蘇綺夢(mèng) 肖娟

北京第三十五中學(xué)（北京市 100037）

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版2020 年修訂）》在課程實(shí)施建議中指出：“學(xué)校應(yīng)根據(jù)自身的情況，推動(dòng)國(guó)家課程的全面落實(shí)，建設(shè)有特色的校本課程，適應(yīng)學(xué)生多樣化的發(fā)展的需求，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展?！盵1]數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是衡量拔尖創(chuàng)新人才的重要指標(biāo)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)是開(kāi)發(fā)與實(shí)施數(shù)學(xué)校本選修課程的應(yīng)然追求。在國(guó)家課程框架下的課堂教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的主陣地，但常常由于課時(shí)緊張，導(dǎo)致實(shí)施拓展性學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)無(wú)法一一展開(kāi)，因此基于我校六年貫通人才培養(yǎng)的優(yōu)勢(shì)，針對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生探索和開(kāi)發(fā)校本選修課程是必要的，也是極具價(jià)值的。

2 聚焦數(shù)學(xué)育人方式，確立指向素養(yǎng)的目標(biāo)體系

為發(fā)展拔尖創(chuàng)新人才數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)我校六年一貫制項(xiàng)學(xué)部的育人目標(biāo)，我們將人教版教科書(shū)部分內(nèi)容進(jìn)行重構(gòu)拓展，增加了適合我校學(xué)情的部分競(jìng)賽知識(shí)，開(kāi)發(fā)并實(shí)施了初中數(shù)學(xué)優(yōu)秀生培養(yǎng)校本選修課程，確定了如圖1 所示的五個(gè)主題。

在目標(biāo)維度設(shè)定過(guò)程中參照經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（Organization for Economic Cooperation and Development,OECD）“ 教育2030”項(xiàng)目，在討論了“教什么，學(xué)什么”和“怎么教，怎么學(xué)”兩個(gè)方面基礎(chǔ)上強(qiáng)調(diào)“能力”處于學(xué)習(xí)的重要地位，并將能力劃分為：知識(shí)、技能、態(tài)度與價(jià)值觀。[2]基于OECD 對(duì)能力維度劃分及課程標(biāo)準(zhǔn)目標(biāo)設(shè)定，課程目標(biāo)將從知識(shí)技能、思維與表達(dá)、交流與反思三方面進(jìn)行具體闡述，如表1。

表1 課程目標(biāo)

3 挖掘核心素養(yǎng)元素，選擇衍生拓展的課程內(nèi)容

在新課程與新高考改革的背景下，著眼于拔尖創(chuàng)新人才數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的培養(yǎng)目標(biāo)、學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)，結(jié)合“六年一貫制”初中學(xué)部的實(shí)際，如表2，將本課程的內(nèi)容分為五個(gè)主題和18 個(gè)課題，具體學(xué)習(xí)內(nèi)容如下：

表2 課程內(nèi)容

整個(gè)課程內(nèi)容的設(shè)計(jì)圍繞著發(fā)展拔尖創(chuàng)新人才數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)，融合了五大主題，給予學(xué)生多元的知識(shí)探索和科學(xué)探究的空間，夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、發(fā)展數(shù)學(xué)能力。通過(guò)對(duì)義務(wù)教育初中學(xué)段國(guó)家課程內(nèi)容進(jìn)行拓展，擴(kuò)大學(xué)生數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值。

4 落實(shí)素養(yǎng)發(fā)展理念，開(kāi)創(chuàng)扎實(shí)有效的實(shí)施路徑

通過(guò)同年級(jí)學(xué)生自主報(bào)名并進(jìn)行選拔，每個(gè)年級(jí)挑選20-25 名數(shù)學(xué)資優(yōu)生作為授課對(duì)象，每學(xué)期安排16 次課，每周兩課時(shí)。以2030 學(xué)習(xí)框架作為指導(dǎo)，深入思考需要培養(yǎng)學(xué)生怎樣的能力，不斷探索培養(yǎng)方式，主要實(shí)施方法如下：

4.1 提供思維拓展型課題，提高學(xué)生思維的敏捷性和靈活性

提供思維拓展型課題，指導(dǎo)學(xué)生廣泛聯(lián)想，拓寬思路，選擇最佳解題路徑。使學(xué)生在面臨問(wèn)題時(shí)能夠從多角度進(jìn)行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到舉一反三。

例如，在八年級(jí)《圖形的內(nèi)部結(jié)構(gòu)及其性質(zhì)》單元教學(xué)中，教師提出以下問(wèn)題：

問(wèn)題1 如圖1，正方形ABCD中，AD=10 米，E，F(xiàn)，G，H分別為各邊的中點(diǎn)，求陰影部分的面積。

圖1

學(xué)生嘗試用不同的方法解決問(wèn)題，有同學(xué)開(kāi)始對(duì)分割出的各部分小面積逐個(gè)進(jìn)行討論，嘗試?yán)谜叫蚊娣e減去多余面積求解陰影面積；有同學(xué)發(fā)現(xiàn)直角梯形的上底與小三角形一條邊重合，且梯形的高等于三角形的高，故可以將圖形進(jìn)行割補(bǔ)重組。將原圖割補(bǔ)為圖2 所示，通過(guò)割補(bǔ)后的圖形易知，正方形面積等于陰影面積的五倍。正方形面積為100 平方米，故陰影面積為20 平方米。

圖2

問(wèn)題2 如圖3，E、F、G、H分別為各邊的中點(diǎn)，且Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ號(hào)三角形面積之和為2，求陰影部分面積。

圖3

變式在原問(wèn)題基礎(chǔ)上將特殊的四邊形變化為一般四邊形，進(jìn)而試圖探究一般性結(jié)論。

具體解法如下：不妨設(shè)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ號(hào)三角形面積之和為S0,S0=SⅠ+SⅡ+SⅢ+SⅣ=2,

問(wèn)題3 你能類(lèi)比以上問(wèn)題提出自己的見(jiàn)解并證明你的想法嗎？

這個(gè)問(wèn)題作為課后拓展作業(yè)，放手讓學(xué)生去做。波利亞認(rèn)為：學(xué)東西的最好途徑是親自去發(fā)現(xiàn)它，最富有成效的學(xué)習(xí)是學(xué)生自己去探索、去發(fā)現(xiàn)。

本節(jié)課教師圍繞圖形的面積不斷設(shè)疑，根本目的就是教會(huì)學(xué)生思考，這種思考的過(guò)程就是數(shù)學(xué)思維得以鍛煉的過(guò)程。通過(guò)提供思維拓展型課題，可以加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的理解，鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)問(wèn)題研究能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維的廣度和深度。

4.2 開(kāi)展研究型課題，發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和深刻性

開(kāi)展研究型課題，挖掘題目的豐富內(nèi)涵，調(diào)整和完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，教育學(xué)生學(xué)會(huì)透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，學(xué)會(huì)全面思考問(wèn)題，養(yǎng)成追根究底的習(xí)慣。

例如，在七年級(jí)《邏輯推理》單元教學(xué)中，教師提出以下問(wèn)題：

問(wèn)題1：隨意寫(xiě)出一個(gè)四位數(shù)，它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字不都相等。用這個(gè)四位數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字組成一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)，得到一個(gè)新的四位數(shù)。對(duì)于新得到的四位數(shù)，一直重復(fù)上面的運(yùn)算，看一看，最后你們會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？

提出這個(gè)問(wèn)題后，每位同學(xué)都寫(xiě)出了自己心目中的四位數(shù)，并按問(wèn)題規(guī)則進(jìn)行有理數(shù)運(yùn)算，神奇的是雖然大家隨意想出的四位數(shù)字都不盡相同，但最后發(fā)現(xiàn)運(yùn)算結(jié)果始終是6174，并在6174 這一個(gè)四位數(shù)上不斷循環(huán)。此時(shí)，學(xué)生產(chǎn)生了極大的困惑與認(rèn)知沖突，迫不及待想要尋找問(wèn)題背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

教師介紹了6174 這個(gè)數(shù)學(xué)黑洞：在數(shù)學(xué)的王國(guó)中，“6174”是一個(gè)神秘的數(shù)字黑洞，之所以說(shuō)“6174”是數(shù)學(xué)黑洞，是因?yàn)闊o(wú)論你怎么換那4個(gè)數(shù)字，只要不是完全重復(fù)，最后都逃脫不了“6174”的魔掌。

問(wèn)題2：針對(duì)數(shù)學(xué)黑洞，你能提出什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，課后借助網(wǎng)絡(luò)、書(shū)籍等途徑查詢(xún)資料，第二課時(shí)教學(xué)內(nèi)容為學(xué)生以小組為單位展示研究成果。學(xué)生提出不同的問(wèn)題并加以解決。

小組1：這個(gè)問(wèn)題如何證明？

小組2：為什么四位數(shù)的黑洞是6174 呢？此數(shù)有何特點(diǎn)？

小組3：既然四位數(shù)有一個(gè)黑洞6174，那么二位數(shù)、三位數(shù)、五位數(shù)有無(wú)類(lèi)似結(jié)論？

小組4：其他數(shù)學(xué)黑洞介紹：123 黑洞、谷角猜想、153 黑洞。

一個(gè)好的素材就好比一座“金礦”，數(shù)字黑洞就是數(shù)學(xué)中的一個(gè)寶貴礦床，首先，因?yàn)樗慕Y(jié)論具有奇異性，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的重要載體。第二，在證明這些數(shù)字黑洞的過(guò)程中，學(xué)生展開(kāi)想象的翅膀，對(duì)于6174 黑洞進(jìn)行深入思考，在這個(gè)過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生思維的廣闊性和深刻性。

4.3 創(chuàng)設(shè)合作型課題，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)立性和創(chuàng)造性

OECD 強(qiáng)調(diào)“每個(gè)人都應(yīng)具備主體性，學(xué)生獲得這種主體性能積極行動(dòng)而不是被動(dòng)接受，能主動(dòng)塑造世界而不是被世界改變，能作出負(fù)責(zé)任的決定和選擇而不是盲目服從?！盵3]因此創(chuàng)設(shè)合作型課題，構(gòu)建多元化教學(xué)模式，充分利用學(xué)校資源，建立開(kāi)放實(shí)踐型教學(xué)基地，為學(xué)生搭建一個(gè)進(jìn)行實(shí)踐創(chuàng)新能力的平臺(tái)，以培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)立性和創(chuàng)造性。

例如：九年級(jí)在《中考?jí)狠S試題研究》單元教學(xué)中，教師提出數(shù)學(xué)活動(dòng)要求：

（1）利用假期查找資料，以小組合作的方式自學(xué)一種數(shù)學(xué)軟件，填寫(xiě)研究性學(xué)習(xí)單，如表3，并利用軟件研究一道中考數(shù)學(xué)壓軸題。

表3 研究性學(xué)習(xí)單

（2）借助計(jì)算機(jī)實(shí)踐操作演示，分組交流實(shí)踐成果。

（3）學(xué)生匯報(bào)自己小組的研究現(xiàn)狀，以及遇到的問(wèn)題。教師針對(duì)學(xué)生的問(wèn)題及研究現(xiàn)狀進(jìn)行評(píng)價(jià)指導(dǎo)。學(xué)生要總結(jié)問(wèn)題解決的主要內(nèi)容，并對(duì)自己的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行一個(gè)簡(jiǎn)要的評(píng)價(jià)，最后學(xué)生進(jìn)行互評(píng)。

（4）學(xué)生優(yōu)秀成果分享，評(píng)選出的優(yōu)秀作品進(jìn)行年級(jí)展示。

學(xué)生案例：

研究問(wèn)題：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，若將點(diǎn)P沿x軸折疊得到點(diǎn)P1，再將點(diǎn)P1繞點(diǎn)R順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P’，則稱(chēng)點(diǎn)P’是點(diǎn)P關(guān)于x軸-點(diǎn)R的折旋點(diǎn)。

例如：點(diǎn)Q（0,1）關(guān)于x軸-點(diǎn)O的折旋點(diǎn)是點(diǎn)Q’（-1,0）。

假設(shè)F（0，t）是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，⊙F的半徑為2，若⊙F上存在點(diǎn)N，使得點(diǎn)N’是點(diǎn)N關(guān)于x 軸-點(diǎn)S(4,0)的折旋點(diǎn)，且點(diǎn)N’在直線(xiàn)上，直接寫(xiě)出t的取值范圍。

學(xué)生利用MATLAB 軟件快速生成一些具體函數(shù)圖像：

從圖4 的函數(shù)變化過(guò)程中可以看出，點(diǎn)F關(guān)于x軸-S的折旋點(diǎn)坐標(biāo)為（4-t，4），點(diǎn)N關(guān)于x軸-S的折旋點(diǎn)N2在以（4-t，4）為圓心，半徑為2 的圓上，由此規(guī)律可以進(jìn)一步畫(huà)出N2隨t變化而變化的動(dòng)態(tài)圖。

圖4

信息技術(shù)為學(xué)生進(jìn)行“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”提供了理想的工具與環(huán)境，學(xué)生利用MATLAB 軟件制作一些函數(shù)圖像，通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示圖像的變化過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的直觀性，幫助學(xué)生理解參數(shù)的變化是如何影響圖形的變化。創(chuàng)設(shè)合作型課題，可以培養(yǎng)學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力、邏輯思維能力，使學(xué)生進(jìn)一步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維的獨(dú)立性和創(chuàng)造性。

5 診斷素養(yǎng)發(fā)展現(xiàn)狀，跟進(jìn)課程評(píng)價(jià)與反思

“數(shù)學(xué)優(yōu)秀生培養(yǎng)”校本選修課程，從開(kāi)發(fā)到實(shí)踐，有成功的經(jīng)驗(yàn)值得總結(jié)。

5.1 凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科特色，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣

本課程涉及到課題研究?jī)?nèi)容絕大多數(shù)貼近學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，依托多樣的數(shù)學(xué)活動(dòng)和展示分享，它可以讓學(xué)生體驗(yàn)到獲得知識(shí)的成就感，不斷革新學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生持久的學(xué)習(xí)興趣。

5.2 注重學(xué)生的具身體驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本課題的課題研究?jī)?nèi)容的學(xué)習(xí)，需要通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)才能達(dá)成，這就需要學(xué)生經(jīng)歷閱讀信息—整合信息—分析問(wèn)題—設(shè)計(jì)方案—實(shí)施方案—反思改進(jìn)方案—得出結(jié)論的學(xué)習(xí)探究過(guò)程，通過(guò)具身的實(shí)踐體驗(yàn)，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。

5.3 注重引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變

本課程發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課程目標(biāo)的達(dá)成，需要學(xué)生主動(dòng)參與、科學(xué)探究、認(rèn)真思考、動(dòng)手實(shí)踐，有利于轉(zhuǎn)變學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。學(xué)生在課程中學(xué)會(huì)了思考和反思，學(xué)會(huì)了探究，學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)了合作，學(xué)會(huì)了分享交流，學(xué)會(huì)了表達(dá)和反思。有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。