肖瑩瑩 叢小涵 楊子涵 葉晴瑩
(福建師范大學物理與能源學院,福建福州 350117)
龍洗是古代的一種薄壁盥洗用具,一般為青銅材質(zhì),形似現(xiàn)在的臉盆.盆底裝飾有魚紋的,稱“魚洗”;盆底裝飾有龍紋的,稱“龍洗”(如圖1).龍洗出現(xiàn)的時間,最早可追溯至公元前五世紀,后在唐宋時期逐漸發(fā)展成熟.[1,2]該器物最初是工匠為皇宮設計的,后逐漸流傳至為民間.圖1、圖2所示龍洗底部扁平,盆底刻有4條龍,龍口位置位于圖2中a、b、c、d4處,盆沿左右兩邊各有一個把柄,稱為雙耳(如圖1).龍洗的外觀并不復雜,但奇妙之處在于:用手緩慢有節(jié)奏地摩擦盆邊兩耳,盆會像受擊撞一樣振動起來,盆內(nèi)水波蕩漾;倘若手法得當,4個龍口均可以噴出水花.[3]雖然龍洗的噴水原理已被廣泛認可,[4]但對其振動模型的研究卻多為定性研究.為了研究龍洗振動的細節(jié),本文結合駐波方程,并利用Matlab建模,[5-8]模擬出龍洗振動幅度的空間分布圖像.
圖1 龍洗構造圖
圖2 龍洗的龍口和十字線標注圖
當雙手以一定頻率摩擦龍洗雙耳時,在雙耳產(chǎn)生兩個方向相反、頻率相同的相干波源,兩列波相干疊加,呈現(xiàn)出穩(wěn)定的駐波狀態(tài).[9]摩擦時,雙手緊挨雙耳,雙耳可視為固定端,處于波節(jié)位置.[9]則根據(jù)波的疊加原理,駐波方程為[10]
其中,L表示圖3中以右耳A點為起點,沿逆時針方向的盆沿長度,λ為波長,f為頻率,u為L處的振點偏離平衡位置的位移,φ表示以右耳A點處為起點,沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)的角度.
圖3 駐波方程參數(shù)示意圖
由(1)式可知,龍洗模型側(cè)壁振動時的波節(jié)和波腹各有4個.[11]實驗現(xiàn)象(圖4)表明,龍洗噴水范圍對稱分布在的a、b、c、d4處,此4處即為(1)式中的4個波腹位置,亦即圖2中的a、b、c、d4個位置.從圖4中可見a、b、c、d之間有4個波節(jié)(位于圖4中4個白點位置),這一結果與(1)式的結果相符.
圖4 龍洗噴水實驗
根據(jù)駐波形成條件,可知相鄰兩波節(jié)或波腹間的距離為半個波長,可得
其中R為水面半徑.
將(2)(3)式代入(1)式可得
由(4)式可得龍洗各質(zhì)元隨位置變化的振幅函數(shù)(其中質(zhì)元是龍洗洗壁上產(chǎn)生振動的每一個微元)
為了進一步得到不同高度洗壁振幅的關系,利用柱面坐標的波動方程和簡化邊界條件[12]可解出龍洗噴水時洗壁各質(zhì)元偏離平衡位置的位移如(6)式所示.這一過程中,為了簡化模型,我們將龍洗視為柱形容器.[13-15]
(6)式中b為盆內(nèi)水體總高度,z為任意水高位置.Am為與角度φ相關的常數(shù)項,An為與任意水高位置z相關的常數(shù)項.am為φ函數(shù)的初相位,與(3)式的φ一致,則
聯(lián)立(6)~(8)式獲得的振幅函數(shù)表達式為
與(5)式對比,可發(fā)現(xiàn):當z=b,k=0時,(9)式與(5)式一致,說明(5)式是(9)式的特例,而(9)式是(5)式在空間上的延伸和拓展.
采用Matlab 對函數(shù)進行模擬.為了方便模擬,計算中取A′=A1/A1max.圖5模擬了不同半徑(R)的龍洗,側(cè)壁(也稱“洗壁”)振幅的空間分布圖像,圖色的深淺程度與洗壁輪廓上振幅的大小成反比.為方便觀察,圖5中采用直角坐標系,任意位置到(0,0,0)的水平距離為R.
圖5 不同半徑R 的洗壁波節(jié)和波腹的位置示意圖
圖6展示的是R=19cm 時龍洗洗壁振幅空間分布的散點圖,更方便讀者定位龍洗壁沿的波節(jié)及波腹位置.
圖6 洗壁波節(jié)和波腹的位置示意圖
取b=4.5cm,模擬(9)式可得圖7.為了方便模擬,計算中取A″=A2/A2max.從圖7 中可以看到,該圖完美呈現(xiàn)了4峰振型的現(xiàn)象,且4個波腹處的振幅隨著z值的增大明顯增大,而波節(jié)位置位于圖2中十字線位置.
比較圖5和圖7:圖5分析了同一高度、不同半徑R的洗壁質(zhì)元的振動隨位置變化的空間分布,得到同一高度的洗壁振幅隨半徑R的變化圖像,進而確定了洗壁振動引起噴水過程的波節(jié)和波腹;圖7則定量分析了整個系統(tǒng)中洗壁質(zhì)元隨位置變化的三維空間分布圖像,不僅明確了龍洗噴水過程中的波節(jié)和波腹,并且獲得了洗壁振幅隨水深的變化情況.由圖7 可以發(fā)現(xiàn),不同半徑(R)的龍洗,洗壁振幅都具有4峰振型的特征,即波腹波節(jié)均有4個,依次交替出現(xiàn).
圖7 龍洗半徑R 不同時,洗壁振幅空間分布圖像(b=4.5cm)
模擬結果與實驗現(xiàn)象(圖4)吻合.
為更好地展示龍洗洗壁各質(zhì)元振幅,我們作了不同z值的振幅分布橫向剖面圖,圖8 為z=1.5cm、z=3.0cm 和z=4.5cm 的振幅分布橫向剖面圖.對比圖8(a)、(b)、(c)發(fā)現(xiàn),振幅的空間分布與圖5吻合,且當z=b時[如圖8(c)],模擬結果和實驗現(xiàn)象(圖4)高度一致.圖8中,隨著z值增加,各波腹位置的振幅明顯增大.且圖8各分圖中顏色最深位置呈“十”字交叉,此即對應圖2 中“十”字交叉位置.
圖8 b=4.5cm 時,不同z值的振幅空間分布橫向剖面圖
從龍洗設計來看,龍洗中“龍吐水”的雕刻位置(圖2中a、b、c、d4處)需設計在圖8(c)中z=b時對應振幅最大的位置(即波腹位置,亦即圖8(c)中a、b、c、d4處).在沒有定量公式和數(shù)值模擬的古代,我們的祖先卻可以在青銅龍洗制作過程中準確定位“龍吐水”的位置,實在令人嘆為觀止.
圖9是圖7中經(jīng)過(0,0,0)點平行于z軸的縱剖面圖.從圖9(b)中可以看出,z取不同值時,φ=90°的振幅都為0,此處即為波節(jié)位置.而從圖9(a)(c)中可以看出,隨著z值的增加,波腹各質(zhì)元振幅逐漸增大,在z=b時,龍洗洗壁的振幅達到最大值,實驗現(xiàn)象(圖4)呈現(xiàn)為龍洗的噴水現(xiàn)象.
圖9 不同φ 值的振幅空間分布縱向剖面圖
為了研究水體高度b不同時的龍洗振動圖像,我們模擬了b分別為1.5cm、3.0cm、4.5cm和6.0cm 的龍洗洗壁振幅空間分布圖像,如圖10.
圖10 水體高度b不同時,洗壁振幅空間分布圖像
比較圖10 與圖2,可以發(fā)現(xiàn):對于4 節(jié)線(4峰)振動的振型,圖2中a、b、c、d4點對應圖10中不同b值的波腹位置,該處的振幅大于同一水平面的其他位置;4個波節(jié)位于圖2中十字線位置;對于任意b值,當z=b時龍洗洗壁振幅最大;沿著洗壁,壁沿的振幅呈現(xiàn)出周期性變化,相對振幅如圖10所示.
通過Matlab模擬,我們可以清晰地看到龍洗洗壁上振幅隨空間分布圖像,研究發(fā)現(xiàn),洗壁振幅與角度φ和水高z密切相關,其振動為典型的4峰振動,當z=b時洗壁振幅最大.該研究將抽象的龍洗噴水原理轉(zhuǎn)化為形象直觀的仿真圖,更好地解釋實驗現(xiàn)象,為龍洗噴水理論和實踐研究提供了有效的數(shù)據(jù)基礎.