梅俊，王思馨，夏丹，王維峰

（1中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074；2華中師范大學(xué) 人工智能教育學(xué)院，武漢 430079）

知識(shí)傳播在知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代有重要的作用.知識(shí)傳播為知識(shí)經(jīng)濟(jì)提供良好的氛圍，并促進(jìn)經(jīng)濟(jì)社會(huì)的發(fā)展和完善［1］.知識(shí)傳播推動(dòng)社會(huì)經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)力的發(fā)展和進(jìn)步［2］.并且，隱性知識(shí)及其傳播可構(gòu)成企業(yè)的核心競(jìng)爭(zhēng)力［3］.另外，知識(shí)傳播還能有助于抑制傳染病的傳播，例如宣傳戴口罩可有效的抑制新冠病毒的傳播［4］.因此，研究知識(shí)傳播具有一定的實(shí)際意義.

由于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)可以解釋系統(tǒng)的運(yùn)作方式［5］以及知識(shí)傳播和傳染病傳播的相似性，有很多研究在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上建立類似于傳染病傳播模型的知識(shí)傳播模型.例如，考慮將顯性知識(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)殡[性知識(shí)的內(nèi)在化機(jī)制建立了一個(gè)Receivers-Holders-Spreaders（RHS）模型［6］；為了分析復(fù)習(xí)回顧機(jī)制，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上建立了一個(gè)Naive-Evangelical-Agnostic（VEA）模型［7］；通過考慮自學(xué)機(jī)制提出了一個(gè)Susceptible-Infected（SI）模型［8］.在傳染病模型中，基本再生數(shù)是決定病毒是否傳播的標(biāo)志，它是指在無病平衡狀態(tài)中，一個(gè)傳染病病人在平均染病周期內(nèi)所感染的人數(shù)［9］.

在熟人社交網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上，用戶轉(zhuǎn)發(fā)分享的文章內(nèi)容很有可能被好友再次轉(zhuǎn)發(fā)分享［10］.熟人之間的相熟關(guān)系既可以降低知識(shí)接收者對(duì)知識(shí)的懷疑程度也可以使知識(shí)接收者和知識(shí)傳播者及時(shí)分享反饋知識(shí)的難易程度、知識(shí)與人們生產(chǎn)生活的相關(guān)度以及知識(shí)接收者對(duì)知識(shí)的接受度等相關(guān)信息，這可以讓知識(shí)傳播者根據(jù)反饋及時(shí)調(diào)節(jié)傳播內(nèi)容和模式使其更容易被知識(shí)接收者接收，這也就是說熟人所分享的知識(shí)更容易被周圍的知識(shí)接收者接收，更進(jìn)一步說，熟人有利于知識(shí)傳播.本文將熟人定義為知識(shí)接收者周圍具有一定知識(shí)傳播能力的人，例如父母、親戚朋友、老師等.

在現(xiàn)有文獻(xiàn)中，學(xué)者們只研究了友誼［11］以及領(lǐng)導(dǎo)者［12］在知識(shí)傳播中的單一作用，對(duì)熟人的總體作用考慮較少.本文首次在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)知識(shí)傳播過程中考慮熟人作用并對(duì)其進(jìn)行了建模和動(dòng)態(tài)分析.首先，應(yīng)用平均場(chǎng)方程建立了一個(gè)SIH模型，其中知識(shí)傳播過程表現(xiàn)為個(gè)體的狀態(tài)變化.其次，從理論上分析了SIH模型的動(dòng)態(tài)性能，包括其基本再生數(shù)、平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性.最后，我們通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了理論分析結(jié)果并進(jìn)一步研究模型參數(shù)對(duì)SIH模型的影響.

1 SIH模型

考慮到熟人作用，本文建立了一個(gè)基于傳染病SIR模型的知識(shí)傳播SIH模型.假設(shè)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是異構(gòu)的并且個(gè)人可以自由進(jìn)出.知識(shí)傳播實(shí)際上是一種學(xué)習(xí)效應(yīng)，即低知識(shí)水平的接收者可以從高知識(shí)水平的傳播者中學(xué)到一定的知識(shí)［13］，但知識(shí)在人腦的存在時(shí)長(zhǎng)是有限的.因此本文將人群分為三大類：知識(shí)接收者（S），知識(shí)傳播者（I），知識(shí)遺忘者（H）.知識(shí)接收者（S）是指沒有擁有特定知識(shí)信息的人，他們對(duì)知識(shí)都有極高的渴求性，他們?cè)敢鈱W(xué)習(xí)知識(shí)并且相信知識(shí)傳播者所傳播的知識(shí).知識(shí)傳播者（I）是指擁有特定知識(shí)信息的人，他們樂意分享傳播自己的知識(shí).知識(shí)遺忘者（H）是指隨著時(shí)間的推移，知識(shí)傳播者（I）逐漸遺忘知識(shí)的人，他們都是擁有過知識(shí)的人.

如圖1所示，知識(shí)接收者在與熟人接觸交流的過程中，熟人將知識(shí)傳播給接收者，使得知識(shí)接收者成為知識(shí)傳播者，這個(gè)概率為β1(0≤β1≤1).同時(shí)，知識(shí)接收者還可以自己從網(wǎng)絡(luò)、書本等知識(shí)庫(kù)中汲取知識(shí)成為知識(shí)傳播者，這個(gè)概率為α(0≤α≤1).由于長(zhǎng)時(shí)間未應(yīng)用知識(shí)或者該知識(shí)被新的知識(shí)所覆蓋，知識(shí)傳播者將遺忘這種知識(shí)成為知識(shí)遺忘者，這個(gè)概率設(shè)為γ(0≤γ≤1).但當(dāng)知識(shí)遺忘者處于周圍都是知識(shí)傳播者的環(huán)境下，知識(shí)遺忘者可以被擁有知識(shí)的熟人提醒或者再次傳播，于是知識(shí)遺忘者就可以重新變?yōu)橹R(shí)傳播者，這個(gè)概率為β2(0≤β2≤1).同時(shí)，系統(tǒng)是允許人員自由進(jìn)出的，本文假設(shè)進(jìn)入該系統(tǒng)的人員只能是知識(shí)接收者，退出系統(tǒng)的人員可以是知識(shí)接收者、知識(shí)傳播者和知識(shí)遺忘者.令進(jìn)入系統(tǒng)和退出系統(tǒng)的概率都為μ(0≤μ≤1).

圖1 知識(shí)傳播示意圖Fig.1 Diagram of knowledge transmission

假設(shè)知識(shí)傳播系統(tǒng)在不相關(guān)的異構(gòu)網(wǎng)絡(luò)中，其中p(k)表示度分布表示平均網(wǎng)絡(luò)度，Sk(t)、Ik(t)、Hk(t)分別表示在時(shí)間t時(shí)度為k的知識(shí)接收者、知識(shí)傳播者和知識(shí)遺忘者節(jié)點(diǎn)的密度.并且Sk+Ik+Hk=1.若I節(jié)點(diǎn)的度為k′，則I有k′條自由連接的邊，故所選邊指向度為k′的I節(jié)點(diǎn)的概率為：

因此任意給定邊在時(shí)間t指向I節(jié)點(diǎn)的概率為：應(yīng)用平均場(chǎng)理論［14］，SIH模型可以表示如下：

其中0≤Sk(t)，Ik(t)，Hk(t)≤1，Sk(t)+Ik(t)+Hk(t)=1，t≥0.

解得

將Ik代入（2）得到一個(gè)自洽方程

令

顯然f(0)=0，0＜f(1)≤1.下面討論（7）非零點(diǎn)的存在性.

當(dāng)α+β1k＞β2k時(shí)，由 于0≤γ≤1，則α+要使f(Θ)=0的非零解存在，則須滿足：

圖2 函數(shù)f示意圖Fig.2 Schematic diagram of function f

2 穩(wěn)定性分析

本節(jié)將分析模型（3）的兩個(gè)平衡Θ0和Θ*的全局漸近穩(wěn)定性.

定理2.1若R0＜1，則無知識(shí)均衡Θ0(1，0，0)全局漸近穩(wěn)定.

證明由于Sk+Ik+Hk=1，則Sk=1-Ik-Hk，將其代入（3）的第二個(gè)方程中有：

定理2.2當(dāng)R0＞1時(shí)，知識(shí)地方均衡Θ*(S*，I*，R*)全局漸近穩(wěn)定.

證 明在V：(Sk(t)，Ik(t)，Hk(t))∈Ψ：Sk（t），Ik（t），H（kt）＞0}→R上定義李雅普諾夫函數(shù)

顯然對(duì)于所有Sk≠S*，Ik≠I*和Hk≠H*有L＞0.則對(duì)L2求導(dǎo)，有：

又由（4）有

則有：

當(dāng)且僅當(dāng)Sk=S*，Ik=I*和Hk=H*等號(hào)成立.注意到只有當(dāng)R0＞1時(shí)，S*、I*和H*才存在.由拉塞爾不變集原理（Lasalle invariance principle），當(dāng)R0＞1時(shí)，知識(shí)地方均衡Θ*(S*，I*，R*)全局漸近穩(wěn)定.

證畢.

3 仿真

為了證實(shí)第二節(jié)中的理論分析結(jié)果，本節(jié)將進(jìn)行數(shù)值仿真，并且將進(jìn)一步研究模型參數(shù)即自學(xué)水平α，熟人影響β1以及遺忘水平γ對(duì)于知識(shí)傳播的影響.與隨機(jī)增長(zhǎng)網(wǎng)絡(luò)、小世界網(wǎng)絡(luò)和規(guī)則網(wǎng)絡(luò)相比，知識(shí)在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)更容易傳播［8］.因此，本文在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中模擬知識(shí)傳播.假設(shè)網(wǎng)絡(luò)的初始節(jié)點(diǎn)為5個(gè)，這5個(gè)節(jié)點(diǎn)隨機(jī)連邊，隨后依次加入5個(gè)新節(jié)點(diǎn)連接5條邊直至達(dá)到1000個(gè)節(jié)點(diǎn)為止.知識(shí)傳播由初始傳播者發(fā)起，本文將初始傳播者視為傳播種子，并假設(shè)在傳播初始階段只有10個(gè)傳播種子，其余全為知識(shí)接收者.令α=0.2，β1=0.01，γ=0.3，μ=0.2，β2=0.01，則有R0=0.8100＜1.如圖3所示，知識(shí)接收者先減少再增加到1；知識(shí)傳播者減少到0；而知識(shí)遺忘者先增加到一個(gè)最大值后再減少到0.當(dāng)R0＜1時(shí)，系統(tǒng)最后只有知識(shí)接收者，知識(shí)不能傳播，這證實(shí)了定理2.1.令α=0.3，β1=0.05，γ=0.3，μ=0.2，則有R0=2.7014＞1.如圖4所示，知識(shí)接收者先快速下降再緩慢下降，最終達(dá)到穩(wěn)定；知識(shí)傳播者和知識(shí)遺忘者都先快速增加再緩慢增加，最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài).當(dāng)R0＞1時(shí)，知識(shí)能夠傳播，并且三個(gè)群體都趨于一個(gè)正值，這證實(shí)了定理2.2.

圖3 R0＜1時(shí)人群密度變化圖Fig.3 Graph of the density of population changing when R0＜1

圖4 R0＞1時(shí)人群密度變化圖Fig.4 Graph of the density of population changing when R0＞1

令β1=0.05，γ=0.3，μ=0.2，β2=0.01，如圖5所示，Ik隨著α增加的而增加.知識(shí)接收者自學(xué)水平越高，知識(shí)傳播者的密度就越大，并且知識(shí)傳播者達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)所需要的時(shí)間越少，即知識(shí)傳播越快.

圖5 α=0.3，0.6，0.9知識(shí)傳播者密度變化圖Fig.5 Diagram of the density of knowledge disseminators changing when α=0.3，0.6，0.9

令α=0.2，γ=0.3，μ=0.2，如圖6和圖7所示，Ik隨著β1和β2的增加而增加.知識(shí)接收者和知識(shí)遺忘者周圍熟人越多，熟人影響越大，知識(shí)傳播 者 的 密 度 也 就 越 大.令α=0.2，μ=0.2，β1=0.05，β2=0.01，如圖8所示，Ik隨著γ的增加而減少.知識(shí)傳播者的遺忘水平越大，知識(shí)傳播者就越少.

圖6 β1=0.03，0.05，0.07知識(shí)傳播者密度變化圖Fig.6 Diagram of the density of knowledge disseminators changing when β1=0.03，0.05，0.07

圖7 β2=0.03，0.05，0.07知識(shí)傳播者密度變化圖Fig.7 Diagram of the density of knowledge disseminators changing when β2=0.03，0.05，0.07

圖8 γ=0.1，0.3，0.5知識(shí)傳播者密度變化圖Fig.8 Diagram of the density of knowledge disseminators changing when γ=0.1，0.3，0.5

4 結(jié)論

本文首次通過考慮熟人作用，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中建立了SIH模型.熟人在知識(shí)傳播中起著分享知識(shí)、反饋知識(shí)以及提醒知識(shí)的作用.知識(shí)接收者有兩個(gè)方式獲取知識(shí)，一個(gè)是通過熟人分享獲取，另一個(gè)則是通過自學(xué)獲取.另外，每個(gè)人的記憶力有限，保存知識(shí)的時(shí)間也有限，知識(shí)遺忘者可通過熟人的提醒而重新獲取知識(shí).本文還對(duì)知識(shí)傳播的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行理論分析，發(fā)現(xiàn)當(dāng)R0＜1時(shí)，系統(tǒng)最終只有知識(shí)接收者人群，知識(shí)無法傳播；當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)最終有知識(shí)接收者、知識(shí)傳播者和知識(shí)遺忘者三種人群，知識(shí)可以傳播.通過在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的數(shù)值仿真，我們證實(shí)了理論分析的正確性，并且發(fā)現(xiàn)知識(shí)傳播者的密度與自學(xué)水平和熟人作用呈正相關(guān)，與遺忘水平呈負(fù)相關(guān).在現(xiàn)實(shí)生活中，為了提高知識(shí)傳播水平，可以采取以下措施：

1）提高知識(shí)接收者的自學(xué)水平；

2）增加知識(shí)接收者和知識(shí)遺忘者周圍熟人的人數(shù)，提高熟人的作用力；

3）知識(shí)傳播者及時(shí)回顧或者將知識(shí)多應(yīng)用于實(shí)踐以減少遺忘水平.

知識(shí)在人群中的傳播機(jī)制是復(fù)雜多樣的.本文只考慮了自學(xué)水平、熟人作用以及遺忘水平，另外本文只采用平均場(chǎng)方程在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行數(shù)值仿真，具有單一性.接下來我們將在這些方面進(jìn)行改進(jìn).