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        挖掘真題背景 把握命題方向
        ——對(duì)2011年浙江理數(shù)第21題和2021年全國(guó)甲卷第20題的一般性推廣

        2022-11-03 03:22:06沈海全
        數(shù)理化解題研究 2022年28期
        關(guān)鍵詞:拋物線數(shù)學(xué)

        沈海全

        (浙江省紹興市越州中學(xué) 312000)

        2021年全國(guó)甲卷第20題解析幾何中三切線問(wèn)題的出現(xiàn)感覺(jué)耳目一新但又似曾相識(shí),與2011年浙江理數(shù)第21題有類似的背景和解法,筆者對(duì)這兩個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了深度挖掘并作了一般性推廣,為讀者在教學(xué)研究中提供一種思路.

        1 真題呈現(xiàn)

        真題1(2011年浙江理數(shù)第21題)如圖1所示,已知拋物線C1:x2=y,圓C2:x2+(y-4)2=1的圓心為點(diǎn)M.

        圖1

        (1)求點(diǎn)M到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離;

        (2)已知點(diǎn)P是拋物線C1上一點(diǎn)(異于原點(diǎn)),過(guò)點(diǎn)P作圓C2的兩條切線,交拋物線C1于A,B兩點(diǎn),若過(guò)M,P兩點(diǎn)的直線l垂直于AB,求直線l的方程.

        真題2(2021年全國(guó)甲卷第20題)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,直線l:x=1交C于P,Q兩點(diǎn),且OP⊥OQ.已知點(diǎn)M(2,0),且⊙M與l相切.

        (1)求C,⊙M的方程;

        (2)設(shè)A1,A2,A3是C上的三個(gè)點(diǎn),直線A1A2,A1A3均與⊙M相切.判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

        2 試題解法

        限于篇幅僅對(duì)真題2給出解法.

        所以拋物線C的方程為y2=x.

        因?yàn)椤袽與l相切,所以⊙M:(x-2)2+y2=1.

        (2)設(shè)A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3).

        (2)當(dāng)A1,A2,A3都不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),直線A1A2的方程為x-(y1+y2)y+y1y2=0,

        所以直線A2A3的方程為

        令M(2,0)到直線A2A3的距離為d,則有

        所以此時(shí)直線A2A3與⊙M相切.

        綜上,直線A2A3與⊙M相切.

        3 一般性推廣

        兩題均以拋物線上的任一動(dòng)點(diǎn)向定圓作切線為背景,都可采用同構(gòu)的思想來(lái)解決問(wèn)題,但2021年全國(guó)甲卷第20題顯得更為特殊,第三條交點(diǎn)弦仍與圓相切,引起了筆者的思考,現(xiàn)將結(jié)論推廣到一般的拋物線和橢圓.

        推廣1已知A1為拋物線C:y2=2px(p>0)上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A1作⊙M:(x-4p)2+y2=4p2的兩條切線分別交拋物線C于A2,A3兩點(diǎn),證明:直線A2A3與⊙M相切.

        聯(lián)立直線A1A2與拋物線方程可得x=6p.

        所以此時(shí)直線A2A3與⊙M相切.

        (2)當(dāng)A1,A2,A3都不是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí),設(shè)A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3),即x1≠x2≠x3,此時(shí)直線A1A2的方程為2px-(y1+y2)y+y1y2=0.

        由直線A1A2與圓相切可得

        所以直線A2A3的方程為

        令M(4p,0)到直線A2A3的距離為d,則有

        此時(shí)直線A2A3與⊙M相切.

        綜上,直線A2A3與⊙M相切.

        波利亞說(shuō):“要充分利用一般化、特殊化與類比在變更問(wèn)題方面中的功能.通過(guò)對(duì)問(wèn)題的觀察、猜測(cè)、推廣,體會(huì)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程,提高創(chuàng)造性思維能力.”因此筆者并不滿足于得到上述的推廣,而是繼續(xù)深入探索,利用類比的思想將結(jié)論進(jìn)一步推廣到橢圓,通過(guò)研究,發(fā)現(xiàn)橢圓也有如下完全類似的結(jié)論.

        聯(lián)立直線A1A2與橢圓方程,得

        所以此時(shí)直線A2A3與⊙M相切.

        (2)當(dāng)A1,A2,A3都不是橢圓左、右頂點(diǎn)時(shí),設(shè)A1(acosα,bsinα),A2(acosβ,bsinβ),A3(acosγ,bsinγ),

        整理,得

        整理,得

        (a+b)cosα(acosβ)+(a+b)sinα(bsinβ)+ab=0.

        同理可得

        (a+b)cosα(acosγ)+(a+b)sinα(bsinγ)+ab=0.

        即A2(acosβ,bsinβ),A3(acosγ,bsinγ)在直線(a+b)cosαx+(a+b)sinαy+ab=0上.

        所以直線A2A3方程為

        (a+b)cosαx+(a+b)sinαy+ab=0.

        令O(0,0)到直線A2A3的距離為d,則有

        此時(shí)直線A2A3與⊙M相切.

        綜上,直線A2A3與⊙M相切.

        證明同推廣2,限于篇幅不再贅述.

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:“數(shù)學(xué)教育承載著立德樹人的根本任務(wù),發(fā)展素質(zhì)教育的功能,數(shù)學(xué)教育幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進(jìn)一步學(xué)習(xí)所必須的數(shù)學(xué)知識(shí)、技能、思想和方法,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界,會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界,會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界,促進(jìn)學(xué)生思維能力、實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展.”這對(duì)我們一線教師的專業(yè)水平提出了更高的要求,而深度研究高考真題,挖掘真題背景是提升教師專業(yè)素養(yǎng)、提高教學(xué)站位、準(zhǔn)確把握教學(xué)方向的重要途徑.

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