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        愛爾特希點(diǎn)集

        2022-11-02 01:51:14于弢整理
        初中生世界 2022年38期
        關(guān)鍵詞:結(jié)構(gòu)

        文/于弢整理

        數(shù)學(xué)小故事

        匈牙利數(shù)學(xué)家愛爾特希(P.Erdos,1913-1996)提出過這樣一個問題:在平面內(nèi)有n個點(diǎn),任意三個點(diǎn)都能構(gòu)成等腰三角形,這樣的點(diǎn)集存在嗎?

        數(shù)學(xué)家們的研究成果如下:

        當(dāng)n=3時,是顯然存在的。

        當(dāng)n=4時,有且僅有三種結(jié)構(gòu):任一等腰三角形的三個頂點(diǎn)及它的外心(注:“外心”是指三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn));任一菱形(注:“菱形”是四邊相等的四邊形)的四個頂點(diǎn);正五邊形的任意四個頂點(diǎn)。

        我們來簡單解釋一下。第一種結(jié)構(gòu)如圖1,在△ABC中,AB=AC,D為△ABC的外心。因?yàn)镈為△ABC的外心,所以BD=AD=CD。取A、B、C、D四點(diǎn)中的任意三點(diǎn)可構(gòu)成4個三角形,分別為△ABC、△ABD、△ACD、△BDC,均為等腰三角形。第二種結(jié)構(gòu)如圖2,易于理解,不再贅述。第三種結(jié)構(gòu)如圖3,A、B、C、D、E是正五邊形的5個頂點(diǎn),取其中任意4個頂點(diǎn),如點(diǎn)A、B、C、D,可證明△ABC、△ABD、△ACD、△BDC均為等腰三角形。

        圖1

        圖2

        圖3

        當(dāng)n=5和n=6時,也可以找到滿足條件的點(diǎn)集。但當(dāng)n≥7時,這樣的點(diǎn)集便不存在了。人們將具有這樣性質(zhì)的n個點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集稱為愛爾特希點(diǎn)集。

        同學(xué)們,你能畫出n=5時的愛爾特希點(diǎn)集嗎?試一試吧。

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