余賢星

(上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093)

yvxianxing@163.com

1 引言(Introduction)

鯨魚(yú)優(yōu)化算法的優(yōu)越性有目共睹，因此該算法在優(yōu)化問(wèn)題上應(yīng)用廣泛。但其存在收斂速度慢、收斂精度低、搜索能力不足的缺點(diǎn)，各種改進(jìn)的鯨魚(yú)算法應(yīng)運(yùn)而生。其中改進(jìn)方式有將兩種算法的優(yōu)勢(shì)結(jié)合而成，也有通過(guò)其他策略。ZHANG等提出了一種基于聚集策略的混合鯨魚(yú)優(yōu)化算法，將鯨魚(yú)優(yōu)化算法和灰狼優(yōu)化算法優(yōu)勢(shì)結(jié)合。林杰等提出了一種基于混沌的正余弦鯨魚(yú)優(yōu)化算法，加快了算法的收斂速度，避免了早熟，平衡了搜索與開(kāi)發(fā)。郭啟程等提出了一種基于萊維飛行的鯨魚(yú)優(yōu)化算法，用于解決無(wú)人機(jī)三維路徑規(guī)劃問(wèn)題。董明明等為了解決現(xiàn)有輥道窯窯溫異常檢測(cè)存在的各種問(wèn)題，提出了一種采用自適應(yīng)反向?qū)W習(xí)策略和高斯變異算子的改進(jìn)鯨魚(yú)優(yōu)化算法。劉紫娟等提出了一種改進(jìn)的離散鯨魚(yú)優(yōu)化算法，用于應(yīng)對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)社區(qū)發(fā)現(xiàn)的應(yīng)用場(chǎng)景。朱誠(chéng)提出了一種引用雙非線性收斂因子和強(qiáng)制驅(qū)散機(jī)制改進(jìn)的鯨魚(yú)優(yōu)化算法，能夠有效簡(jiǎn)化路徑復(fù)雜度、降低機(jī)器人控制難度。

本文提出了一種改進(jìn)的多領(lǐng)導(dǎo)鯨魚(yú)優(yōu)化算法，該算法引入了多領(lǐng)導(dǎo)機(jī)制和萊維飛行機(jī)制。多領(lǐng)導(dǎo)機(jī)制是將初始種群均分為四個(gè)小種群，每個(gè)種群根據(jù)各自種群的最優(yōu)位置進(jìn)行迭代更新。每10 次迭代進(jìn)行一次種群重組，有利于提高種群的多樣性，避免整個(gè)搜索過(guò)程陷入局部最優(yōu)。萊維飛行機(jī)制是將每代的最優(yōu)位置進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，有利于加快收斂，避免陷入局部最優(yōu)。通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)方程和現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題進(jìn)行驗(yàn)證，表明了該算法的優(yōu)越性。

2 鯨魚(yú)優(yōu)化算法(Whale optimization algorithm)

2.1 圍捕獵物

座頭鯨能夠感知獵物的位置并發(fā)動(dòng)攻擊。在一個(gè)最優(yōu)位置不確定的搜索空間里，假設(shè)所有座頭鯨的最佳位置就是最優(yōu)或者在最優(yōu)位置旁邊。那么一旦確定最優(yōu)的座頭鯨位置，其他鯨魚(yú)就會(huì)根據(jù)最優(yōu)更新。更新公式如下：

2.2 泡泡網(wǎng)攻擊方式

座頭鯨沿著曲率半徑越來(lái)越小的螺旋線路徑向上游動(dòng)，通過(guò)吐泡泡的方式，形成一堵氣墻，將獵物圍在一起最后捕殺。泡泡網(wǎng)攻擊模型中包含兩種方式：一種是收縮環(huán)繞，通過(guò)遞減的值，影響的范圍；另一種是螺旋更新，位置更新公式如下：

由于兩種更新方式同時(shí)發(fā)生，因此添加一個(gè)概率數(shù)，來(lái)決定具體使用哪一種更新方式。

2.3 搜尋獵物

收縮環(huán)繞更新中，目標(biāo)鯨魚(yú)可能是最優(yōu)位置鯨魚(yú)，這就是進(jìn)行開(kāi)發(fā)階段；也可能是其他任意鯨魚(yú)，這就是搜索階段。當(dāng)進(jìn)行到搜索階段時(shí)，鯨魚(yú)位置更新公式如下：

2.4 鯨魚(yú)算法的更新方式總結(jié)

3 改進(jìn)的鯨魚(yú)算法(Improved whale optimization algorithm)

3.1 多領(lǐng)導(dǎo)機(jī)制

該算法中引入多領(lǐng)導(dǎo)機(jī)制是為了提高種群的多樣性，避免搜索個(gè)體陷入局部最優(yōu)。如圖1所示，初始化一個(gè)種群，將其均分為4 個(gè)小種群，每個(gè)種群對(duì)應(yīng)各自的最優(yōu)個(gè)體位置，每次迭代都根據(jù)各自種群的最優(yōu)位置進(jìn)行更新。每10 次迭代結(jié)束，就會(huì)進(jìn)行一次種群間的信息交流，就是將各種群內(nèi)的個(gè)體進(jìn)行一次打亂重組，有利于擴(kuò)大搜索范圍，避免陷入局部最優(yōu)。

圖1 多種群機(jī)制Fig.1 Multi-population mechanism

3.2 萊維飛行機(jī)制

該算法引入了萊維飛行機(jī)制，為了將最優(yōu)位置進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，加快收斂速度，避免陷入局部最優(yōu)。更新公式如下：

其中，Γ 是Gamma函數(shù)。

3.3 算法流程

算法IWOA偽代碼如下所示。

4 標(biāo)準(zhǔn)方程測(cè)試(Benchmark functions test)

4.1 試驗(yàn)設(shè)置

CEC2014標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)是測(cè)試算法性能的重要實(shí)例。從中選取6 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，詳見(jiàn)表1，其中、、是單峰函數(shù)，、、是多峰函數(shù)。單峰函數(shù)只有一個(gè)全局最優(yōu)解而沒(méi)有局部最優(yōu)解，用來(lái)測(cè)試算法的開(kāi)發(fā)性能，得到的最優(yōu)解精度越高，表明算法具有更優(yōu)的開(kāi)發(fā)性能。多峰函數(shù)只有一個(gè)全局最優(yōu)解卻含有多個(gè)局部最優(yōu)解，而且隨著函數(shù)維度升高，優(yōu)化復(fù)雜度越高，用來(lái)測(cè)試算法的搜索能力和開(kāi)發(fā)能力。對(duì)于搜索能力不足的算法，在優(yōu)化多峰函數(shù)時(shí)容易陷入局部最優(yōu)。將該算法與其他先進(jìn)的算法比較，其中包括粒子群算法(PSO)、灰狼優(yōu)化算法(GWO)、鯨魚(yú)優(yōu)化算法(WOA)、混合鯨魚(yú)灰狼優(yōu)化算法(HWOAG)、提升的鯨魚(yú)優(yōu)化算法(WOAmM)。對(duì)于這些算法中的參數(shù)設(shè)置，詳見(jiàn)表2。

表1 6 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)Tab.1 Six benchmark functions

表2 算法參數(shù)Tab.2 Algorithms parameters

4.2 測(cè)試結(jié)果

將所有的算法在32 個(gè)個(gè)體、500 次迭代次數(shù)、30 次運(yùn)行次數(shù)的情況下，對(duì)30 維的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，統(tǒng)計(jì)最優(yōu)解的平均值和標(biāo)準(zhǔn)方差。平均值能夠直觀展示算法的效果，而標(biāo)準(zhǔn)方差能夠判斷算法的穩(wěn)定性。優(yōu)化結(jié)果對(duì)比詳見(jiàn)表3。

表3 6 個(gè)函數(shù)的對(duì)比結(jié)果(32 個(gè)個(gè)體，30 維)Tab.3 Comparison results of 6 benchmark functions(N=32，D=30)

從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，在6 個(gè)測(cè)試函數(shù)中，相比于其他5個(gè)算法，該算法的優(yōu)化結(jié)果最小。從平均值可以看出，該算法相比于其他幾個(gè)算法，收斂精度更高，而且在上取得了最小值0。從標(biāo)準(zhǔn)方差可以看出，該算法具有高穩(wěn)定性。

4.3 收斂分析

收斂性是算法的一個(gè)重要衡量標(biāo)準(zhǔn)，收斂速度越快，算法效率越高。如圖2所示，對(duì)于單峰函數(shù)，所有算法都能快速收斂，相比于其他幾個(gè)算法，該算法具有很強(qiáng)的后期開(kāi)發(fā)能力，最優(yōu)解的精度高。對(duì)于多峰函數(shù)，該算法在迭代前期收斂比較慢，大部分個(gè)體用于搜索，接著就會(huì)有一個(gè)加速收斂的過(guò)程，算法對(duì)可能性大的區(qū)域進(jìn)行搜索，這時(shí)候算法已經(jīng)確定了最優(yōu)解的大概位置，因此搜索個(gè)體會(huì)在最優(yōu)位置周圍進(jìn)行開(kāi)發(fā)，最后收斂曲線放緩。而其他算法剛開(kāi)始就快速收斂，當(dāng)進(jìn)行到搜索中后期的時(shí)候，最優(yōu)解一直不變，停滯不前，此時(shí)算法已經(jīng)陷入局部最優(yōu)。其他算法開(kāi)發(fā)能力不強(qiáng)，即使找到可能性大的區(qū)域，得到的最優(yōu)解精度也不夠。如圖3所示，箱線圖也表明了算法的求解精度高而且穩(wěn)定。

圖2 不同函數(shù)收斂曲線圖Fig.2 Convergence line graphs of different functions

圖3 不同函數(shù)箱線圖Fig.3 Boxplots of different functions

5 工程優(yōu)化問(wèn)題測(cè)試(Engineering optimization problems test)

現(xiàn)實(shí)生活中有許多經(jīng)典的多變量工程問(wèn)題，被許多學(xué)者作為優(yōu)化算法的測(cè)試實(shí)例。本文選取了三個(gè)約束問(wèn)題，通過(guò)改進(jìn)的多領(lǐng)導(dǎo)鯨魚(yú)優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化，并與其他算法進(jìn)行比較，其中部分優(yōu)化結(jié)果來(lái)源于提升的鯨魚(yú)優(yōu)化算法。以下是這三個(gè)問(wèn)題的描述。

5.1 懸臂梁的設(shè)計(jì)問(wèn)題

懸臂梁由五個(gè)等厚的空心方塊組成。梁在第一塊上有剛性支撐，在第五塊的自由端有一個(gè)垂直力作用。懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖如圖4所示。這個(gè)問(wèn)題需要最小化懸臂梁的重量，并且滿足開(kāi)口端垂直位移上限的約束要求。、、、、(mm)分別表示五個(gè)空心方塊的長(zhǎng)度。目標(biāo)方程、約束條件和變量范圍如下。

圖4 懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖Fig.4 Cantilever beam structure figure

目標(biāo)函數(shù)：

從表4中可以得出，在懸臂梁的設(shè)計(jì)問(wèn)題中，該算法得到了最小值1.3365。相比于其他算法，值都略優(yōu)。從結(jié)果可以看出，該算法的求解精度高，在最優(yōu)值周圍區(qū)域，開(kāi)發(fā)精度很高。雖然其他算法也得到了近似值，但由于其他算法精度不高，因此略顯劣勢(shì)。

表4 懸臂梁設(shè)計(jì)問(wèn)題的結(jié)果對(duì)比Tab.4 Comparison of results on cantilever beam design problem

5.2 三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題

如圖5所示的三桿結(jié)構(gòu)和受力情況下，在滿足彎曲、撓度、應(yīng)力時(shí)最小化三桿桁架的體積，這個(gè)問(wèn)題就是通過(guò)兩個(gè)變量、(cm)調(diào)整橫截面積。目標(biāo)方程、約束條件和變量范圍如下。

圖5 三桿桁架結(jié)構(gòu)和受力示意圖Fig.5 Three-bar truss structure and force figure

從表5中可以看出，所有算法都得到了相同值，除了Ray&Sain，因此，在這個(gè)具有兩個(gè)變量的問(wèn)題中，所有算法都到了最優(yōu)值。說(shuō)明了該算法在提升搜索能力的同時(shí)，也具有很強(qiáng)的開(kāi)發(fā)能力。

表5 三桿桁架設(shè)計(jì)問(wèn)題的結(jié)果對(duì)比Tab.5 Comparison of results on the three-bar truss design problem

5.3 輸氣壓縮機(jī)設(shè)計(jì)問(wèn)題

這是一個(gè)具有四個(gè)變量的機(jī)械設(shè)計(jì)問(wèn)題，目標(biāo)是確定變量的值，以便使用最低成本能每天傳輸1億立方米的天然氣系統(tǒng)。其中一個(gè)變量是壓縮機(jī)站的距離(m)，第二個(gè)是壓縮機(jī)的效率，第三個(gè)是管道的直徑(cm)，第四個(gè)是管道的速率(m/s)。目標(biāo)方程、約束條件和變量范圍如下。

從表6中可以看出，該算法得到了最小值，且遠(yuǎn)優(yōu)于其他算法。該算法在搜索能力上有很大的提升，能避免陷入局部最優(yōu)，很大提升了算法的優(yōu)越性。其他算法都得到了近似值，說(shuō)明其他算法陷入了局部最優(yōu)解。而改進(jìn)的多領(lǐng)導(dǎo)算法，因?yàn)槿R維飛行和多領(lǐng)導(dǎo)機(jī)制，直接使算法跳出局部最優(yōu)，向更優(yōu)區(qū)域進(jìn)行搜索開(kāi)發(fā)。

表6 輸氣壓縮機(jī)設(shè)計(jì)問(wèn)題的結(jié)果對(duì)比Tab.6 Comparison of results on gas transmission compressor design problem

6 結(jié)論(Conclusion)

本文提出了一種改進(jìn)的多領(lǐng)導(dǎo)鯨魚(yú)優(yōu)化算法。該算法引入了多領(lǐng)導(dǎo)機(jī)制，有利于提高種群的多樣性，防止陷入局部最優(yōu)；引入萊維飛行機(jī)制，將最優(yōu)個(gè)體進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)，加快收斂速度，防止陷入局部最優(yōu)。通過(guò)6 個(gè)標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，從平均值和標(biāo)準(zhǔn)方差可以看出，該算法在收斂精度和穩(wěn)定性上，相比于其他算法有很大優(yōu)越性。從收斂圖可以看出，該算法收斂速度快，收斂精度高。同樣在箱線圖中可以看出，該算法準(zhǔn)確性高，無(wú)論是單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)，都能準(zhǔn)確判斷最優(yōu)位置區(qū)域，并在最優(yōu)位置周圍開(kāi)發(fā)。通過(guò)三個(gè)工程優(yōu)化實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證，該算法都能得到最優(yōu)值。后續(xù)可以將該算法運(yùn)用到其他機(jī)械設(shè)計(jì)問(wèn)題中。