蘇藝偉

(福建省龍海第一中學(xué)新校區(qū) 363100)

對(duì)于復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,常常采用換元的方法求解.通常將表達(dá)式中的某部分換成t,看成是函數(shù)y=g(t)與函數(shù)t=f(x)復(fù)合而成,最終轉(zhuǎn)化為研究直線y=t與曲線y=f(x)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.此類題型體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想,能夠較好地考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力,邏輯推理、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力,經(jīng)常出現(xiàn)在選填壓軸試題當(dāng)中,深受命題者親賴.

類型1 函數(shù)f(x)中將某個(gè)整體替換成t.

令h′(x)=0,得x=2.

又h(0)=0,故h(x)的圖象如圖1所示.

圖1

對(duì)于方程t2+2at+2=0,有Δ=4a2-8.

此時(shí)方程t2+2at+2=0無(wú)解,不符合題意;

類型2 含f2(x)的表達(dá)式中將f(x)替換成t.

圖2

解析令t=f(x),則關(guān)于t的方程t2-(2m+1)t+m2=0存在兩個(gè)實(shí)根t1,t2.

不妨設(shè)t1

故關(guān)于x的方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0有7個(gè)不同的實(shí)根就是函數(shù)y=f(x)圖象與直線y=t1,y=t2交點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為7.

如圖2所示,要使得交點(diǎn)個(gè)數(shù)和為7,則

0

將t2=4代入方程t2-(2m+1)t+m2=0,

得m=2或m=6.

又t1t2=m2<16,故m=2.

分析由于方程f2(x)-(2m+1)f(x)+m2=0含有f2(x),故將f(x)替換成t,轉(zhuǎn)化為研究方程t2-(2m+1)t+m2=0實(shí)根的分布情況以及直線y=t與曲線y=f(x)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

類型3 含f[f(x)]的表達(dá)式中將f(x)替換成t.

圖3 圖4

對(duì)于方程②,函數(shù)y=f(t)圖象與直線y=-k交點(diǎn)橫坐標(biāo)t的取值范圍如圖3所示.

當(dāng)-k≤0,即k≥0時(shí),y=f(t)圖象與直線y=-k無(wú)交點(diǎn);

當(dāng)0<-k<1，即-1

當(dāng)1<-k

當(dāng)-k≥e,即k≤-e時(shí),交點(diǎn)橫坐標(biāo)t1<0,t2≥1，對(duì)應(yīng)圖4中的2個(gè)交點(diǎn).

綜合上述分析,當(dāng)k≥-1時(shí),關(guān)于x的方程f[f(x)]+k=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有0個(gè);

當(dāng)-e

當(dāng)k≤-e時(shí),關(guān)于x的方程f[f(x)]+k=0的零點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè).

分析由于方程f[f(x)]+k=0含有f[f(x)],故將f(x)替換成t,轉(zhuǎn)化為研究方程f(t)=-k以及直線y=t與曲線y=f(x)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

圖5 圖6

A.無(wú)論a為何值,均有2個(gè)零點(diǎn)

B.無(wú)論a為何值,均有4個(gè)零點(diǎn)

C.當(dāng)a>0時(shí),有3個(gè)零點(diǎn), 當(dāng)a<0時(shí),有2個(gè)零點(diǎn)

D.當(dāng)a>0時(shí),有4個(gè)零點(diǎn), 當(dāng)a<0時(shí),有1個(gè)零點(diǎn)

當(dāng)a>0時(shí),先考慮方程④,函數(shù)y=f(t)圖象與直線y=-1相交于A,B兩點(diǎn),對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為t1,t2.如圖5所示.顯然t1<0,0

再考慮方程③,如圖6所示,函數(shù)y=f(x)圖象與直線y=t1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè),函數(shù)y=f(x)圖象與直線y=t2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè).

故當(dāng)a>0時(shí),函數(shù)y=f[f(x)]+1有4個(gè)零點(diǎn).同理可知,當(dāng)a<0時(shí),有1個(gè)零點(diǎn).

分析由于方程f[f(x)]+1=0含有f[f(x)],故將f(x)替換成t,轉(zhuǎn)化為研究方程f(t)=-1以及直線y=t與曲線y=f(x)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù).

通過(guò)對(duì)上述幾道試題的分析,不難發(fā)現(xiàn)此類復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,既注重基礎(chǔ),又兼顧能力,較好地體現(xiàn)了中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系提出的基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性要求.此類試題的解決思路較為固定,往往采用換元的方法,結(jié)合圖形,觀察一條直線與一條曲線圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù).然而法無(wú)定法,試題千變?nèi)f化,在實(shí)際解題中,我們必須根據(jù)題目所給出的條件靈活地選擇合適的方法,方能以不變應(yīng)萬(wàn)變,實(shí)現(xiàn)解題的最優(yōu)化.