戎 杰

（浙江省慈溪中學(xué)，浙江寧波 315300）

“微元法”和“等效法”是分析、解決物理問題的常用方法.在牽連問題中，一個(gè)物體帶動另一個(gè)物體運(yùn)動，在確定彼此速度的定量關(guān)系時(shí)，通常會涉及到運(yùn)動的分解.如果學(xué)生形成盲目、死板記憶“沿繩方向和垂直繩方向分解速度”的結(jié)論，容易形成思維慣性，不利于科學(xué)思維的形成和核心素養(yǎng)的培育.從物理教學(xué)的有效性和學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)的角度來看，要使學(xué)生對物理規(guī)律“知其然而知其所以然”.筆者嘗試用“微元法”“等效法”“圖像法”“復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法”等方法，對一個(gè)牽連速度問題的兩種觀點(diǎn)進(jìn)行辨析與思考.

問題：如圖1，水平面上有一輛拖車P，高為h的水平高臺上有一輛小車Q，兩車之間用不可伸長的繩跨過定滑輪連接，當(dāng)P 車在水平面上以速度v勻速行駛時(shí)，高臺上的Q 車速度如何變化？加速度如何變化？

圖1

在教學(xué)中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維中存在兩種觀點(diǎn).

（1）Q 車速度判斷：根據(jù)P車在向右運(yùn)動過程中，有使滑輪右側(cè)繩子伸長并繞滑輪做圓周運(yùn)動的“實(shí)際運(yùn)動效果”，所以可把P 車的水平速度v進(jìn)行分解，如圖2，沿繩方向的分速度v1=vcosθ，垂直于繩方向的分速度v2=vsinθ，Q 車的速度vQ等于P 車沿繩方向分速度v1.隨著P 車向右運(yùn)動，θ減小，cosθ增大，因此Q 車向右做加速運(yùn)動.

圖2

（2）Q 車加速度判斷：做出Q 車的速度 時(shí)間圖像.由于加速度是速度的變化率，對速度函數(shù)求導(dǎo)，加速度大小｜a｜=｜v1′｜=vsinθ.由圖3可知，隨著θ不斷減小，sinθ不斷減小，加速度a不斷減小，因此Q 車做加速度不斷減小的加速運(yùn)動.

圖3

上述兩種觀點(diǎn)是否正確？

對于觀點(diǎn)（1），不少學(xué)生對于P 車的“實(shí)際運(yùn)動效果”普遍不甚理解.P車明明水平向右運(yùn)動，怎么會有繞滑輪做圓周運(yùn)動的效果呢？筆者認(rèn)為，可嘗試用“微元法”論證上述速度分解方法的正確性，解決學(xué)生心中的困惑.

如圖4，設(shè)P車在Δt時(shí)間內(nèi)從A點(diǎn)運(yùn)動到了B點(diǎn)，若取Δt→0，則繩OA、OC間夾角Δθ→0，即∠OAE=∠OBE=θ.

圖4

在OB上取C點(diǎn)，使｜OA｜=｜OC｜，因Δθ→0，∠OAC=∠OCA=90°.Q 車向右運(yùn)動的距離，即繩子伸長的距離.xQ=｜OB｜-｜OA｜=｜OB｜-｜OC｜=｜CB｜.

而｜CB｜=｜AB｜c(diǎn)osθ=v·Δtcosθ.

有vQ==vcosθ=v1.隨著θ的減小，cosθ增大，Q 車速度增大.

由“微元法”分析結(jié)果可知，把P 車的速度v沿繩和垂直于繩方向進(jìn)行分解是正確的.

對于觀點(diǎn)2，加速度是速度關(guān)于時(shí)間的變化率，而觀點(diǎn)2中求得的Q 車速度vcosθ.是v關(guān)于θ的函數(shù).若對速度函數(shù)直接求導(dǎo)得到的是v關(guān)于θ的導(dǎo)函數(shù)，而不是v關(guān)于t的導(dǎo)函數(shù)，所以并不表示加速度，因此通過v θ函數(shù)圖像的斜率判斷加速度的方法是錯(cuò)誤的.

進(jìn)一步分析，若設(shè)P車從E點(diǎn)出發(fā)經(jīng)過時(shí)間t運(yùn)動至A點(diǎn)，有如下3 種方法可判斷Q 車的加速度.

方法1：速度函數(shù)圖像法.

圖5

方法2：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法.

由結(jié)果可知，隨著t的增大，a不斷減小，Q 車做加速度減小的加速運(yùn)動.

方法3：等效法.

圖6

根據(jù)P 車水平面上做勻速直線運(yùn)動，所以加速度為0.現(xiàn)在“無中生有”，將“零”等效為a1、a2、an、aτ4 個(gè)分加速度：a1=an，a2=aτ.由P 車?yán)@O點(diǎn)做圓周運(yùn)動的分運(yùn)動來看，在t時(shí)刻，P車有指向O點(diǎn)的向心加速度an，和使繩子變長的加速度a1等大反向，即Q 車的加速度.

綜上，對一道關(guān)聯(lián)速度問題的兩種觀點(diǎn)進(jìn)行辨析與思考，體會微元法、圖像法、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法、等效法等方法在分析、解決高中物理問題中的重要作用，由淺入深、由易至難，前三種方法旨在體現(xiàn)運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的“數(shù)理結(jié)合”關(guān)鍵能力，等效法側(cè)重體現(xiàn)物理學(xué)科思想方法，提升物理思維品質(zhì)，體會物理學(xué)科精神.