殷紅燕，楊詩(shī)祖

（中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074）

瘧疾是經(jīng)雌性按蚊叮咬或輸入帶有處于感染階段的瘧原蟲血液，感染瘧原蟲所引起的一類蟲媒傳染病.瘧疾對(duì)人體的破壞力很強(qiáng)，嚴(yán)重危害身體健康，尤其是惡性瘧疾，致死率極高，在非洲地區(qū)最為流行.世界各國(guó)瘧疾防控專家為消除瘧疾提出了各種策略.許多學(xué)者通過(guò)建立微分方程模型來(lái)研究瘧疾傳播，通過(guò)對(duì)模型的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)進(jìn)行分析，預(yù)測(cè)疾病的發(fā)展趨勢(shì)，并找到控制瘧疾流行的最優(yōu)策略［1-9］.特別地，文獻(xiàn)［9］考慮到蚊子生長(zhǎng)發(fā)育過(guò)程所經(jīng)歷的不同階段，將蚊子分為幼蟲階段和成蟲階段，建立了一類蚊子具有階段結(jié)構(gòu)的瘧疾傳播模型.

本文在文獻(xiàn)［9］的基礎(chǔ)上，研究如下蚊子分階段瘧疾傳播模型：

其中Nh(t)為t時(shí)刻人口的總量，并將其分為易感者類Sh(t)與感染者類Ih(t)，從而Nh(t)=Sh(t)+Ih(t).Jv(t)為t時(shí)刻蚊子幼蟲的數(shù)量.類似地，t時(shí)刻成蚊的數(shù)量為Nv(t)，也將其分為易感蚊子類Sv(t)和感染蚊子類Iv(t)，從而Nv(t)=Sv(t)+Iv(t).參數(shù)Λh為人類易感者的新增率；μh和μv分別表示人類和成蚊的自然死亡率；δh表示人類的因病死亡率；θh表示染病的人經(jīng)過(guò)治療后變成易感者的發(fā)生率；r是單位時(shí)間內(nèi)平均每只蚊子叮咬人的次數(shù)，βv為人被染病的蚊子叮咬后得病的概率，βh為蚊子叮咬了染病的人后得病的概率，于是人類的染病率為蚊子的染病率為參數(shù)bv為成蚊的產(chǎn)卵率，αv＞0表示蚊子幼蟲發(fā)育為成蟲的最大發(fā)生率；d0+d1Jv表示蚊子幼蟲的死亡率，d0和d1分別為非密度制約和密度制約系數(shù).

注意到，所有成蚊的數(shù)量滿足下面的方程：

因此代替方程組（1），考慮如下系統(tǒng)：

1 無(wú)病平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

系統(tǒng)（3）中的第3和第4個(gè)方程中只含有Jv和Nv，故可先研究系統(tǒng)

引理1［9］如果，則系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)(0，0)是一個(gè)全局漸近穩(wěn)定的結(jié)點(diǎn)，且不存在正平衡點(diǎn).如果則系統(tǒng)（4）的平衡點(diǎn)(0，0)是不穩(wěn)定的，且存在唯一的正平衡點(diǎn)這里：

由引理1，設(shè)r^＞1，則系統(tǒng)（3）存在兩個(gè)無(wú)病平衡點(diǎn)顯然，E1一定是不穩(wěn)定的.下面求系統(tǒng)（3）的基本再生數(shù).通過(guò)計(jì)算，系統(tǒng)（3）在無(wú)病平衡點(diǎn)E0的雅可比矩陣為：

由文［10］，只要子矩陣D12的特征值都有負(fù)實(shí)部，則無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的.矩陣D12的特征方程為：

程（6）的根都有負(fù)實(shí)部，定義：

于是，當(dāng)R0＜1時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；而當(dāng)R0＞1時(shí)，方程（6）必存在一個(gè)具有正實(shí)部的根，那么無(wú)病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.R0即為系統(tǒng)（3）的基本再生數(shù)，它表示一個(gè)感染者在整個(gè)傳染期內(nèi)所傳染的新的感染者人數(shù).通常情況下，若R0＞1，疾病會(huì)進(jìn)一步傳播；若R0＜1，疾病最終會(huì)消失.

2 地方病平衡點(diǎn)的存在性

這里：

系統(tǒng)（3）存在地方病平衡點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)方程（11）存在正根，下面分析方程（11）正根的存在性.

當(dāng)R0＞1時(shí)，必有K3＜0，又K1＞0，所以此時(shí)方程（11）存在唯一的正根.

當(dāng)R0=1時(shí)，方程（11）可寫為此時(shí)方程（11）存在唯一的正根當(dāng)且僅當(dāng)K2＜0.記等價(jià)于即當(dāng)R0=1時(shí)，如果M＜1，則方程（11）存在唯一的正根.

當(dāng)R0＜1時(shí)，K3＞0，如果，則必有K2＞0，此時(shí)方程（11）無(wú)正根.下面討論的情形.在這種情況下，如果，則方程（11）無(wú)正根.如果令Δ=K22-4K1K3，則方程（11）當(dāng)Δ＜0時(shí)無(wú)正根，當(dāng)Δ=0時(shí)存在唯一的正根，當(dāng)Δ＞0時(shí)，存在兩個(gè)正根.事實(shí)上，R0的臨界值可由Δ=0解得：這里于是當(dāng)時(shí)，方程（11）無(wú)正根；當(dāng)時(shí)，方程（11）存在唯一的正根；當(dāng)時(shí)，方程（11）存在兩個(gè)正根.

根據(jù)上述分析，關(guān)于系統(tǒng)（3）的地方病平衡點(diǎn)的存在性有如下結(jié)論：

定理1如果R0＞1，那么系統(tǒng)（3）總是存在唯一的地方病平衡點(diǎn).當(dāng)時(shí)，如果R0≤1，則系統(tǒng)（3）無(wú)地方病平衡點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，如果R0=1，則系統(tǒng)（3）存在唯一的地方病平衡點(diǎn)；如果R0≤則系統(tǒng)（3）無(wú)地方病平衡點(diǎn)；如果，則系統(tǒng)（3）無(wú)地方病平衡點(diǎn)；如果則系統(tǒng)（3）存在唯一的地方病平衡點(diǎn)；如果R0＜1，則系統(tǒng)（3）有兩個(gè)地方病平衡點(diǎn)，其中：

3 后向分支的存在性

因?yàn)橄到y(tǒng)（3）的第3和第4個(gè)方程是獨(dú)立的，且由引理1可知，當(dāng)r^＞1時(shí)所以系統(tǒng)（3）可以被簡(jiǎn)化成如下的3個(gè)方程：

令Sh=x1，Ih=x2，Iv=x3，并引入向量符號(hào)x=(x1，x2，x3)T和f=(f1，f2，f3)T，則方程（13）可以寫成：

這里：當(dāng)R0=1時(shí)如果

因 此，它 的 特 征 根 是λ1=-μh，λ2=-(σh+μv)和λ3=0.

令w=(w1，w2，w3)T，v=(v1，v2，v3)分 別 為 對(duì) 應(yīng)于0特征值的非負(fù)右特征向量和左特征向量.容易再計(jì)算f在E′0的二階偏導(dǎo)數(shù)：

而f在E′0的其他所有的二階偏導(dǎo)數(shù)都等于0.于是，根據(jù)文［11］中的定理4.1所定義的系數(shù)a和b的公式，計(jì)算可得：

顯然b＞0，而當(dāng)時(shí)，a＞0.所以，當(dāng)δh＞時(shí)，系統(tǒng)（3）會(huì)出現(xiàn)后向分支.

后向分支的發(fā)生說(shuō)明，即使基本再生數(shù)R0＜1，疾病仍可能會(huì)流行.所以，當(dāng)時(shí)，疾病的控制變得更加困難.

定理2當(dāng)時(shí)，如果R0＜1，則系統(tǒng)（3）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是局部漸近穩(wěn)定的；如果R0＞1，則系統(tǒng)（3）唯一的地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的，無(wú)病平衡點(diǎn)E0是不穩(wěn)定的.

定理2表明，如果因病死亡率δh滿足條件0≤，那么只要通過(guò)某些措施使得基本再生數(shù)R0＜1，疾病將會(huì)消亡.

4 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

關(guān)于無(wú)病平衡點(diǎn)E0的全局穩(wěn)定性，有如下的結(jié)果.

定理3如果那么系統(tǒng)（3）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的，這里：

證明令，那么存在一個(gè)充分小的數(shù)ε＞0，使得系統(tǒng)（13）的任意一個(gè)正解，那么?T1＞0，使得對(duì)有因 為因 此?T2：T2＞T1，使得對(duì)考慮李雅普

令G={(Sh，Ih，Iv)：V˙(Ih(t)，Iv(t))=0}，則G?{(Sh，}Ih，Iv)：Ih=0.再令H是系統(tǒng)（13）的包含于G中的最大的不變集，(Sh(t)，Ih(t)，Iv(t))是系統(tǒng)（13）在H中的任意一個(gè)解，那么對(duì)于?t∈R，(Sh(t)，Ih(t)，Iv(t))有定義并且是有界的.

定理3表明，在系統(tǒng)（3）產(chǎn)生后向分支的情形

在定理3中，如果δh=0，則R^=1.于是，有如下推論1.

推論1假設(shè)δh=0，如果R0＜1，那么系統(tǒng)（3）的無(wú)病平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

由定理1可知，當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（3）存在唯一的地方病平衡點(diǎn).此時(shí)，對(duì)于地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，有如下定理4.

定理4假設(shè)δh=0，如果R0＞1，那么系統(tǒng)（3）唯一的地方病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明由引理1可知，系統(tǒng)（4）的正平衡點(diǎn)內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的，考慮δh=0的情形，因?yàn)楫?dāng)t→∞時(shí)，因此只要考慮系統(tǒng)：的正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性即可.由定理2和定理3易知，當(dāng)δh=0，R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（16）必存在唯一的正平衡點(diǎn)且是局部漸近穩(wěn)定的，為了得到其全局穩(wěn)定性，可應(yīng)用Bendixson-Dulac判別法.取Dulac函數(shù)為同時(shí)，令：

5 數(shù)值模擬

本節(jié)給出一些數(shù)值例子來(lái)證實(shí)前面的一些理論結(jié)果.

例1選取參數(shù)av=0.7，uv=0.1，Λh=0.9，uh=0.01，θh=0.3，δh=0.2，βh=0.1，βv=0.1，r=10，d0=0.1，d1=0.2，bv=50.計(jì)算可得系統(tǒng)（3）的基本再生數(shù)R0≈1.2202＞1，因此存在唯一的局部漸近穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn).當(dāng)t→∞時(shí)，系統(tǒng)（3）的解趨近于這個(gè)地方病平衡點(diǎn)，如圖1.

圖1 當(dāng)R0＞1時(shí)，系統(tǒng)（3）存在唯一的穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)Fig.1 System（3）has a unique stable endemic equilibrium when R0＞1

例2選取參數(shù)uv=0.1，Λh=0.9，uh=0.01，θh=0.3，δh=0.2，βh=0.1，βv=0.1，r=10，d0=0.1，d1=0.2，bv=50.

圖2 當(dāng)且R0＜R*＜1時(shí)，系統(tǒng)（3）只有一個(gè)局部漸近穩(wěn)定的無(wú)病平衡點(diǎn)Fig.2 System（3）has a locally asymptotically stable infection-free equilibrium when nd R0＜R*＜1

再取αv=0.45，此時(shí)R*＜R0=0.9754＜1時(shí)，系統(tǒng)（3）存在兩個(gè)地方病平衡點(diǎn)，其中一個(gè)是不穩(wěn)定的，一個(gè)是局部漸近穩(wěn)定的.選取初始值為［10 20 10 10 10］時(shí)，系統(tǒng)（3）的解趨近于正平衡點(diǎn)，如圖3（a）；選取初始值為［1 2 1 1 5］時(shí)，系統(tǒng)（3）的解趨近于無(wú)病平衡點(diǎn)，如圖3（b）.

圖3 當(dāng)R*＜R0＜1時(shí)，系統(tǒng)（3）的解Fig.3 The solution of system（3）when R*＜R0＜1

例3選取參數(shù)av=0.4，uv=0.1，Λh=5，uh=0.01，θh=0.3，δh=0.2，βh=0.1，βv=0.1，r=5，d0=0.1，d1=0.2，bv=50.

圖4 當(dāng)時(shí)系統(tǒng)（3）的無(wú)病平衡點(diǎn)Fig.4 The infection-free equilibrium of system（3）when

6 結(jié)論

本文對(duì)一類蚊子分階段瘧疾傳播模型進(jìn)行了定性分析，研究了模型的地方病平衡點(diǎn)與無(wú)病平衡點(diǎn)的存在性、局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性，給出了基本再生數(shù)公式，并證明了后向分支的存在性.當(dāng)后向分支出現(xiàn)時(shí)，盡管基本再生數(shù)R0＜1，疾病仍然有可能發(fā)生.可以控制基本再生數(shù)，當(dāng)R0＜R*＜1時(shí)，可以使疾病消除，這里R*由（8）式給出.另外，由無(wú)病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，當(dāng)R0＜時(shí)，也是可以使疾病消除的，這里由（11）式給出.通過(guò)上述分析，大力消滅蚊子幼蟲，積極治療病人降低因病死亡率都是可以控制瘧疾的傳播的.本文與文獻(xiàn)［9］的研究雖類似，但是由于文［9］中的模型更為復(fù)雜，所以很難做全局分析.而本文將模型簡(jiǎn)化后，可以進(jìn)行全局分析，并得到很好的結(jié)果.