董博，董惠敏，王德倫，張楚

（大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧大連 116024）

諧波齒輪傳動(dòng)在剛性輪齒假設(shè)條件下，對(duì)于杯型柔輪（一般諧波傳動(dòng)都是杯型柔輪）輪齒間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)在柔輪波發(fā)生器作用下屬于軸線傾斜的空間共軛運(yùn)動(dòng).目前，諧波齒輪傳動(dòng)輪齒共軛運(yùn)動(dòng)的常用方法是采用軸線平行的平面共軛理論進(jìn)行分析和對(duì)主截面進(jìn)行平面齒形設(shè)計(jì)［1-9］.但針對(duì)由柔輪空間變形引起的輪齒的空間嚙合造成的其他截面的干涉，王家序等［1］通過線性關(guān)系改變?nèi)彷嘄X根處的壁厚實(shí)現(xiàn)其他截面的無干涉嚙合，并在后續(xù)的改進(jìn)中［2-4］通過合理調(diào)整柔輪齒徑向位置的方法，實(shí)現(xiàn)空間無干涉嚙合；范元?jiǎng)椎龋?］和Yu 等［6］通過改變壁厚和修改變位系數(shù)方法實(shí)現(xiàn)其他截面的無干涉嚙合；Dong等［7-9］采用離散方法將空間問題離散為若干平面問題，建立瞬心線法研究輪齒的三維共軛運(yùn)動(dòng)，論證了輪齒共軛齒廓應(yīng)為三維空間曲面.以上的研究為諧波齒輪傳動(dòng)的空間嚙合運(yùn)動(dòng)提供了可行的研究思路與方法，但均將諧波傳動(dòng)輪齒的空間相對(duì)運(yùn)動(dòng)問題簡(jiǎn)化為平面運(yùn)動(dòng)問題，以截面齒形代替空間齒形或是對(duì)其進(jìn)行修正.雖然，以平面共軛運(yùn)動(dòng)近似處理諧波傳動(dòng)的空間共軛運(yùn)動(dòng)不失為一種簡(jiǎn)單的處理方法，但并非諧波齒輪傳動(dòng)的真實(shí)共軛運(yùn)動(dòng)，難以揭示輪齒運(yùn)動(dòng)的本質(zhì).為此，本文從根本上考慮諧波傳動(dòng)柔輪殼體的空間彈性變形，研究輪齒的空間共軛運(yùn)動(dòng)及其特性，為空間齒形設(shè)計(jì)和強(qiáng)度與壽命研究［10］奠定理論基礎(chǔ).

在諧波齒輪傳動(dòng)中，輪齒視為剛體，由于剛體的空間相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以描述為與剛體分別固連的瞬軸面的滾動(dòng)和滑動(dòng)［11-12］，因此輪齒的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以分解為繞瞬軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和沿瞬軸的移動(dòng)，其瞬軸面能夠表示剛性輪齒的空間相對(duì)運(yùn)動(dòng)，隱含了剛性輪齒空間運(yùn)動(dòng)的內(nèi)在信息.相伴方法是剛體相對(duì)運(yùn)動(dòng)分析中的一種常用方法［13］，以瞬軸面為原曲面，剛性輪齒的齒面為瞬軸面的相伴曲面，采用相伴方法研究瞬軸面與共軛齒面間的內(nèi)在聯(lián)系，能夠直接揭示剛性輪齒空間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的本質(zhì).

為了研究諧波齒輪傳動(dòng)輪齒的空間真實(shí)嚙合運(yùn)動(dòng)，本文提出一種基于相伴方法的諧波傳動(dòng)空間共軛運(yùn)動(dòng)模型.將剛/柔輪齒面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為瞬軸面的滾動(dòng)與滑動(dòng)，采用瞬軸面和一對(duì)共軛齒面的相伴運(yùn)動(dòng)方法，推導(dǎo)出諧波傳動(dòng)空間共軛條件式，進(jìn)而建立瞬軸面與共軛齒面相伴運(yùn)動(dòng)的共軛模型；通過所建立的空間共軛模型，分別研究了瞬軸與共軛點(diǎn)法矢的關(guān)系特性、空間共軛的退化與約束特性、嚙合面為準(zhǔn)不動(dòng)面的空間共軛特性；最后通過實(shí)例仿真對(duì)空間共軛模型與運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了驗(yàn)證，為諧波傳動(dòng)的空間共軛理論提供了一種新的共軛運(yùn)動(dòng)分析方法.

1 輪齒空間運(yùn)動(dòng)的動(dòng)定瞬軸面

1.1 柔輪殼體中性層母線上的坐標(biāo)系

諧波傳動(dòng)由波發(fā)生器、剛輪和柔輪3 個(gè)構(gòu)件組成，通常剛輪固定，波發(fā)生器輸入，柔輪輸出，其空間運(yùn)動(dòng)分析基于3種基本假設(shè)：

1）柔輪齒剛性不變形，僅在齒槽中部發(fā)生變形.

2）柔輪殼體變形時(shí)，柔輪杯底不變形.

3）柔輪殼體中性層與輪齒對(duì)稱面的交線為一條直線（母線），且相對(duì)杯底做三維空間運(yùn)動(dòng).

根據(jù)假設(shè)，柔輪殼體中性層母線的空間運(yùn)動(dòng)是由柔輪嚙合端的彈性變形約束及杯底的不變形約束共同確定的.在嚙合端，由殼體的半無矩理論可知，其徑向位移w、周向位移v、法向轉(zhuǎn)角μ和軸向位移u是關(guān)于轉(zhuǎn)角φ（柔輪嚙合端相對(duì)波發(fā)生器長(zhǎng)軸轉(zhuǎn)角）函數(shù).因此，在杯底不變形約束條件下，由柔輪齒嚙合端中性層母線與齒寬中截面交點(diǎn)的徑向位移w、周向位移v、法向轉(zhuǎn)角μ和軸向位移u由殼體的半無矩理論可得：

式中：w0為柔輪變形時(shí)的最大徑向變形量（w0=mc*，m為模數(shù)，c*為徑向變形系數(shù)）；rb為柔輪中性層變形前的半徑；l0為中性層母線與齒寬中截面交點(diǎn)距杯底的距離.

表1 諧波傳動(dòng)運(yùn)動(dòng)參數(shù)Tab.1 Motion parameters of harmonic drive

根據(jù)諧波傳動(dòng)原理，諧波傳動(dòng)剛性輪齒的輸入、輸出的轉(zhuǎn)角滿足：

式中：ZF為柔輪齒數(shù)；ZC為剛輪齒數(shù).

式（2）建立了各轉(zhuǎn)角與變量φ之間的函數(shù)關(guān)系φW（φ）、φF（φ）.

1.2 中性層母線的直紋面運(yùn)動(dòng)

以剛性柔輪齒固連的中性層母線Lk為參考直線，則參考直線Lk與齒寬中截面的交點(diǎn)為Of，其空間運(yùn)動(dòng)軌跡形成直紋面∑k，如圖1 所示，則在坐標(biāo)系SF下的直紋面的矢量方程可表示為：

圖1 諧波傳動(dòng)空間坐標(biāo)系Fig.1 Spatial coordinates of harmonic drive

式中：if、jf、kf分別為坐標(biāo)系Sf的單位方向矢量；iF、jF、kF分別為坐標(biāo)系SF的單位方向矢量.

式（3）～式（5）建立了各坐標(biāo)系間的位置關(guān)系及中性層母線的直紋面方程.

1.3 輪齒的動(dòng)定瞬軸面

剛性輪齒的空間相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以描述為與輪齒分別固連的瞬軸面的滾動(dòng)與滑動(dòng)，若直線Ls恰為輪齒空間相對(duì)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋軸（瞬軸ISA），則直線Ls需滿足準(zhǔn)不動(dòng)條件［21］：直線上各點(diǎn)Pi的速度相等；方向沿著直線方向不變.

從而滿足dlC/dφ=0（速度相等）（方向不變）.瞬軸Ls在SC下的運(yùn)動(dòng)軌跡形成定瞬軸面ГC，如圖2 所示，由準(zhǔn)不動(dòng)條件①可求得瞬軸的單位方向矢量為：

圖2 中性層母線的直紋面與瞬軸面Fig.2 Ruled surface of neutral layer generatrix and axode

式中：lf、lC分別為瞬軸在Sf、SC下的單位矢量；θ1、θ2為矢量lf在Sf下的方向角，θ1為矢量lf與Zf軸之間的夾角，θ2為Xf軸與矢量lf在坐標(biāo)平面Of-XfYf上投影矢量的夾角.

將式（4）、式（5）中的BCF、BFf代入式（6），可獲得兩個(gè)獨(dú)立標(biāo)量方程，因此可求出瞬軸的方向lC與變量φ之間的關(guān)系（θ1（φ）、θ2（φ））.

由準(zhǔn)不動(dòng)條件②可求得瞬軸的位置矢量為：

式中：為瞬軸上P點(diǎn)在SC下的矢量；為瞬軸上P點(diǎn)在Sf下的矢量；u1、u2、u3為P點(diǎn)在Sf下的相對(duì)坐標(biāo)分量.

將式（6）中的θ1（φ）、θ2（φ）代入式（7），可獲得3個(gè)標(biāo)量方程，因此可求出瞬軸的位置矢量與變量φ之間的關(guān)系（u1（φ）、u2（φ）、u3（φ））.聯(lián)立式（6）和式（7）可獲得Sf下的動(dòng)瞬軸面Гf、SC下的定瞬軸面ГC.動(dòng)定瞬軸面可表示為：

式中：λC為定瞬軸面ГC的直母線參數(shù)，λf為動(dòng)瞬軸面Гf的直母線參數(shù).

2 空間相伴運(yùn)動(dòng)的共軛模型

2.1 齒面與瞬軸面的相伴運(yùn)動(dòng)

以動(dòng)瞬軸面Гf和定瞬軸面ГC為原曲面，則柔輪剛性齒面Cf與剛輪剛性齒面CC分別為Гf和ГC的相伴曲面，如圖3 所示.由于瞬軸面的腰線具有唯一性，能夠反映出瞬軸面的幾何特征，因此由公式（8）可得以腰線為準(zhǔn)線的動(dòng)定瞬軸面可表示為：

圖3 剛性齒面與瞬軸面的相伴運(yùn)動(dòng)Fig.3 Concomitant motion of rigid tooth surfaces and axodes

式中：ρi為瞬軸面的腰線在Si下的矢量；bi為腰準(zhǔn)距.

式（9）建立了瞬軸腰線ρi及腰準(zhǔn)距bi與變量φ之間的函數(shù)關(guān)系（ρi（φ）、bi（φ））.

在剛性齒面的假設(shè)條件下，設(shè)輪齒齒面Ci為直紋面，齒面Ci上的點(diǎn)M在輪齒坐標(biāo)系Si下的位置矢量為，直紋面上的M點(diǎn)在Frenet 標(biāo)架下的位置矢量為，輪齒齒面直母線的方向矢量在Frenet標(biāo)架Si下為lii，輪齒齒面在M點(diǎn)處的法矢在Frenet 標(biāo)架Si下為nii.由于瞬軸面Гi與輪齒齒面Ci為兩個(gè)相伴曲面，因此在輪齒坐標(biāo)系Si下齒面Ci的位置矢量Rii可表示為：

式中：u1、u2、u3為M點(diǎn)在Frenet 標(biāo)架Si中的相對(duì)坐標(biāo)分量；l1、l2、l3為方向矢量lii在Frenet 標(biāo)架Si中的相對(duì)坐標(biāo)分量；n1、n2、n3為M點(diǎn)處的法矢nii在Frenet 標(biāo)架Si中的相對(duì)坐標(biāo)分量.

式（11）建立了齒面與瞬軸面的相伴運(yùn)動(dòng)關(guān)系.

2.2 基于相伴方法的共軛條件

由空間共軛基本原理可知，嚙合點(diǎn)處的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度在齒面公法線方向的投影為零，結(jié)合2.1節(jié)齒面與瞬軸面的相伴運(yùn)動(dòng)，則齒面上共軛點(diǎn)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度可表示為：

將式（11）與式（12）代入nii·VCf=0，可得基于相伴運(yùn)動(dòng)的齒面共軛條件式為：

共軛條件式（13）由瞬軸面的結(jié)構(gòu)參數(shù)（αi、βi、γi）、共軛齒面參數(shù)（u1、u2、u3、l1、l2、l3）及齒面微分參數(shù)（du1/dσi、du2/dσi、du3/dσi）三部分組成，通過共軛條件式（13）建立了瞬軸面與共軛齒面之間的內(nèi)在聯(lián)系，能夠清晰明了地表達(dá)出采用相伴方法的空間共軛運(yùn)動(dòng)機(jī)理.

2.3 共軛方程及共軛齒面求解方法

共軛齒面的接觸線lii在Frenet 標(biāo)架Si下的運(yùn)動(dòng)軌跡形成嚙合面，嚙合面上任意點(diǎn)只要滿足共軛條件式（13）便能成為共軛點(diǎn)，因此聯(lián)立式（11）與共軛條件式（13），可得共軛齒面的共軛方程為：

式（14）建立了滿足相伴運(yùn)動(dòng)共軛條件的共軛齒面方程，并清楚表達(dá)出了在Frenet標(biāo)架Si下的嚙合面的方程，在Frenet標(biāo)架Si下的嚙合面可作為連接瞬軸面與共軛齒面的橋梁.

諧波傳動(dòng)空間共軛齒面的求解問題可以概述為3 類基本求解問題：第1 類是已知一對(duì)輪齒的其中一個(gè)（剛輪或柔輪）齒面及運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求嚙合面及另一與其共軛的齒面；第2 類是已知嚙合面及運(yùn)動(dòng)規(guī)律，求空間共軛的一對(duì)輪齒（剛輪和柔輪）齒面；第3 類為已知一對(duì)輪齒的其中一個(gè)（剛輪或柔輪）齒面及嚙合面，求運(yùn)動(dòng)規(guī)律及另一共軛柔輪（或剛輪）齒面.以第2類問題為例，說明共軛齒面的求解方法：

1）已知在Frenet 標(biāo)架Si下的一個(gè)嚙合面Ti，根據(jù)式（11）確定嚙合面的位置矢量、方向矢量lii及法向矢量參數(shù)nii；

2）聯(lián)立式（1）～式（8），并代入瞬軸面式（9）確定瞬軸面的腰線矢量ρi（φ）及瞬軸方向矢量li（φ）；

3）將腰線ρi（φ）及方向矢量li（φ）代入式（10），求得瞬軸面的結(jié)構(gòu)參數(shù)（αi、βi、γi）；

4）將瞬軸面的結(jié)構(gòu)參數(shù)（αi、βi、γi）、嚙合面參數(shù)（uj、lj、nj，j=1，2，3）及齒面微分參數(shù)（duj/dσi）代入共軛條件式（13），求得嚙合面參數(shù)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)φ值；

5）將運(yùn)動(dòng)參數(shù)φ值代入式（14），求得空間共軛的剛輪齒面CC及柔輪齒面Cf.

3 空間相伴共軛運(yùn)動(dòng)的特性

3.1 瞬軸與共軛點(diǎn)法矢的關(guān)系特性

由于空間任意一點(diǎn)處的相對(duì)速度和這個(gè)點(diǎn)繞瞬軸做一定的螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度相同，因此，當(dāng)空間共軛齒面的接觸線在任意瞬時(shí)均為直線時(shí)，在任意瞬時(shí)接觸線上任意一點(diǎn)的相對(duì)速度均等于該點(diǎn)繞瞬軸做一定螺旋運(yùn)動(dòng)時(shí)的線速度.相對(duì)速度可表示為（ωl為嚙合點(diǎn)的相對(duì)速度繞瞬軸的回轉(zhuǎn)角速度，vl為該點(diǎn)的相對(duì)速度沿瞬軸的滑動(dòng)速度），將其代入空間共軛基本原理公式nii·VCf=0可得：

3.2 空間共軛退化為平面共軛的約束特性

諧波傳動(dòng)輪齒的空間共軛運(yùn)動(dòng)退化為平面共軛運(yùn)動(dòng)后，動(dòng)定瞬軸面（退化為兩柱面）及共軛齒面在其直母線方向（Zi軸方向）不產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，僅在平面XiYi內(nèi)運(yùn)動(dòng)，由式（15）可知，退化為平面共軛運(yùn)動(dòng)后，共軛齒面法矢nii與嚙合點(diǎn)位置矢量共線且瞬軸相交于Q點(diǎn)，退化后的空間共軛運(yùn)動(dòng)在平面XiYi內(nèi)的投影如圖4所示.

圖4 空間共軛退化后的平面相伴運(yùn)動(dòng)Fig.4 Plane concomitant motion after space conjugate degeneration

設(shè)（ri，θ）i為嚙合點(diǎn)M在下的極坐標(biāo)位置，則由公式（11）可得共軛齒面法矢nii（n1=cosθ，n2=sinθ，n3=0）及嚙合點(diǎn)位置矢量（u1=rcosθ，u2=rsinθ，u3=0），將其代入式（16）可得退化后平面共軛運(yùn)動(dòng)的共軛條件為dr+cosθds=0，這與文獻(xiàn)［15］推導(dǎo)的結(jié)論一致，驗(yàn)證了采用相伴方法的諧波傳動(dòng)剛性輪齒共軛條件式的正確性.

3.3 嚙合面為準(zhǔn)不動(dòng)面的共軛特性

為證明本文所提出的空間相伴運(yùn)動(dòng)共軛模型的通用性與統(tǒng)一性，以嚙合面為準(zhǔn)不動(dòng)面（接觸線為直線且滿足準(zhǔn)不動(dòng)線條件，接觸線與嚙合線共面）為例，通過本文第2 節(jié)內(nèi)容，分析其空間共軛運(yùn)動(dòng)特性.如圖5所示，由于嚙合面為平面Ti，設(shè)過瞬軸面腰線上的Q點(diǎn)做嚙合面Ti的垂線并與嚙合面相交于M點(diǎn)，則嚙合面Ti上的M點(diǎn)在Frenet標(biāo)架Si下的位置矢量可表示為，其中，p為瞬軸面腰線上的Q點(diǎn)到嚙合面Ti的距離，當(dāng)嚙合面Ti為準(zhǔn)不動(dòng)面時(shí)代入準(zhǔn)不動(dòng)面條件可得：dn1/dσi=n2，dn2/dσi=-n1+βin3，dn3/dσi=-βin2，dp/dσi=-αin1-γin3，設(shè)C、D分別為異面直線li與nii公垂線的垂足，在Frenet 標(biāo)架Si下C點(diǎn)及D點(diǎn)的位置矢量可表示為，且滿足，與齒面共軛條件式（13）聯(lián)立可得

圖5 嚙合面為準(zhǔn)不動(dòng)面的相伴運(yùn)動(dòng)Fig.5 Concomitant motion of meshing surface with quasi-fixed surface

式中：α*、β*為動(dòng)定瞬軸面的誘導(dǎo)結(jié)構(gòu)參數(shù)，且α*=αCαf，β*=βC-βf.

3.4 實(shí)例仿真驗(yàn)證

實(shí)例采用凸輪的外輪廓線為余弦曲線的波發(fā)生器，剛輪固定、波發(fā)生器輸入、杯型柔輪杯底輸出，諧波傳動(dòng)結(jié)構(gòu)如圖6 所示，仿真參數(shù)如表2 所示.基于本文所建立的瞬軸面的空間相伴共軛方法，采用MATLAB 編程對(duì)諧波傳動(dòng)的空間運(yùn)動(dòng)進(jìn)行仿真分析，以檢驗(yàn)該方法的準(zhǔn)確性.運(yùn)動(dòng)參數(shù)φ的取值范圍為φ∈［-π/2，π/2］，以表2 的具體參數(shù)仿真輪齒的共軛相伴運(yùn)動(dòng)，仿真結(jié)果如圖7所示.

圖6 諧波傳動(dòng)結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Structural diagram of harmonic drive

圖7 輪齒空間相伴運(yùn)動(dòng)的仿真結(jié)果Fig.7 Simulation results of spatial concomitant motion between gear teeth

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation parameters

由圖7（a）和圖7（b）可知：中性層母線在SC下的直紋面關(guān)于平面XCYC對(duì)稱，形狀為柔輪殼體齒寬前端尖裝、齒寬后端尖裝變凸的特殊曲面；中性層以腰線ρC為準(zhǔn)線的直紋面RC同樣關(guān)于平面XCYC對(duì)稱，RC與為不同準(zhǔn)線下同一直紋面的不同描述.由圖7（c）～圖7（l）可知：

1）退化前瞬軸的運(yùn)動(dòng)為空間運(yùn)動(dòng)，退化后瞬軸的運(yùn)動(dòng)為平面運(yùn)動(dòng)；

2）退化前后截面均呈現(xiàn)沿Y軸對(duì)稱且不封閉的軌跡線；

3）退化后在開口處存在兩條沿Y軸對(duì)稱交叉的漸近線，退化后的瞬軸面截面曲線與文獻(xiàn)［16］所述平面瞬心線一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性；

4）空間運(yùn)動(dòng)與退化平面運(yùn)動(dòng)為2 種不同的運(yùn)動(dòng)，說明本文所建立的空間共軛模型的重要意義.

4 結(jié)論

本文所建立的諧波傳動(dòng)空間相伴運(yùn)動(dòng)共軛模型，能夠全面考慮柔輪殼體的空間彈性運(yùn)動(dòng)，即符合環(huán)型柔輪的空間共軛運(yùn)動(dòng)的諧波傳動(dòng)，也適用于桶形柔輪的平面共軛運(yùn)動(dòng)（如復(fù)式諧波傳動(dòng)）.本文的主要貢獻(xiàn)有：

1）基于相伴方法建立了諧波傳動(dòng)空間共軛運(yùn)動(dòng)模型，以瞬軸面為原曲面，剛性齒面為相伴曲面，推導(dǎo)出基于相伴運(yùn)動(dòng)的齒面共軛條件式，建立了瞬軸面的結(jié)構(gòu)參數(shù)與共軛齒面參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，幾何意義明確，簡(jiǎn)明直觀.

2）通過瞬軸與共軛齒面法矢的關(guān)系特性與分析表明：嚙合點(diǎn)的公法線與瞬軸垂直相交的充要條件為混合積（nii，li，）為零，瞬軸與嚙合點(diǎn)的公法線垂直并相交是空間共軛的一個(gè)特例.

3）通過空間共軛退化為平面共軛的約束特性與分析表明：諧波傳動(dòng)剛性輪齒的平面運(yùn)動(dòng)為空間運(yùn)動(dòng)退化后的一種特殊運(yùn)動(dòng)，退化后的空間運(yùn)動(dòng)的瞬軸面截面曲線與平面運(yùn)動(dòng)的瞬心線一致，由此可知空間運(yùn)動(dòng)退化后的運(yùn)動(dòng)與平面運(yùn)動(dòng)一致，模型對(duì)一般諧波傳動(dòng)和復(fù)式諧波傳動(dòng)具有適應(yīng)意義.

4）通過嚙合面為準(zhǔn)不動(dòng)面的共軛特性與分析表明：對(duì)于空間共軛齒面，當(dāng)嚙合面為準(zhǔn)不動(dòng)面時(shí)，在任意共軛瞬時(shí)，其接觸線上任意點(diǎn)的法矢與瞬軸夾角相等，且接觸線上任意點(diǎn)的法矢與瞬軸公垂線的距離恒定.