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        例談同構(gòu)法在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

        2022-11-03 04:11:40白亞軍
        數(shù)理化解題研究 2022年28期
        關(guān)鍵詞:變形利用結(jié)構(gòu)

        白亞軍

        (甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué) 737200)

        用導(dǎo)數(shù)比較大小、解不等式,其關(guān)鍵在于利用題目條件構(gòu)造輔助函數(shù),把比較大小、解不等式問題轉(zhuǎn)化為先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而根據(jù)單調(diào)性比較大小或解不等式.

        1 雙變量型

        含有同等地位的兩個(gè)變量x1,x2的等式或不等式,同構(gòu)后使等式或不等式兩側(cè)具有一致的結(jié)構(gòu),便于構(gòu)造函數(shù)解決問題.常見的同構(gòu)類型有:

        (1)g(x1)-g(x2)>λ[f(x2)-f(x1)]?g(x1)+λf(x1)>g(x2)+λf(x1),從而構(gòu)造函數(shù)h(x)=g(x)+λf(x);

        (1)求函數(shù)f(x)的定義域;

        分析第(2)問中的雙變量不等式,若變量能分離且結(jié)構(gòu)相同,則問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題.

        所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,4)

        評(píng)注例1中出現(xiàn)的雙變量問題是同構(gòu)法中較為典型的情況,思路明確,針對(duì)上述類型的不等式,分離變量,構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性,解不等式.

        2 指對(duì)跨階型

        2.1 直接變形

        (1)積型:aea≤blnb?aea≤lnb·elnb,從而構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex;aea≤blnb?ealnea≤blnb,從而構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx;aea≤blnb?ln(aea)≤ln(blnb)?a+lna≤lnb+ln(lnb),從而構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx.

        (3)和差型:ea±a>b±lnb?ea±a>elnb±lnb,從而構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex±x;ea±a>b±lnb?ea±lnea>b±lnb,從而構(gòu)造函數(shù)f(x)=x±lnx.

        2.2 先湊再變形

        若式子無法直接進(jìn)行變形同構(gòu),往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量,如兩邊同乘以x,同加上x等,再用上述方式變形.常見的變形有:

        (1)aeax>lnx?axeax>xlnx;

        例2若關(guān)于x的不等式ex-a≥lnx+a對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

        C. (-∞,1] D. (-∞,2]

        分析不等式兩側(cè)都加上x,即能出現(xiàn)同構(gòu)法中的“和差型”.由不等式的結(jié)構(gòu)判斷,通過將不等式變形為ex-a+x-a≥lnx+x,符合同構(gòu)法中的指對(duì)同階模型.

        解析將條件不等式兩側(cè)都加上x得到ex-a+x-a≥lnx+x.

        設(shè)f(t)=et+t,則f′(t)=et+1>0.

        所以f(t)在R上單調(diào)遞增.

        由ex-a+x-a≥lnx+elnx,得

        f(x-a)≥f(lnx).即x-a≥lnx.

        即a≤x-lnx對(duì)一切正實(shí)數(shù)x恒成立.

        令g′(x)>0,則x>1;令g′(x)<0,則0

        故g(x)min=g(1)=1,故a≤1.故選C.

        評(píng)注不等式或函數(shù)中指對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)都存在時(shí),仔細(xì)觀察結(jié)構(gòu)特征,可優(yōu)先考慮放縮或同構(gòu),化繁為簡(jiǎn),降低單調(diào)性判斷的難度.故要對(duì)常見不等關(guān)系的結(jié)論及上述的常見變形方法牢記于心,能夠熟練變形,構(gòu)造相應(yīng)函數(shù).

        3 同構(gòu)放縮或同構(gòu)換元共存型

        有些更復(fù)雜的指對(duì)不等式,利用常見的變形方法先進(jìn)行同構(gòu)變形再換元,使構(gòu)造的函數(shù)較為簡(jiǎn)單,或者不等式本身的結(jié)構(gòu)不特殊,可以先結(jié)合常用不等結(jié)論放縮.常見的放縮模型:

        (3)利用lnx≤x-1放縮:x+lnx=ln(xex)≤xex-1;x+nlnx≤xnex-1.

        例3 已知函數(shù)f(x)=xeax-1(a∈R).

        (1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

        分析待證明的不等式中有xex,lnx+x,容易聯(lián)系到指對(duì)同階的常見變形,將不等式同構(gòu).

        解析(1)由題意知,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.

        設(shè)t=xex,則當(dāng)x>0時(shí),t∈(0,+∞).

        令g′(t)=0,則t=1.

        所以g(t)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.

        所以g(t)≥g(t)min=g(1)=0.

        評(píng)注第(2)問進(jìn)行指對(duì)變形,換元簡(jiǎn)化函數(shù),同構(gòu)法讓復(fù)雜的函數(shù)式在指對(duì)結(jié)構(gòu)上呈現(xiàn)“一致性”,再換元,大大降低了函數(shù)研究的難度,但這類問題,方法不唯一,也可利用其他方法,比如不等式證明問題,直接構(gòu)造函數(shù)求最值,或者變形為f(x)>g(x)的結(jié)構(gòu),比較最值.

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