的性能,保證時間最短的前提下,使得軌跡平滑、運行平穩(wěn),適用于局部或較高要求的軌跡規(guī)劃任務(wù)。Liu等[3]利用遺傳算法全局尋優(yōu)的特性,對軌跡采用自適應(yīng)遺傳算法進(jìn)行時間最優(yōu)尋優(yōu);居鶴華等[4]提出一種基于3-5-3多項式插值算法,以時間構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),利用粒子群算法結(jié)構(gòu)簡單,參數(shù)可調(diào)等特性,提高了效率,但該算法不能應(yīng)用于過路徑點的軌跡規(guī)劃,限制了其可應(yīng)用范圍;南文虎等[5]提出一種基于修型/射靶算法的時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃算法,相比于參數(shù)化多項式優(yōu)化算法,無論在獲得解的時間和質(zhì)量都要更好,但該算法因復(fù)雜難以實現(xiàn),且無法約束脈沖大小。國內(nèi)外對于時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃的研究,更多地從單一的多約束優(yōu)化[6-9]轉(zhuǎn)向結(jié)合其他優(yōu)化工具的聯(lián)合優(yōu)化。例如,免疫算法[10]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法[11]、混沌算法[12]、蟻群算法[13]以及序列二次規(guī)劃算法[14],取得了一定的效果,但多算法融合帶來的更多是加重計算負(fù)荷。

本文基于3次樣條插值理論,構(gòu)建機械臂參數(shù)化軌跡;通過罰函數(shù)法,建立時間最優(yōu)數(shù)學(xué)模型;提出雙種群粒子群算法(Double-population particle swarm optimization algorithm,DPSO),優(yōu)化適應(yīng)度函數(shù);最后,通過性能仿真實驗對比分析。

1 3次樣條軌跡構(gòu)建

本文研究時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃時,假定通過路徑規(guī)劃,在關(guān)節(jié)空間中已形成由n個關(guān)鍵點組成無碰離散路徑。本文所述插值過程為過路徑點插值,中間點除位置信息均未知,不同段若采用不同次數(shù)多項式插值,則缺少約束條件。對于N次多項式,其函數(shù)滿足N-1階連續(xù),求解需要N+1個獨立方程,為使軌跡位置、速度及加速度曲線平滑,即二階連續(xù),則至少需要3次多項式,考慮到高階多項式的計算效率慢,不宜采用,本文選擇3次多項式。對于每一段路徑,給定時間間隔,兩端點位置、速度有4個方程,其系數(shù)是唯一確定的。

(1)

(2)

(3)

2 時間最優(yōu)數(shù)學(xué)模型

以時間為優(yōu)化目標(biāo),由前文知時間間隔序列為[h0,h1,…,hn-1],則目標(biāo)函數(shù)f為運行時間間隔之和,即

(4)

(5)

根據(jù)式(4)和式(5)所得為有約束優(yōu)化問題,問題的邊界難以確定,采用罰函數(shù)法,見式(6),將有約束轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題,避免優(yōu)化問題的復(fù)雜性。

(6)

結(jié)合目標(biāo)函數(shù)(式(4))、約束條件(式(5))及罰函數(shù)(式(6)),構(gòu)建適應(yīng)度函數(shù)fitness,即

(7)

式中:ε1,ε2,ε3為罰函數(shù)權(quán)重。

3 雙種群粒子群算法

為克服粒子群算法局部最優(yōu)的缺陷,提出雙種群粒子群算法,每一代開始迭代時,將種群按比例隨機劃分為發(fā)現(xiàn)者和跟隨者種群。發(fā)現(xiàn)者隨機更新位置,維持種群多樣性;跟隨者跟隨個體極值和全局極值更新位置;然后,去除粒子的速度,增大隨機性。

對于粒子k,定義種群劃分系數(shù)α,則種群劃分公式為

(8)

式中:r為隨機數(shù),區(qū)間為(0,1);T為粒子類型;0為發(fā)現(xiàn)者;1為跟隨者。

依據(jù)式(8)劃分種群,設(shè)置發(fā)現(xiàn)者及跟隨者粒子位置更新公式為

Xk=Xrk1+r1·(Xrk2-Xrk3)

(9)

(10)

4 時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃

利用雙種群粒子群算法進(jìn)行時間最優(yōu)軌跡規(guī)劃,流程圖見圖1。

圖1 雙種群粒子群算法步驟

步驟1 初始化參數(shù),包括種群大小、迭代次數(shù)及劃分系數(shù)等;

步驟2 計算適應(yīng)度,更新粒子個體和全局極值;

步驟3 判斷是否達(dá)到結(jié)束條件,若滿足,則返回最優(yōu)值并結(jié)束,否則轉(zhuǎn)步驟4;

步驟4 劃分種群,根據(jù)式(8)劃分跟隨者和發(fā)現(xiàn)者種群;

步驟5 更新粒子位置,根據(jù)式(9)和式(10)分別更新發(fā)現(xiàn)者和跟隨者粒子位置;

步驟6 合并種群,重復(fù)執(zhí)行步驟2～步驟5,直到滿足結(jié)束條件。

5 仿真及結(jié)果分析

以6自由度機械臂為例進(jìn)行仿真實驗,來說明所提方法性能。其中,待優(yōu)化軌跡上各個關(guān)鍵點在關(guān)節(jié)空間的矢量見表1,機械臂各關(guān)節(jié)速度、加速度及加加速度約束[16]見表2。

表1 路徑關(guān)鍵點關(guān)節(jié)位移

表2 機械臂各關(guān)節(jié)約束值

以表1數(shù)據(jù)為點信息,以表2數(shù)據(jù)為約束條件,選擇粒子群算法(PSO)、量子粒子群算法(QPSO)及雙種群粒子群算法(DPSO),進(jìn)行仿真實驗。對于每一種算法,控制其主要影響系數(shù)(ω、α和s),分別在0～1之間選取3個值(分別為趨向于0的0.2、中值及趨向于1的0.8),進(jìn)行仿真實驗。

如表3所示,從單一算法看,PSO算法在ω較大時的尋優(yōu)結(jié)果較好,QPSO算法在α較大時的尋優(yōu)結(jié)果較好,DPSO算法在s趨于中值時的尋優(yōu)效果較好;如圖2所示,從整體來看,3種算法的均值收斂曲線位置關(guān)系從上往下依次為PSO算法、QPSO算法及DPSO算法,即表明所提算法收斂性優(yōu)于對比算法。

表3 多算法多次運行統(tǒng)計數(shù)據(jù)

圖2 多算法多次運行時間均值收斂曲線

為消除參數(shù)影響,篩選表3最優(yōu)參數(shù)對應(yīng)項,見表4,可見所提算法相較于PSO算法和QPSO算法,最優(yōu)值分別減少43.83%和1.75%、平均值分別減少54.62%和17.05%及標(biāo)準(zhǔn)差分別減少91.38%和83.80%,進(jìn)一步表明所提算法無論是單項還是綜合性能與對比算法相比都具有優(yōu)勢。

表4 最優(yōu)系數(shù)對應(yīng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)

表5為DPSO算法得到的最優(yōu)時間間隔,通過3次樣條插值,得到速度、加速度及加加速度的變化曲線,見圖3,圖3a)～圖3f)分別對應(yīng)1～6關(guān)節(jié),對應(yīng)最大值如表6所示。圖3a)中速度、加速度及加加速度分別為最大約束的50.86%、19.47%及40.76%,同樣地,圖3b)為39.13%、40.04%及61.52%,圖3c)為23.89%、26.37%及55.65%,圖3d)為13.90%、41.96%及69.16%,圖3e)及17.59%、18.16%和26.11%,圖3f)為40.47%、79.13%及95.04%。綜上,機械臂各關(guān)節(jié)軌跡平滑,速度曲線、加速度曲線以及加加速度曲線能夠滿足約束條件,在速度層面最大僅為最大約束的79.13%、加速度層面最大僅為最大約束的79.13%及加加速度層面最大為95.04%?？偟?77.78%處于50%左右,遠(yuǎn)離給定的約束條件,保證了較小沖擊。

表5 DPSO算法最優(yōu)時間間隔(s=0.5)

圖3 DPSO最優(yōu)時間間隔對應(yīng)各關(guān)節(jié)速度、加速度及加加速度變化曲線

表6 DPSO最優(yōu)時間間隔對應(yīng)各關(guān)節(jié)速度、加速度及加加速度最大值

6 結(jié)論

1)基于3次樣條插值原理,結(jié)合運動學(xué)連續(xù)性條件,推導(dǎo)出運動軌跡的多項式表達(dá)式,實現(xiàn)了過路徑點插值。

2)基于有約束優(yōu)化問題,提出了雙種群粒子群算法。簡化粒子位置更新行為、分化粒子職能及采用罰函數(shù)法定義適應(yīng)度函數(shù),都利于提高搜索速率,獲取全局最優(yōu)解。

3)仿真發(fā)現(xiàn)所提算法綜合性能優(yōu)于對比算法,能夠更快速地搜索高質(zhì)量的解,相較于PSO和QPSO,最優(yōu)值分別減少43.83%和1.75%、平均值分別減少54.62%和17.05%以及標(biāo)準(zhǔn)差分別減少91.38%和83.80%;結(jié)果表明所提方法能夠使所得軌跡各關(guān)節(jié)位移、速度和加速度平滑無突變,速度、加速度和加加速度最大值77.78%處于50%最大約束左右,遠(yuǎn)離給定的約束條件,保證了較小沖擊。