王 靜 侯東杰 陳亞洲

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 北京 100029)

引 言

具有擴散界面的非混相兩相流模型描述了兩種不同流體的流動及流體間擴散界面的運動,其相關(guān)研究成果廣泛應(yīng)用于航空航天、水利工程、化學(xué)工程等領(lǐng)域。 因此,針對兩相流的擴散界面模型進行研究具有重要的理論意義和應(yīng)用價值。

關(guān)于描述單一流體運動的Navier-Stokes 方程的研究已有不少。 相比于單相流,兩相流之間存在相互作用和擴散界面,其模型的建立與分析更為復(fù)雜。 Van der Waals[1]最先將互不相溶的兩相流之間的界面視為一個有厚度的界面層。 之后,Blesgen[2]將描述單一流體流動的Navier-Stokes 方程和描述兩種流體在其分界面相互作用的Allen-Cahn 方程耦合在一起,提出了Navier -Stokes -Allen -Cahn(NSAC)方程組。 關(guān)于一維NSAC 模型的數(shù)學(xué)研究結(jié)果已有很多,Chen 等[3]證明了初始真空狀態(tài)下強解和經(jīng)典解的存在唯一性;Ding 等[4]考慮了NSAC方程組的自由邊界問題,證明了強解的存在唯一性;孫穎等[5]證明了NSAC 方程組周期邊值問題整體解的存在性;Chen 等[6]證明了非等熵NSAC 方程組初邊值問題存在唯一的全局強解;Feireisl 等[7]、Chen等[8]證明了三維可壓縮NSAC 模型弱解的存在性。

本文研究三維可壓縮Navier -Stokes-Allen-Cahn 方程組的Cauchy 問題。 與前人考慮的初始條件不同,我們假設(shè)相場(即組分濃度差φ)在無窮遠處趨于1 或-1 兩種狀態(tài)。 因此,除了克服NSAC方程組的強非線性和耦合性,還需要估計φ2-1 所帶來的困難項。 針對此類Cauchy 問題,本文在初始小擾動的假設(shè)條件下通過能量方法證明了全局強解的存在唯一性。

1 問題的提出及主要定理

可壓縮非混相兩相流的流動通常由以下的NSAC 非線性偏微分方程組描述

式中,ρ=ρ1+ρ2表示混合流體的總密度;u表示流速,且ρu=ρ1u1+ρ2u2,ρi、ui(i=1,2)分別為第i種組分的密度和流速;φ=φ1-φ2表示組分間的濃度差,其中φi=ρi/ρ;μ表示化學(xué)勢;f表示界面自由能密度。 Cauchy 應(yīng)力張量T表示為

本文研究的問題的初始條件為

本文的主要結(jié)論如下。

定理1假設(shè)初始值(ρ0,u0,φ0)滿足條件

有以下兩點需要注意:①式(6)結(jié)合Sobolev 嵌入定理,δ足夠小時,有,其物理意義為在初始時刻, (兩相流出現(xiàn)分層且分層區(qū)域 即＜)的測度為零;②記‖·‖=‖·‖L2。

2 主要定理的證明

定理1 中證明全局解的存在性的方法:首先證明局部解的存在性,再利用能量估計的方法得到解的一致估計,最后延拓到全局解的存在性。 在證明過程中,不僅要估計‖(ρ-,u)‖H3+ ‖Δφ‖H2,還要估計‖φ2-1‖。 為克服這些難點,在先驗估計中需要假設(shè)‖(ρ0-,u0)‖H3+‖Δφ0‖H2和‖-1‖均具有小性。

2.1 局部解的存在性

首先,證明局部解的存在性。

由經(jīng)典的Schauder 不動點方法得到如下命題。

2.2 全局解的存在性

接著,將方程組(1)寫成如下的線性化形式。

其中,非齊次項g1和g2的定義為

式(10)中第二個式子推導(dǎo)過程中用到

由定義的解空間(9),結(jié)合Sobolev 嵌入定理可知,存在M0＞0,使得?0 ＜M＜M0,有

命題2假設(shè)(ρ0,u0,φ0) 滿足(σ0,u0) ∈H3(R3),-1∈L2(R3),對?T＞0,設(shè)(σ,u,φ)∈Xm,M([0,T])為方程組(10)的局部解,則存在一個只依賴于初值和T的常數(shù)C,使得

命題2 可由以下4 個引理得到。

引理1設(shè)(σ,u,φ)∈Xm,M([0,T])為方程組(10)的局部解,有

證明:

定義

由式(15)和質(zhì)量守恒方程得到

用式(1)中第二個式子乘以u,關(guān)于空間變量x積分,有

式(10)中第三個式子乘以μ,結(jié)合式(10)中第四個式子,關(guān)于x積分,利用分部積分得到

將式(16)和式(17)相加,得到

由式(9)、式(11)、式(15)得到

將式(18)在[0,T]上積分,結(jié)合式(19)可得

于是有

因此可得到

利用式(21)得到

由式(22)和式(20),得到式(14)。

接著,用式(10)中第四個式子乘以-Δφ,再關(guān)于x積分,有

利用式(9)、式(11)和H?lder 不等式得

將Ii(i=1,2,3)代入式(23),當M適當小時,有

聯(lián)合式(24)與式(20)得到式(13),引理1得證。

引理2 設(shè)(σ,u,φ)∈Xm,M([0,T])為方程組(10)的局部解,有

證明:結(jié)合式(10)中第三式和第四式,可以得到

利用萊布尼茨公式、H?lder 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式,可估計I4為

因此,可得到

接下來,對I5進行估計。

于是得到

逐項估計可得

如果k=0, 有

如果k=1,有

如果k≥2,利用萊布尼茨公式、H?lder 不等式和Gagliardo-Nirenberg 不等式,有

引理3設(shè)(σ,u,φ)∈Xm,M([0,T])為方程組(10)的局部解,有

證明:對式(10)中第一個式子和第二個式子求Δk,再乘以Δku,兩式相加后,關(guān)于空間變量x積分,得

因此,可得到

同樣可以得到

將以上估計代入式(33)有

將式(34)代入式(32),就可以得到式(31),引理3 得證。

引理4設(shè)(σ,u,φ)∈Xm,M([0,T])為方程組(10)的局部解,有

根據(jù)文獻[9]中的引理2.2,可以估計Ii8(i=1,2,3)為

如果k=0,有

如果k≥1,有

因此,

同樣可以得到

將以上估計代入式(37),有

將式(38)代入式(36),得到式(35),引理4 得證。 結(jié)合引理1 ～4,命題2 得證,進一步定理1得證。

3 結(jié)束語