朱 睿，張祥朝，李紹良，趙萬(wàn)良，陳雨諾，郎 威，徐 敏

（1. 復(fù)旦大學(xué) 上海超精密光學(xué)制造工程技術(shù)研究中心·上?！?00438；2.上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109；3.上海慣性工程技術(shù)研究中心·上?！?01109）

0 引 言

半球諧振陀螺儀是慣性導(dǎo)航制導(dǎo)、姿態(tài)穩(wěn)定控制、慣性測(cè)量等單元中的關(guān)鍵部件，具有高精度、長(zhǎng)壽命、高可靠性的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航天、航空、艦船等武器裝備系統(tǒng)中[1]。半球諧振陀螺主要由激勵(lì)罩、內(nèi)基座、外基座以及核心器件—半球諧振子構(gòu)成，其工作原理是基于半球諧振子繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的哥氏效應(yīng)，使其二階振型即四波腹駐波振動(dòng)沿環(huán)向相對(duì)殼體進(jìn)動(dòng)。當(dāng)殼體繞中心軸轉(zhuǎn)過(guò)ψ角時(shí)，振型相對(duì)球殼反向轉(zhuǎn)過(guò)α角，且有α=Kψ，K為振型的進(jìn)動(dòng)因子[2]。因此,只要精確測(cè)量出振型相對(duì)殼體轉(zhuǎn)過(guò)的角度α，就可得出殼體繞中心軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度ψ[3]。

由于半球諧振子在加工過(guò)程中的內(nèi)部缺陷、質(zhì)量分布不均勻、殘余應(yīng)力、幾何尺寸偏差等引起的零位偏置以及自身的能量損耗，易使得通過(guò)探測(cè)振幅恢復(fù)諧振子振型進(jìn)而測(cè)量得到的殼體繞中心軸轉(zhuǎn)過(guò)角度ψ的過(guò)程出現(xiàn)偏差，影響慣性導(dǎo)航器件的定位精度。當(dāng)前主要采用電容傳感器[4]、激光多普勒測(cè)振儀[5-6]等方式探測(cè)單點(diǎn)振幅，但是無(wú)法分離周向進(jìn)動(dòng)、振幅衰減等因素，導(dǎo)致探測(cè)誤差。因此，研究者不斷探索振動(dòng)的面域測(cè)量方法，包括數(shù)字全息干涉技術(shù)、數(shù)字散斑干涉技術(shù)[7]、像點(diǎn)移動(dòng)法[8]和條紋投影法[9-10]等。但這些方法或依賴(lài)于嚴(yán)苛的物理假設(shè)，或者只適用于粗糙表面，均不適合鍍膜前低反射率諧振子的振型測(cè)量。為此，本文提出了一種基于偏折術(shù)的振型測(cè)量技術(shù)，并發(fā)展了誤差分離與參數(shù)擬合算法，實(shí)現(xiàn)了半球諧振子振型的高精度面域測(cè)量。

1 振動(dòng)偏折測(cè)量原理與光路設(shè)計(jì)

單目偏折測(cè)量的基本原理[11]如圖1所示，屏幕和相機(jī)同時(shí)面對(duì)被測(cè)鏡面且屏幕投影條紋圖案，經(jīng)過(guò)被測(cè)鏡面反射后由相機(jī)拍攝成像。通過(guò)求解相機(jī)像素所拍攝到的屏幕條紋的相位，并與屏幕預(yù)設(shè)的相位進(jìn)行比對(duì)，以獲得相機(jī)像素與屏幕像素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即相機(jī)中Q點(diǎn)對(duì)應(yīng)屏幕上的S點(diǎn)?；卺樋紫鄼C(jī)模型，可確定經(jīng)過(guò)相機(jī)O點(diǎn)的光線QO，即反射光線r所在直線。在給定被測(cè)面的理想面形方程和其在空間中位置的條件下，反射點(diǎn)G可由直線QO與被測(cè)面方程的交點(diǎn)確定，因此，即可獲得相機(jī)點(diǎn)Q、屏幕點(diǎn)S、被測(cè)工件的反射點(diǎn)G的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而確定入射光線i和反射光線r的方向。根據(jù)反射定律，入射角等于反射角，故角平分線v可由入射光線i和反射光線r計(jì)算得到。在測(cè)量過(guò)程中，角平分線同時(shí)也當(dāng)作被測(cè)點(diǎn)G處的法向量n，再計(jì)算出被測(cè)點(diǎn)梯度[11-12]，進(jìn)而根據(jù)梯度積分可獲得被測(cè)面的三維面形[13-14]。

圖1 單目偏折測(cè)量原理示意圖Fig.1 Diagram of deflectometric measurement

半球諧振子的二階振型為四波腹駐波，在球坐標(biāo)系下可表示為

r（φ,θ）=R+Amaxsin（ωT）cos（2φ+δ）sinθ

（1）

式中：r、θ、φ分別為徑向距離、方位角以及天頂角；R、Amax、ω分別為半球諧振子的半徑、最大振幅和振動(dòng)頻率；T和δ代表時(shí)間和波腹所在位置的相位。將式（1）轉(zhuǎn)換至笛卡爾坐標(biāo)系下，中間變量F表示為

F=（X2+Y2）（X2+Y2+Z2）-

（2）

式中：（X,Y,Z）表示球面上點(diǎn)的坐標(biāo)，A=Amaxsin（ωT）。在駐波振動(dòng)過(guò)程中，諧振子面形發(fā)生變化，進(jìn)而引起被測(cè)點(diǎn)的法向量發(fā)生擺動(dòng)。因此，從物方平面上圓斑發(fā)出的光束經(jīng)振動(dòng)過(guò)程中的諧振子反射，在像平面上形成振動(dòng)拉長(zhǎng)模糊斑，且其對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡與諧振子振型之間有著定量關(guān)系，所以位于諧振子振型不同位置處的法向擺動(dòng)矢量不同，如圖2所示。但在實(shí)際中，法向擺動(dòng)矢量難以直接量化使用，可將其進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為法向在經(jīng)緯方向上的擺動(dòng)角度，其中在以唇緣為赤道、以半球殼和中心軸交點(diǎn)為極點(diǎn)的球坐標(biāo)系下定義經(jīng)線與緯線方向，由此推導(dǎo)出與振型相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。

圖2 波節(jié)波腹處法向擺動(dòng)矢量示意圖Fig.2 The swing vectors at the node and antinode

由于半球諧振子為凸球面且曲率大，反射光線所形成的發(fā)散角大，使得相機(jī)只能探測(cè)到諧振子的小部分區(qū)域。于是在系統(tǒng)中增加一個(gè)凹面反射鏡，并通過(guò)遍歷選擇最優(yōu)系統(tǒng)中的元件幾何參數(shù)和位置。為了避免像平面上不同的振動(dòng)拉長(zhǎng)模糊斑之間發(fā)生混疊，以及系統(tǒng)中的像差引起像平面上的圓斑發(fā)生嚴(yán)重變形，在物方平面上設(shè)計(jì)相應(yīng)的二值化圓斑分布圖樣，使得像平面上的圓斑幾乎呈行列規(guī)則分布。測(cè)量系統(tǒng)示意圖如圖3所示。

圖3 振型偏折測(cè)量系統(tǒng)示意圖Fig.3 The deflectometric measurement system of vibration modes

2 半球諧振子振型的定量表征

2.1 運(yùn)動(dòng)軌跡提取

半球諧振子面形重構(gòu)以及半徑擬合的方法如下所述?；诎肭蛑C振子的名義面形，通過(guò)光線追跡求得諧振子上被測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)、初始法向量和梯度，再以物方平面上光線追跡的交點(diǎn)與實(shí)際物點(diǎn)的重投影誤差作為目標(biāo)函數(shù)，由Levenberg-Marquardt （L-M）法最小化目標(biāo)函數(shù)。通過(guò)優(yōu)化后的被測(cè)點(diǎn)法向量計(jì)算梯度，由Modal法重建面形[15]并擬合諧振子半徑，再重新求得諧振子上的被測(cè)點(diǎn)，重復(fù)上述過(guò)程直到收斂。

像面上的振動(dòng)拉長(zhǎng)模糊斑可通過(guò)維納濾波解卷積提取運(yùn)動(dòng)軌跡。維納濾波解卷積的方法在頻率域f中[16]描述如下

（3）

式中，H、F、G分別表示靜止圖像圓斑、振動(dòng)拉長(zhǎng)模糊斑和運(yùn)動(dòng)軌跡的傅里葉變換；上標(biāo)*表示復(fù)共軛；λ是與信噪比S相關(guān)的阻尼系數(shù)。

2.2 局部轉(zhuǎn)換關(guān)系及縮放比例求解

圖4 轉(zhuǎn)換矩陣計(jì)算示意圖Fig.4 Calculation of conversion matrices

當(dāng)通過(guò)維納濾波解卷積提取得到運(yùn)動(dòng)軌跡矢量[ΔU, ΔV]時(shí)，可由式（4）分解

（4）

式中，γ和η是法向分別在緯度和經(jīng)度方向的擺動(dòng)角度。

2.3 駐波振型參數(shù)擬合

在諧振子鍍金屬膜層之前仍為熔融石英材料，無(wú)法通過(guò)電極激勵(lì)產(chǎn)生駐波振動(dòng)，可將激勵(lì)方式替代為在某點(diǎn)處進(jìn)行機(jī)械敲擊，進(jìn)而產(chǎn)生駐波振動(dòng)。但此種方式可能導(dǎo)致諧振子在駐波振動(dòng)的同時(shí)還存在以?shī)A持點(diǎn)為固定點(diǎn)的懸臂擺動(dòng)，因此需要將兩種運(yùn)動(dòng)分離。

諧振子振型擬合過(guò)程如下。諧振子表面有M個(gè)被測(cè)點(diǎn)。首先計(jì)算各被測(cè)點(diǎn)在緯線和經(jīng)線方向上的法向擺動(dòng)角度γ和η，被測(cè)點(diǎn)的坐標(biāo)（Xj，Yj，Zj）由面形重構(gòu)計(jì)算得到。將最大振幅Amax，位姿角β、δ和被測(cè)點(diǎn)坐標(biāo)（Xj，Yj，Zj）代入式（2），分別在sin（ωT） = 1和0的情況下，推出法向量表達(dá)式如下

（5）

式中，上標(biāo)E和S分別表示極端情況sin（ωT） = 1和靜態(tài)情況sin（ωT） = 0。再將上述法向量歸一化后，表示為N。因此，由歸一化的法向量推出的法向擺動(dòng)矢量的解析表達(dá)式為

（6）

式中，ΔN即為法向擺動(dòng)矢量。然后，定義目標(biāo)函數(shù)如下，并通過(guò)L-M法求解參數(shù)。

（yj·ΔNj-ηj）2]

（7）

式中，x和y是沿經(jīng)線和緯線切向方向的單位向量。駐波擬合過(guò)程如圖5所示。

圖5 振型參數(shù)擬合流程圖Fig.5 Parameter fitting of vibration modes

3 半球諧振子振型測(cè)量實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證所提出的振型測(cè)量方法的可行性，搭建了偏折測(cè)量實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)，如圖6所示。其中，采用工業(yè)相機(jī)MV-CA016-10UM，相機(jī)上安裝了定焦鏡頭Computar M7528-MP。凹面反射鏡的口徑和曲率半徑分別為140mm和110mm。

圖6 實(shí)際測(cè)量系統(tǒng)圖Fig.6 The actual measurement setup

通過(guò)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)獲得各元件在世界坐標(biāo)系下的位姿。相機(jī)的外參由Perspective-n-Point算法得到[18]，相機(jī)幀率設(shè)置為60幀/s，曝光時(shí)間為10ms。最終用于分析的圖像如圖7所示，迭代收斂結(jié)果如表1所示。

（a） 靜止圖像

（b） 振動(dòng)圖像

表1 迭代收斂結(jié)果

將圖7中的振動(dòng)拉長(zhǎng)模糊斑與其對(duì)應(yīng)的靜止圖像逐一分離并提取運(yùn)動(dòng)軌跡，部分運(yùn)動(dòng)軌跡如圖8所示。為了減小解卷積時(shí)振鈴效應(yīng)的影響，對(duì)兩側(cè)邊緣區(qū)域的灰度分布進(jìn)行二次函數(shù)擬合，由此獲得灰度峰值處的亞像素坐標(biāo)，進(jìn)而提高振型擬合的準(zhǔn)確性。由提取出的運(yùn)動(dòng)軌跡矢量可計(jì)算出其平均模長(zhǎng)為11.14像素，運(yùn)動(dòng)軌跡矢量的均方根值（Root Mean Square, RMS）為7.895像素。然后，計(jì)算出被測(cè)點(diǎn)的法向在緯線和經(jīng)線方向上的擺動(dòng)角度γ和η。再擬合半球諧振子的駐波振型參數(shù)，Amax、β和δ的值分別為4.2μm、48.9°和93.4°?；谑剑?）恢復(fù)振型，結(jié)果如圖9所示。

（a） 靜止圓斑

（b） 拉長(zhǎng)模糊斑

（c） 運(yùn)動(dòng)軌跡

圖9 半球諧振子恢復(fù)振型Fig.9 The reconstructed vibration mode of hemispherical shell resonator

通過(guò)2.3節(jié)中描述的方法擬合諧振子以?shī)A持點(diǎn)為固定點(diǎn)的懸臂擺動(dòng)，垂直于Y軸和Z軸平面內(nèi)擺動(dòng)角度分別為0.12°和-0.27°。在擬合駐波振型和懸臂擺動(dòng)后的殘差如圖10所示，剩余殘差控制在1.5像素以?xún)?nèi)，殘差的RMS為0.729像素，小于運(yùn)動(dòng)軌跡矢量RMS的10%。經(jīng)分析認(rèn)為，存在剩余殘差主要有兩個(gè)原因：一個(gè)是機(jī)械敲擊導(dǎo)致固定點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生微小位移，使得懸臂擺動(dòng)時(shí)的固定支點(diǎn)坐標(biāo)存在誤差，影響懸臂擺動(dòng)角度值的擬合精度；另一個(gè)是電荷耦合器件（Charge-Coupled Device, CCD）像素離散化效應(yīng),使得難以準(zhǔn)確提取出運(yùn)動(dòng)軌跡兩端灰度值最大的像素坐標(biāo)，影響運(yùn)動(dòng)軌跡矢量計(jì)算的準(zhǔn)確性，進(jìn)而影響法向擺動(dòng)角度計(jì)算的準(zhǔn)確性及駐波擬合精度。

（a） 列方向殘差

（b） 行方向殘差圖10 擬合殘差圖Fig.10 Residuals after fitting

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于單目偏折測(cè)量技術(shù)的半球諧振子振型測(cè)量方法，將局部振幅探測(cè)轉(zhuǎn)換為法向擺動(dòng)角度的檢測(cè)。該方法具有效率高、抗噪能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。此方法優(yōu)于單點(diǎn)振幅檢測(cè)，可有效測(cè)量諧振子振型的面域分布，從而將零位漂移和振幅衰減引起的振型變化與駐波進(jìn)動(dòng)引起的振型變化分離。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的方法可提取出運(yùn)動(dòng)軌跡，并精確擬合出駐波振型。該方法對(duì)半球諧振陀螺的動(dòng)力學(xué)特性和慣性系統(tǒng)性能的進(jìn)一步研究具有重要意義。由于對(duì)比測(cè)量條件限制，現(xiàn)階段無(wú)法提供可用于比對(duì)的參考數(shù)據(jù)，所以將進(jìn)一步探究與現(xiàn)有方法的驗(yàn)證和比較。