袁非夢，耿化品，凡紅梅，鎖 斌

(1.西南交通大學數(shù)學學院，四川 成都 611730；2.北京機電工程研究所，北京 100083； 3.西南科技大學信息工程學院，四川 綿陽 621010； 4.西南科技大學復雜環(huán)境裝備可靠性中心，四川 綿陽 621010)

0 引言

隨著艦空導彈武器系統(tǒng)的發(fā)展，其作戰(zhàn)性能和作戰(zhàn)空域不斷提高。艦空導彈的落點預報是導彈預警系統(tǒng)中的一個重要環(huán)節(jié)，落點預報精度是一項非常重要的戰(zhàn)技指標[1-2]。實踐證明，增大彈頭威力和提高導彈的落點精度都將提高導彈的毀傷概率，將導彈的落點精度提高1倍，相當于導彈的威力增大8倍[3]。提高落點預報和誤差分析精度具有很強的工程意義，提高落點預報精度的關鍵是建立準確的預報模型。

近年來針對導彈飛行落點預報問題，諸多學者展開了研究：文獻[4]通過對影響導彈落點精度的因素分類和影響分析，提出了利用仿真技術預測和修正彈道導彈落點偏差的方法，綜合諸影響因素對導彈進行全彈道仿真實驗設計和分析，為改進設計提供了一定的依據(jù)；文獻[5]在無再入觀測數(shù)據(jù)條件下，基于導彈末端速度變化范圍的限制，預估氣動阻力參數(shù)變化范圍，對彈道導彈的落點和氣動阻力參數(shù)進行了高精度聯(lián)合預報；文獻[6]為評估制導導彈和炮彈的命中精度，提出了一種新的橢圓概率誤差的落點精度評定方法，并給出了精確表達式，為預估落點誤差的方向性及目標摧毀概率范圍提供依據(jù)；文獻[7]針對靶場艦空導彈飛行試驗安全判定的試驗需求，分析了一種基于落點預估的艦空導彈飛行試驗安全判定方法；文獻[8]根據(jù)炮射導彈的射擊特點，分析了炮射導彈落點精度的概念及其相關指標，提出了評定炮射導彈落點精度的方法。但上述研究均需要大量的導彈真實落點提供數(shù)據(jù)支撐，對導彈的外場數(shù)據(jù)樣本量和置信度要求較高，而對艦空導彈做大量外場試驗，存在設備成本高、布放工程量大、安全隱患等諸多問題。因此考慮借用導彈液壓飛行仿真轉臺模擬導彈飛行控制系統(tǒng)進行仿真試驗，模擬導彈在空中飛行時的運動和姿態(tài)。液壓飛行仿真轉臺采用電液伺服控制技術，具有控制精度高、響應速度快等優(yōu)越性，能夠積累大量半實物仿真導彈落點數(shù)據(jù)。

目前，國內外學者針對外場試驗、半實物仿真等多源數(shù)據(jù)的精度融合評估問題開展了較多研究，主要的數(shù)據(jù)融合方法包括：深度神經網絡法[9]、貝葉斯推理[10]、模糊邏輯[11]和D-S證據(jù)理論[12]。為了提高多傳感器數(shù)據(jù)融合的精度，文獻[13]提出了一種基于BP神經網絡的數(shù)據(jù)融合新算法，可以有效處理網絡不收斂問題，提高網絡性能；文獻[14]通過優(yōu)化網絡輸入，提出一種基于粒子群優(yōu)化的改進反向傳播神經網絡的多傳感器數(shù)據(jù)融合算法，提高了傳感器數(shù)據(jù)融合的準確性；文獻[15—16]提出了一系列基于Bayesian推理的數(shù)據(jù)融合方法，具有較好的融合效果；文獻[17—19]將模糊集理論應用于多傳感器數(shù)據(jù)融合，降低了傳感器數(shù)據(jù)信息的不確定性，且具有較小的計算復雜度；文獻[20—21]采用D-S證據(jù)理論進行多源數(shù)據(jù)融合，減小了對先驗知識的依賴性，且采用單周期的融合方式融合性能較好。其中，對于具有高可靠性和少量外場數(shù)據(jù)的裝備，Bayesian融合方法可以充分利用驗前的仿真試驗信息和現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)，得到了較多學者的關注。文獻[22]研究了運用Bayesian理論從仿真實驗數(shù)據(jù)中提取有用信息，從而實現(xiàn)在少量現(xiàn)場試驗樣本情況下有效完成試驗鑒定任務的方法；文獻[23]討論了一種基于Bayesian理論的濾波方法，用于提高導彈射擊精度鑒定的抗噪聲和抗干擾性能；文獻[24]通過分析數(shù)據(jù)融合的結構，重點研究了基于遺傳算法的分布式Bayesian融合系統(tǒng)的全局優(yōu)化，建立了全局最優(yōu)的Bayesian融合檢測系統(tǒng)；文獻[25]針對軸向柱塞泵故障特征的模糊性和不完備性，提出了一種Bayesian網絡與多特征信息融合的方法，并驗證了該方法能夠有效實現(xiàn)柱塞泵的故障診斷。上述研究成果都充分展現(xiàn)了Bayesian融合方法的優(yōu)越性和有效性，Bayesian融合方法在現(xiàn)場試驗數(shù)據(jù)較少的小樣本場合應用十分廣泛，在多源數(shù)據(jù)的精度融合評估中效果較好。

因此，研究在只有少量外場數(shù)據(jù)和較多的半實物仿真數(shù)據(jù)情況下的艦空導彈落點預估問題時，Bayesian融合方法展現(xiàn)了良好的優(yōu)勢。Bayesian融合技術能有效處理小子樣問題，將該技術用到導彈落點預估問題上，可以融合導彈的先驗半實物仿真數(shù)據(jù)信息和外場落點數(shù)據(jù)信息，進而動態(tài)修正并預測導彈的落點坐標?；谶@種思想，本文針對艦空導彈的落點預測問題，提出基于Bayesian多源數(shù)據(jù)融合的艦空導彈飛行落點預估方法。采用導彈飛行仿真技術得到大量半實物仿真落點數(shù)據(jù)，將導彈落點坐標的半實物仿真數(shù)據(jù)和外場試驗數(shù)據(jù)有效融合，計算機自動化處理出若干預示落點，再結合人工經驗預測導彈落點。

1 Bayesian數(shù)據(jù)融合原理

Bayesian理論基本原理是：給定某假設的先驗似然估計，隨著新的證據(jù)(觀測數(shù)據(jù))的到來，Bayesian方法可以更新假設的似然函數(shù)。Bayesian方法解決統(tǒng)計問題的思路不同于經典統(tǒng)計方法，它的一個顯著特點就是在保證決策風險盡可能小的情況下，盡量應用所有可能的信息。這不僅僅是外場試驗的信息，還包括外場試驗之前的信息，如導彈系統(tǒng)在研制中的有用信息、仿真實驗的信息、同類武器裝備系統(tǒng)的試驗信息，而真正的外場試驗數(shù)可以是少量的。因此，在上述先驗信息存在的情況下，作為一種數(shù)據(jù)融合方法，Bayesian方法可以用于小子樣試驗分析。

觀測樣本X=(X1,X2,…,Xn)為總體樣本，X的密度函數(shù)為p(x;θ)，θ為待估參數(shù)。Bayesian學派將θ與X同樣看作隨機變量，將經典統(tǒng)計中的p(x;θ)看成條件概率密度p(x|θ)。在先驗分布π(θ)下，對θ產生新的認識，求出后驗密度：

(1)

式(1)中，π(θ)為先驗分布，pX(x1,x2,…,xn|θ)為樣本的極大似然函數(shù)，θ的分布類型僅由π(θ)pX(x1,x2,…,xn|θ)決定，因此，Bayesian統(tǒng)計模型可以簡化為h(θ|x)∝π(θ)pX(x|θ)。

對于具有大量半實物仿真導彈落點信息和少量外場試驗信息的情況，將仿真數(shù)據(jù)作為先驗信息，外場數(shù)據(jù)作為現(xiàn)場子樣，借助Bayesian理論即可實現(xiàn)落點數(shù)據(jù)的融合。

2 基于Bayesian方法的半實物仿真與外場數(shù)據(jù)融合

導彈的外場試驗數(shù)據(jù)與半實物仿真數(shù)據(jù)的多源融合評估流程如圖1所示。

圖1 多數(shù)據(jù)源融合評估流程圖Fig.1 Flow chart of multi-data source fusion assessment

2.1 基于概率分布特征和代理模型的外場試驗數(shù)據(jù)擴充

2.1.1基本概率分配函數(shù)的構造

基本概率分配是證據(jù)理論中的一個重要概念，證據(jù)理論一般是指Dempster-Shafer(D-S)證據(jù)理論[26]，最先由Dempster提出。它為決策不確定信息的表征與融合提供強有力的工具，在相關領域展現(xiàn)出良好的應用效果[27-28]。對于一個問題而言，設研究對象x在集合Θ={θ1,θ2,…,θN}內取值，其中Θ為一個兩兩互斥的完備集合，稱Θ為x的辨識框架。

基本概率分配(basic probability assignment, BPA)是證據(jù)理論中最基本的信息載體，它表示證據(jù)支持命題的信任程度m：2θ→[0,1]，且滿足

(2)

若m(A)>0，則稱A為m的焦元(focal element)。

表示信任分配與賦值支持的基本概率函數(shù)BPA的獲取是確定各區(qū)間需要生成多少樣本點的關鍵。BPA的獲取可以由決策者或專家根據(jù)主觀經驗給出，也可以根據(jù)系統(tǒng)的性質利用模糊理論和粗糙集理論等進行 mass 函數(shù)的構造。由于信息類型的多變性，即使在一個系統(tǒng)內部的BPA計算方法也不一定能夠統(tǒng)一，即BPA的獲取方法要根據(jù)系統(tǒng)數(shù)據(jù)的具體情況而定。

本文提出一種基于皮爾遜相關系數(shù)改進D-S證據(jù)理論中BPA的構造方法?？紤]到實際完備的識別框架Θ={θ1,θ2,…,θn}中，各證據(jù)存在著相關關系，所以不同證據(jù)體對于命題的評估差異必然引起證據(jù)體在識別框架中的權重比例。因此，通過皮爾遜相關性系數(shù)計算和分配各個證據(jù)體的整體權重比例是決定外場數(shù)據(jù)在每個分隔區(qū)間擴充多少樣本點的重點。

對證據(jù)體θ1和證據(jù)體θ2計算皮爾遜相關性系數(shù)ρ12的計算式為

(3)

式(3)中，cov表示協(xié)方差；E表示數(shù)學期望；μmi和σmi的計算式分別為

(4)

多證據(jù)體的情況下，相互計算兩兩證據(jù)體之間的相關性系數(shù)，并構成證據(jù)體相關性矩陣：

(5)

由于皮爾遜相關系數(shù)的值域為[-1,1]，負值表示負相關，負值越小說明負相關程度越高。為了控制非正相關的證據(jù)體在識別框架中的權值比重和可信度計算，以及考慮克服組合規(guī)則中的0置信問題和盡量減少對于整體識別框架的基本概率影響，這里將相關性結果小于0的賦值為其相反數(shù)，將等于0的賦值為0.001。

通過相關系數(shù)和數(shù)據(jù)概率特征相結合的準則來確定數(shù)據(jù)之間相似度構造BPA的方法，同時考慮了數(shù)據(jù)間的相關性與分布特征。皮爾遜相關系數(shù)能夠反映外場試驗數(shù)據(jù)之間的相似性：相關系數(shù)的絕對值越大，相似性就大；相關系數(shù)的絕對值越小，相似性就小。本文外場試驗數(shù)據(jù)之間相似度的計算方法具體步驟如下：

(6)

C序列可構成由NB-1個區(qū)間數(shù)組成的集合CI：

(7)

根據(jù)定義2中的計算方法，計算皮爾遜相關系數(shù)有

(8)

(9)

(10)

2.1.2外場試驗數(shù)據(jù)的擴充

(11)

這種以基本概率分配為依據(jù)的樣本擴充方法可以保證擴充后的樣本依然保留原有的概率特征，且不增加人為假設。

1)半實物仿真系統(tǒng)代理模型的構建

基于BP神經網絡建立半實物仿真系統(tǒng)代理模型，神經網絡是由神經元按規(guī)則排列后相互連接而構成的一種非線性動力學系統(tǒng)，其特點在于信息的分布儲存和協(xié)同處理，單個神經元結構很簡單、功能有限，但是由神經元構成的網絡系統(tǒng)所能實現(xiàn)的功能卻很強大。不僅具有計算功能和自學習能力，并且具有容錯性和魯棒性，善于聯(lián)想和綜合推理。

在學習過程中，半實物仿真系統(tǒng)的輸入數(shù)據(jù)由輸入層輸入，由隱含層處理之后將結果傳向輸出層。如果結果和實際半實物仿真系統(tǒng)輸出不符合，則將誤差逆向傳播到隱含層，修改相應的權值和閾值。學習過程結束后，則進入驗證階段，將外場試驗條件輸入，根據(jù)神經網絡得出的外場落點結果與實際情況比較，并對模型進行修正。外場試驗條件主要包括發(fā)射條件和環(huán)境條件。發(fā)射條件包括高度、速度、三個方向的姿態(tài)角(x、y、z軸方向)；環(huán)境條件包括溫度、風速、風向等其他干擾。輸出數(shù)據(jù)則是x、y、z軸三個方向的落點坐標。

圖2為一個具有d個輸入和n個輸出的BP神經網絡模型。圖中x1,x2,…,xd為神經元的輸入向量；y1,y2,…,ym為隱含層神經元輸出向量；vih,whj分別為輸入層權值鏈接、隱含層權值鏈接；am為隱含層神經元的偏置；o1,o2,…,on為輸出層的輸出；bn為輸出層神經元偏置；激勵函數(shù)φ為S型傳遞函數(shù)。

圖2 BP神經網絡模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of BP neural network model

基于BP神經網絡方法構建的半實物仿真系統(tǒng)代理模型，能夠生成大量半實物仿真的落點坐標數(shù)據(jù)，且借助于BP神經網絡方法，不僅能夠有效避免數(shù)據(jù)分散性、分布模型選取失誤導致的評估誤差，而且擴充數(shù)據(jù)樣本與原始數(shù)據(jù)樣本的變化規(guī)律基本相同，可作為外場試驗落點坐標數(shù)據(jù)擴充的參考數(shù)據(jù)。

2)外場落點坐標數(shù)據(jù)的擴充

2.2 基于Bayesian方法的半實物仿真與外場數(shù)據(jù)融合

(12)

(13)

(14)

3 算例分析

以某艦空導彈發(fā)射10次的落點數(shù)據(jù)為例，將導彈第一次向空中擊中點的坐標記為原點(0,0,0)，建立空間直角坐標系。x,y,z分別表示三個方向的坐標軸數(shù)據(jù)，且取前、右、上分別為三個坐標軸的正方向。取落點的半實物仿真數(shù)據(jù)樣本量為NA=50，外場試驗數(shù)據(jù)如表1，樣本量為NB=10。

表1 外場落點坐標數(shù)據(jù)Tab.1 Coordinate data of the outfield landing point

以外場試驗數(shù)據(jù)中的x軸方向坐標為基準，有

XB={-63.537 4 -24.89 7 -24.557 9 -20.316 63.959 9 29.99 48.311 1 55.982 5 57.26}。

P={0.223 7 0.179 2 0.174 0 0.142 4
0.095 6 0.062 6 0.046 7 0.041 8 0.033 9}，

并確定需要在劃分區(qū)間

擴充的樣本量個數(shù)分別為9,7,7,6,4,3,2,2,0。

根據(jù)構建的半實物仿真系統(tǒng)代理模型，以第一個劃分區(qū)間[-63.537 4,-24.897]為例，以屬于該區(qū)間的x軸坐標數(shù)據(jù)為基準，繪制直方圖。在該區(qū)間[-63.537 4,-24.897]需要擴充的樣本量個數(shù)為9，因此選擇直方圖中取值概率最高對應的數(shù)據(jù)作為樣本點，分別為{-42.47,-43.158 8,-41.781 2,-43.847 7,-41.092 3,-44.536 5,-40.403 5,-45.225 3,-39.714 7}。

將上述樣本點按照從小到大的次序進行排列，填入小區(qū)間內實現(xiàn)擴充。采用同樣方法對相應的y軸坐標和z軸坐標處理，得到該區(qū)間需要擴充的三維落點坐標樣本點，同樣對其他小區(qū)間做此處理，得到樣本量擴充到與半實物仿真數(shù)據(jù)相等的外場落點坐標。

(15)

從式(15)可知，當融合后數(shù)據(jù)與真實落點數(shù)據(jù)的概率分布越接近時，面積度量指標越小，反之越大。因此，面積度量指標可以表征外場數(shù)據(jù)與半實物仿真數(shù)據(jù)融合效果的好壞。繪制累積分布函數(shù)圖如圖3所示。

圖3 基于Bayesian融合的導彈飛行落點融合效果圖Fig.3 Fusion effect of missile flight landing point based on Bayesian fusion

采用K-S假設檢驗對基于Bayesian融合后的導彈落點和總體的真實導彈落點數(shù)據(jù)進行同分布檢驗，計算得p=0.000?0.05。由此，可以認為在5%的顯著性水平下，二者為同分布類型。綜合面積度量指標和假設檢驗結果，驗證我們所提出的導彈外場試驗數(shù)據(jù)擴充方法對數(shù)據(jù)融合是有效的，Bayesian融合方法也是有效的。

4 結論

針對在少量外場試驗數(shù)據(jù)的條件下需要對艦空導彈落點進行預估的問題，本文提出一種利用基本概率分配函數(shù)、構建半實物仿真系統(tǒng)代理模型、借助經典Bayesian理論的小樣本擴充和Bayesian融合方法。通過這種方法預估的導彈落點坐標更加精準，預測效果更好。通過分析得到以下結論。

1) 采用D-S證據(jù)理論中的基本概率分配概念，基于外場數(shù)據(jù)間的相關系數(shù)確定每個小區(qū)間需要擴充的樣本個數(shù)，保留了原始數(shù)據(jù)的概率分布特征。

2) 基于BP神經網絡方法構建半實物仿真系統(tǒng)代理模型生成落點坐標數(shù)據(jù)集，再采用直方圖統(tǒng)計方法依據(jù)樣本概率大小確定增補的樣本點，保證了增補的導彈落點坐標具有物理內涵。這是由BP神經網絡模型本身的特性決定的。一方面BP神經網絡能避免原始數(shù)據(jù)分散性、分布模型選取失誤導致的評估誤差；另一方面，半實物仿真樣本與原始數(shù)據(jù)樣本的變化規(guī)律基本相同，可作為外場落點的參考數(shù)據(jù)。

3) 通過對原始樣本的擴充重構，增加了外場落點樣本的信息量?；贐ayesian融合方法，將半實物仿真數(shù)據(jù)作為先驗信息，提升了導彈落點坐標融合模型的準確性。通過某艦空導彈實物的外場和半實物仿真試驗的研究，驗證了該方法的有效性。