任 杰

（常熟理工學(xué)院電子信息學(xué)院，江蘇蘇州 215500）

電容器是除電阻之外的第二大常用的元件.通常情況下電容器是由兩塊金屬電極之間夾一層絕緣電介質(zhì)構(gòu)成.當(dāng)在兩金屬電極間加上一定電壓時，電極上就會存儲一定量的電荷，所以電容器是一種儲能元件.由于電容器的廣泛應(yīng)用，電容一直是高中和大學(xué)物理重點教學(xué)內(nèi)容之一.平行板電容器作為電容器的典型代表，常用來探究電容器串并聯(lián)規(guī)律.本文從平行板電容器串并聯(lián)的兩道典型例題出發(fā)，利用靜電平衡后金屬板是等勢體這一結(jié)論分別研究電容器串聯(lián)和并聯(lián).教師在教學(xué)過程中充分強調(diào)該結(jié)論的重要性，有利于學(xué)生在以后處理類似問題中避免錯誤.

1 電容器的并聯(lián)

平行板電容器的電容C=ε0εrS／d，其中ε0是真空電容率，εr為相對電容率，S是平行板的面積，d是兩極板之間距離.電容的大小僅與導(dǎo)體的形狀、相對位置、其間的電介質(zhì)有關(guān)，與所帶電荷量無關(guān).對于電容器的并聯(lián)知識點，課本明確地給出兩個電容器C1和C2并聯(lián)后的電容C總=C1+C2.典型例題如下.

例1.一平行板長為l，寬為m，間距為d的電容器（如圖1 所示），兩板分別帶有+Q和-Q的電荷.先將一塊長為x，寬為m，間距為d，相對電容率為εr的電介質(zhì)插入其中，在忽略邊界效應(yīng)的情況下，試求電容器的電容以及中心P點的電場強度E的大小.

圖1

解析：對于第1問，學(xué)生很容易得出正確結(jié)果

而這一看似完美的結(jié)論卻是錯誤的.其原因是誤認(rèn)為兩極板上的電荷分布是不變的.這樣則會導(dǎo)致金屬極板左右兩端電勢差（U=Ed）不等.金屬中電勢差的存在必然導(dǎo)致板內(nèi)的自由電子發(fā)生移動直到靜電平衡為止.因此兩極板之間的電場強度肯定會發(fā)生改變.顯然達(dá)到靜電平衡后導(dǎo)體是等勢體，兩極板的左端和右端的電勢一定相等.

正確解法：利用（1）式得到電勢差U后即可得到電場強度

當(dāng)然這個問題還可以利用電荷密度與電場強度的關(guān)系和電荷守恒定律聯(lián)合求解，但是前提條件需要弄清楚電場強度分布，因此還得知道靜電平衡后導(dǎo)體是等勢體，兩極板之間的左右兩段的電勢差相等.

2 電容器的串聯(lián)

例2.忽略邊界效應(yīng)，求圖2（a）所示的電容.如果在兩種電介質(zhì)間放置一塊薄金屬板后電容是否變化？

圖2

解析：可以利用等效電容串并聯(lián)法來處理該問題.［1］首先，建立如圖2 所示的坐標(biāo)，會發(fā)現(xiàn)相對電容率為εr1和εr2的電介質(zhì)厚度隨x的變化關(guān)系分別為

在兩種電介質(zhì)接觸面放置一塊薄金屬板后，即使上下兩極板充相同電荷量，中間的金屬板也不會帶電，對電容上下極板電勢沒有影響，故電容器的電容沒有變化.實際上，只要我們仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)，在兩種介質(zhì)的接觸面上未放金屬板之前，它不是一個等勢體.如果放入金屬板以后，金屬板自始至終是一個等勢體.靜電平衡后導(dǎo)體表面的電場垂直導(dǎo)體表面，電容之間的電場分布就會改變，因而兩極板之間的電勢差可能改變.因此，放入金屬板可能對電容會有影響.我們將電介質(zhì)為εr2的部分簡化成圖2（b）所示的電容.該電容是非平行板電容.通過電勢的拉普拉斯方程以及利用電場強度等于電勢的負(fù)梯度這一規(guī)律，很容易發(fā)現(xiàn)如果兩極板上帶有電荷，電場線是以O(shè)點為圓心的圓弧線，同一電場線的電場相同.求解該電容為［2-5］

同理我們可得電介質(zhì)為εr1部分的電容

因此串聯(lián)后總的電容為

3 結(jié)論

靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)一直是物理教學(xué)的重點內(nèi)容之一，也是難點之一.學(xué)生在學(xué)習(xí)電容過程中，學(xué)生往往足夠重視電介質(zhì)對電容和電場的影響，而對于導(dǎo)體對電容的影響關(guān)注不足，從而導(dǎo)致一些問題.本文從兩道典型例題出發(fā)，充分體現(xiàn)了金屬靜電平衡后為等勢體這一重要結(jié)論對電容知識點學(xué)習(xí)的重要性，進(jìn)一步完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu).最后，期望這些分析為以后的相關(guān)教學(xué)提供一些幫助.