張子芳

(甘肅省民樂縣第一中學(xué) 734500)

本文側(cè)重賞析以下四類新情景數(shù)列問題的解析，旨在幫助同學(xué)們明確此類問題的求解策略，進(jìn)一步鞏固所學(xué)數(shù)列知識(shí)在解題中的靈活應(yīng)用，進(jìn)而提高分析、解決問題的實(shí)際能力.

1 “周期”型數(shù)列問題

在數(shù)列問題中，當(dāng)正整數(shù)n較大時(shí)，要計(jì)算an或Sn，一般是利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式求解；若數(shù)列不是等差或等比數(shù)列，則往往需要優(yōu)先考慮數(shù)列的周期性.

例1在數(shù)列{an}中，已知a1=2，a2=3，當(dāng)n≥2時(shí)，an+1是an·an-1的個(gè)位數(shù)，則a2022=____.

解析根據(jù)題設(shè)得a1=2,a2=3，a3=6,a4=8,a5=8,a6=4,a7=2,a8=8，a9=6,a10=8,a11=8,a12=4,a13=2,a14=8,….

所以據(jù)此可知數(shù)列{an}中的各項(xiàng)從第3項(xiàng)起，會(huì)反復(fù)出現(xiàn)數(shù)字6,8,8,4,2,8，即具有周期性(以6為周期).

又注意到2022=2+336×6+4，

故易知所求a2022=4.

評注通過羅列數(shù)列的前幾項(xiàng)，可歸納獲得該數(shù)列的周期性，這是本題求解的關(guān)鍵所在.

2 “分段”型數(shù)列問題

若所給原數(shù)列遞推式是分段函數(shù)的形式，則有意識(shí)地去探求新數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)之間的緊密聯(lián)系，往往會(huì)發(fā)現(xiàn)隱藏在其中的規(guī)律、特點(diǎn)，從而便于迅速找到解題思路.

(2)根據(jù)題設(shè),得

易知bn≠0.

3 “新運(yùn)算”型數(shù)列問題

數(shù)列問題中，如果題目給出了“新運(yùn)算”，那么需要我們先認(rèn)真閱讀，準(zhǔn)確理解、認(rèn)識(shí)“新運(yùn)算”的特點(diǎn)；然后再結(jié)合相關(guān)數(shù)列知識(shí)加以靈活分析、求解.

(1)若an=2n-1，則Q4=____；

(2)若Qn=n2(n∈N*)，則an=____.

解析(1)因?yàn)閍n=2n-1，

所以a1a2…an=n2(n∈N*).

①

于是，可知a1a2…an-1=(n-1)2(n≥2).

②

從而，當(dāng)n≥2時(shí)，由①÷②可得

又當(dāng)n=1時(shí)，an=a1=Q1=1，顯然不滿足上式成立.

評注由①②兩式求an時(shí)，必須要注意成立的前提條件是n≥2,否則極易出錯(cuò).

4 “新定義”型數(shù)列問題

數(shù)列問題中，如果題目給出了“新定義”，那么需要我們先認(rèn)真學(xué)習(xí)，徹底搞清“新定義”是如何描述的；然后再結(jié)合相關(guān)數(shù)列知識(shí)加以靈活分析、求解.

例4 對任意x∈R，設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)f(x)=[x]叫做高斯函數(shù)(又稱“取整函數(shù)”).

(2)若bn=f(log2n),n∈N*，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求T1024.

解析(1)通過觀察前n項(xiàng)，得

所以S30=0×(3-1)+1×(6-3)+2×(9-6)+…+9×(30-27)+10

=3(1+2+…+9)+10=145.

(2)通過觀察前n項(xiàng)，得

評注本題先將數(shù)列通項(xiàng)寫成關(guān)于“n”的分段函數(shù)的形式，這樣有利于幫助我們順利探求規(guī)律、簡潔求和.此外，要注意準(zhǔn)確寫出數(shù)列通項(xiàng)公式中各段“n”的取值范圍.

總之，上述歸類舉例解析，不僅拓寬了我們的解題思維視野，增長了見識(shí)，而且可幫助我們積累一些求解數(shù)列新情景問題的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)強(qiáng)化了相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法在解題中的靈活、綜合運(yùn)用能力.

一般來講，處理新情景數(shù)列問題需要過好三關(guān)：第一關(guān)，“心理關(guān)”，需要在心理上克服畏懼、膽怯等心理活動(dòng)，必須具有積極的挑戰(zhàn)、探究、鉆研精神；第二關(guān)，“閱讀理解關(guān)”，通過認(rèn)真閱讀、思考，有利于審清題意，知道題設(shè)條件是什么，明確目標(biāo)問題是什么；第三關(guān)，“運(yùn)用關(guān)”，能夠?qū)⑺鶎W(xué)數(shù)列知識(shí)與其他相關(guān)知識(shí)在解題中加以靈活運(yùn)用，從而順利解決目標(biāo)問題.