章勝平,陳 旭,楚秀娟
(1.昆明理工大學 建筑工程學院,云南 昆明 650504;2.昆明學院 建筑工程學院, 云南 昆明 650214)
鋼筋混凝土圓形截面受壓構件常用于橋墩、鉆孔灌注樁等結構,設計中需要計算其壓彎承載力[1-2]。GB 50010—2010《混凝土結構設計規(guī)范》(后簡稱《規(guī)范》)等相關規(guī)范中壓彎承載力計算均采用混凝土矩形受壓區(qū)等效矩形應力模型。在美國ACI協(xié)會規(guī)范中,等效矩形應力模型參數(shù)基于實驗數(shù)據(jù)確定[3]。L.F.KHAN等[4]對非矩形受壓區(qū)參數(shù)進行了實驗研究。等效矩形應力模型參數(shù)與材料性能有關,一種新材料出現(xiàn)后需做新的實驗獲得新的參數(shù),因此針對不同材料(如高強、高性能混凝土),大量實驗研究相繼開展,H.C.MERTOLD等[5]基于21個試件提出了一套適用于高強混凝土的參數(shù);J.PENG等[6]基于實驗分析了應變梯度對參數(shù)的影響。盡管如此,確定參數(shù)時實驗數(shù)據(jù)還是無法充分。
因此,等效矩形應力模型參數(shù)基于材料本構關系理論模型,以理論推導方式確定更為合理[7]。M.K.AL-KAMAL[8]基于高強混凝土本構特性提出等效三角形應力理論模型;F.YUAN等[9]推導了FRP約束混凝土參數(shù)理論模型。在《規(guī)范》等效矩形應力模型中,對C50及以下強度等級混凝土,參數(shù)α1和β1取為定值,其推導過程中有兩個重要假定。其一,假定截面為矩形?!兑?guī)范》指出參數(shù)β1用于圓形截面會帶來一定誤差。騰智明[10]、E.COZENZA等[11]、R.D.LAORA等[12]推導圓形截面壓彎簡化計算公式過程中,采用了矩形截面的參數(shù)取值(β1=0.8)。圓形與矩形比較,材料分布差異大,如果假定合力位置相同,將高估圓形截面抵抗彎矩,偏于不安全。其二,假定混凝土受壓邊緣應變εc1為定值(等于壓彎極限應變εcu=-3.3‰)這符合大偏心受壓破壞力學特性,但不符合小偏心受壓破壞,如在C50及以下混凝土的軸壓情況下,應變偏差為39%。因此α1和β1與受力有關,受力大時應變大受力小時應變小。受力對矩形和圓形影響程度不同,圓形是否可與矩形一樣忽略此影響[13]?圓形橋墩柱在軸壓或小偏心受壓工況破壞時脆性大,將此情況處理為大偏心受壓矩形截面,從理論上說不合理也不安全。
圓形截面存在寬度方向變化非線性,解析公式冗長復雜推導難度大,通常用條帶法[14]。筆者采用解析法,考慮所有可能受力(考慮εc1≠εcu)情況,推導圓形截面等效矩形應力模型參數(shù)解析解,通過條帶法數(shù)值解驗證解析解,通過數(shù)值分析給出α1和β1建議值,以期為我國規(guī)范修編提供理論參考。
混凝土結構應用較多是在C50及以下強度等級混凝土?;跇嫾膲簭澇休d力設計采用混凝土單軸本構關系。《規(guī)范》給出了C50及以下混凝土的受壓應力-應變?yōu)閽佄锞€-矩形關系(不考慮抗拉強度)。假設應力、應變以受拉為正,受壓為負,則C50及以下混凝土本構關系計算公式為:
(1)
式中:σ為應力;ε為應變;fc為混凝土軸心抗壓強度設計值;ε0為軸壓極限應變,ε0=-2‰;εcu為壓彎極限應變(極限點),εcu=-3.3‰。
拋物線-矩形關系是基于實驗數(shù)據(jù)得出的經驗模型,雖然該簡化模型數(shù)學形式已較簡單,但用于壓彎承載力計算仍有不便,因此《規(guī)范》在壓彎承載力簡化計算公式中對它做了進一步簡化。假定截面為矩形,將拋物線-矩形等效處理為矩形,即混凝土應力為常量(α1fc),等效應力塊高度對真實受壓區(qū)高度折減系數(shù)為β1,α1和β1為《規(guī)范》等效矩形應力模型參數(shù),如圖1?;炷翍Φ刃Ь匦文P褪嵌鄶?shù)國家規(guī)范采用的處理方法,精度取決于參數(shù)α1、β1。對C50及以下混凝土,在較多規(guī)范中α1和β1被假定為定值。
圖1 等效矩形模型
從單向受彎力學性能看,圓形截面與矩形截面相比,圓形截面處于劣勢,這是因為材料分布由內(形心軸)向外減小。在合力相同條件下,圓形截面對形心軸力臂小于矩形,抵抗彎矩圓形截面小于矩形截面。如果假定兩者受壓區(qū)等效矩形應力高度折減系數(shù)相同,將高估圓形截面彎矩承載力,偏于不安全。
按照本構關系,由應變計算得到應力,如圖2。假設截面受壓邊緣混凝土應變?yōu)棣與1,混凝土受壓區(qū)高度為x,則高度方向任意位置應變ε與其角度坐標θ關系為:
(2)
式中:z為高度方向坐標,以截面受壓邊緣為原點;r為截面半徑;角度坐標θ以順時針方向為正。圖2中θx為受壓區(qū)高度x對應的角度。
圖2 計算簡圖
在如圖2的等效矩形應力分布模型中,假設α為應力飽滿系數(shù),β為合力位置系數(shù),混凝土截面內力(軸力Nc和彎矩Mc)為:
(3)
式中:b(·)為截面寬度函數(shù)。
為消除變量混凝土強度等級和截面半徑影響,采用軸力Nc和彎矩Mc無量綱形式[15],無量綱軸力νc和彎矩μc為:
(4)
則有:
(5)
按照等效前應力分布(拋物線或拋物線-矩形),軸力和彎矩計算為:
(6)
式中:σc(·)為混凝土應力。
式(5)和式(6)分別是軸力和彎矩按照等效矩形模型和應力-應變本構關系的計算公式。聯(lián)立式(5)、式(6),代入本構方程式(1),去掉積分推導獲得α和β解析解。本構方程中混凝土應力是分段函數(shù),因此解析解推導須分段進行,分為拋物線應力和拋物線-矩形應力兩種情況。
1.2.1 拋物線應力
在小偏心受拉、純彎和大偏心受壓(軸力較小時)破壞情況下,混凝土應力曲線為拋物線。由式(1)第一項、式(2)~式(6),可推導出等效矩形模型參數(shù)α和β解析解為:
(7)
(8)
求解式(7)、式(8),化簡整理得到C50及以下強度等級混凝土圓形截面拋物線應力狀態(tài)等效矩形應力模型參數(shù)解析解為:
(9)
(10)
從式(9)和(10)可以看出,α和β的解析解不是定值,與本構方程[式(1)]、受壓區(qū)高度(x)和應變(εc1)有關。
1.2.2 拋物線-矩形應力
在大偏心受壓(臨界點區(qū)域)、小偏心受壓破壞情況下,混凝土應力曲線為拋物線-矩形。由式(1)~式(6),可推導等效矩形模型參數(shù)α和β。解析解為:
(11)
(12)
式中:塑化點對應角度θ0計算公式為:
(13)
求解式(11)、式(12),化簡整理得到C50及以下強度等級混凝土圓形截面拋物線-矩形應力狀態(tài)等效矩形應力模型參數(shù)解析解為:
(14)
(15)
從式(14)、式(15)可以看出,α和β不是定值,與本構方程[式(1)]、受壓區(qū)高度(x)和應變(εc1)有關。
需要說明的是,在推導過程中,筆者采用纖維條帶數(shù)值積分法[16]自編程序[式(7)、式(8)、式(11)和式(12)]驗證解析法公式,結果表明解析法公式[式(9)、式(10)、式(14)和式(15)]與條帶法完全吻合。
另外,圖2等效矩形應力分布模型按照真實受壓區(qū)高度(x)計算,圖1按照折減受壓區(qū)高度(x1)計算,兩套系數(shù)之間的換算關系是:
(16)
式中:θx1為受壓區(qū)高度x1對應的角度。
由式(9)、式(10)、式(14)和式(15)可知,α和β解析解自變量為應變,如果知道偏心受力(拉彎、純彎或壓彎)破壞各種情況可能的應變,則得到所有可能的α和β。鋼筋混凝土構件偏心受力破壞有3種可能,即受拉鋼筋屈服(受拉邊緣鋼筋應變εs1=受拉鋼筋屈服應變εy)、混凝土受壓邊緣應變εc1達到壓彎極限應變εcu和旋轉點混凝土應變εr達到軸壓極限應變ε0。承載能力極限狀態(tài)軸力與應變具有對應關系[17],如果按照軸力由軸拉極限至軸壓極限變化,則應變分別按照圖3(c)中的5個區(qū)域變化(用區(qū)域①、②、③、④和⑤表示)。其中,應變AB是大、小偏心受壓臨界狀態(tài)(A點為受拉邊緣鋼筋屈服點,B點為受壓邊緣混凝土壓碎點),C點為旋轉點。εr和εc2計算公式為:
圖3 承載力極限狀態(tài)應變分布
(17)
由式(3)可知,α和β僅與混凝土截面抗力有關,與鋼筋抗力無關?;趹兎ㄓ嬎阏孛娉休d力,混凝土截面抗力與鋼筋抗力之間沒有耦合關系,即滿足疊加原理。因此α和β計算公式推導過程中,不考慮鋼筋內力。鋼筋對應變圖有兩個地方的影響,其一,受拉邊緣鋼筋位置定義了圖3(c)中A點高度位置;其二,受拉鋼筋屈服應變εy定義了圖3(c)中區(qū)域③和區(qū)域④的分界點。但通過數(shù)值分析可知,這兩個地方對α和β的結果幾乎沒有影響。
圓形截面弓形混凝土受壓區(qū)應變按照區(qū)域②、③、④和⑤變化,受壓邊緣混凝土應變εc1由0變化至εcu,受拉邊緣鋼筋應變εs1由1%變化至e0,由式(9)、式(10)、式(14)和式(15)計算α和β,由式(5)計算無量綱軸力νc和彎矩μc,計算流程如圖4。圖4中,i為計數(shù)變量,Δ為應變增量(筆者取Δ=-0.05‰)。
圖4 計算過程
C50及以下強度混凝土圓形截面按照圖4計算流程,得到α和β曲線,如圖5(a)。為了比較,在圖5(b)同時給出了C50及以下強度混凝土矩形截面α和β曲線。
圖5 α和β曲線
比較圖5的圓形和矩形截面,可知:
1)《規(guī)范》建議的定α和β按照矩形截面區(qū)域③、④分析得到,即圖5(b)中“α=0.798,β=0.412”,換算為《規(guī)范》參數(shù)有 “α1=0.969,β1=0.824”。從圖5(a)可見圓形與矩形截面不同,圓形截面區(qū)域③、④中α和β不是定值,α從0.731增加至0.837,β從0.494減小至0.440。
2)無論矩形或圓形截面,α曲線從0變化至1,反映了混凝土截面應力從0變化至軸壓的過程。雖然區(qū)域②中α變化幅度大但應力小,因此將區(qū)域②中α取值假定為區(qū)域③具有合理性。
3)β曲線變化幅度小,圓形與矩形比較β曲線變化幅度更小,圓形β趨近于0.5(即β1=1.0),表明圓形截面混凝土合力位置趨近于形心軸;雖然“β=0.5”與“β=0.4”在數(shù)值上相差不大,但加之圓形寬度方向變化非線性,軸力-彎矩偏差較大。
由此可見,對于α和β解析解,圓形截面與矩形截面差別大。那么對于混凝土抗力,按照α和β解析解計算,與按照《規(guī)范》定值參數(shù)“α1=1.0,β1=0.8”計算,結果如何?為此,基于應變法,分別按照α和β解析和定值參數(shù)計算圓形和矩形截面混凝土抗力,結果見圖6。
圖6 軸力和彎矩曲線
圖6中,矩形截面無量綱混凝土軸力-彎矩為:
(17)
式中:b為截面寬度;h為截面高度。
由圖6可以做出以下分析:
1)《規(guī)范》中“α1=1.0,β1=0.8”應用于圓形截面時,在小偏心受壓區(qū)域會高估壓彎承載力〔圖6(a)〕,由圖6(b)可見矩形截面偏差小于圓形。經過比較分析,建議可將等效矩形應力定值參數(shù)修正為“α1=0.954,β1=0.829”,修正之后曲線位于解析解內側偏于安全,且偏差較小。
2)按照修正參數(shù)“α1=0.8,β1=1.0”計算得到的曲線與解析解在大偏心受壓區(qū)幾乎重疊,表明在大偏心受壓區(qū),圓形截面仍然能夠與矩形截面一樣采用定值等效矩形應力模型參數(shù),采用筆者定值修正參數(shù)能夠較好估計圓形截面壓彎承載力;雖然按照修正參數(shù)在小偏心受壓區(qū)略低估壓彎承載力,但低估軸力增加了安全度,與設計原則“控制軸壓比,避免小偏心受壓脆性破壞”相一致。
等效矩形應力模型由國內外相關規(guī)范普遍采用,模型定值參數(shù)由矩形截面假定按照實驗結果反算或理論推導方式確定。圓形截面寬度變化非線性,材料分布集中于形心軸,如果套用矩形截面等效矩形應力模型定值參數(shù),會造成壓彎承載力結果偏差較大。利用圓形截面微元面積和力臂三角函數(shù)表達式,按照軸向-彎曲承載力極限狀態(tài)所有可能的應變分布,涵蓋大、小偏心受壓區(qū)域,推導圓形截面等效矩形應力圖參數(shù)應力飽滿系數(shù)和合力位置系數(shù)解析解,給出弓形混凝土受壓區(qū)壓彎承載力解析解計算流程。通過解析解開展數(shù)值分析,可以獲得下列結論:
1)參數(shù)α和β解析解不是定值,與本構關系和受力有關。圓形截面中β變化幅度小,趨近于0.5,混凝土合力位置趨近于形心軸。在大小偏壓臨界點,矩形截面α和β是定值,圓形截面α和β不是定值。
2)相比矩形截面,《規(guī)范》中“α1=1.0,β1=0.8”用于圓形截面壓彎計算偏差更大,作者建議可將圓形截面定值參數(shù)修正為“α1=0.954,β1=0.829”。