/丘成桐

從古到今，無論是科技、數(shù)學(xué)或人文科學(xué)，內(nèi)容愈來愈豐富，分支也愈來愈多?？计湓?，一方面是由于工具愈來愈多，能夠發(fā)現(xiàn)不同現(xiàn)象的能力也比以前大得多；一方面全世界的人口大量增長，不同種族、不同宗教、不同習(xí)俗的人在互相交流后，不同觀點的學(xué)問得到融會貫通，迸出火花，從而產(chǎn)生新的學(xué)問。

數(shù)學(xué)之為學(xué)，有其獨特之處。它本身是尋求自然界真相的一門科學(xué)，但數(shù)學(xué)家也如文學(xué)家般天馬行空，憑愛好而創(chuàng)作，故此數(shù)學(xué)可謂是人文科學(xué)和自然科學(xué)的橋梁。

數(shù)學(xué)家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規(guī)律，并用數(shù)學(xué)的方法表達出來。這里所說的大自然比一般人所了解的來得廣泛。

我們認(rèn)為數(shù)字、幾何圖形和各種有意義的規(guī)律都是自然界的一部分。我們希望用簡潔的數(shù)學(xué)語言將這些自然現(xiàn)象的本質(zhì)表現(xiàn)出來。

數(shù)學(xué)是一門公理化的科學(xué)，所有命題必須由三段論證的邏輯方法推導(dǎo)出來，但這只是數(shù)學(xué)的形式，而不是數(shù)學(xué)的精髓。大部分?jǐn)?shù)學(xué)著作枯燥乏味，而有些卻令人嘆為觀止，其中的區(qū)別在哪里呢？

大略言之，數(shù)學(xué)家以其對大自然感受的深刻程度，來決定研究的方向。這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，后者則取決于個人的氣質(zhì)。氣質(zhì)與文化修養(yǎng)有關(guān)，無論是選擇懸而未決的難題，或者創(chuàng)造新的方向，文化修養(yǎng)皆起著關(guān)鍵性的作用。文化修養(yǎng)是以數(shù)學(xué)的功夫為基礎(chǔ)，自然科學(xué)為輔，但是深厚的人文知識也極為要緊。因為人文知識也致力于描述心靈對大自然的感受，所以司馬遷寫《史記》除了“通古今之變”外，也要“究天人之際”。

歷代的大數(shù)學(xué)家如阿基米德、牛頓，莫不以自然為宗，見物象而思數(shù)學(xué)之所出，即有微積分的創(chuàng)作。費馬和歐拉對變分法的開創(chuàng)性發(fā)明也是由于探索自然界的現(xiàn)象而引起的。

近代幾何學(xué)的創(chuàng)始人高斯認(rèn)為幾何和物理不可分。他說：“我越來越確信幾何的必然性無法被驗證，至少現(xiàn)在無法被人類或為了人類而驗證，我們或許能在未來領(lǐng)悟到那無法知曉的空間的本質(zhì)。我們無法把幾何和純粹是先驗的算術(shù)歸為一類，幾何和力學(xué)卻不可分割?！?/p>

20世紀(jì)幾何學(xué)的發(fā)展，則因物理學(xué)上重要的突破而屢次改變其航道。當(dāng)?shù)依税血M義相對論用到量子化的電子運動理論時，發(fā)現(xiàn)了狄拉克方程，以后的發(fā)展連狄拉克本人也嘆為觀止，認(rèn)為他的方程比他的想象來得美妙，這個方程在近代幾何的發(fā)展中起著關(guān)鍵性的作用。

我們對旋子的描述缺乏直觀的幾何感覺，但它出于自然，自然界賦予幾何的威力可說是無微不至的。

廣義相對論提出了場方程，它的幾何結(jié)構(gòu)成為幾何學(xué)家夢寐以求的對象，因為它能賦予空間一個調(diào)和而完美的結(jié)構(gòu)。我研究這種幾何結(jié)構(gòu)垂三十年，時而迷惘，時而興奮，自覺同《詩經(jīng)》《楚辭》的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。

捕捉大自然的真和美，實遠勝于一切人為的造作，正如《文心雕龍》說的：“云霞雕色，有踰畫工之妙。草木賁華，無待錦匠之奇。夫豈外飾，蓋自然耳?！?/p>

在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結(jié)構(gòu)是一個極為重要的物理問題，它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。盡管其他幾何學(xué)家都不相信它存在，我卻鍥而不舍，不分晝夜地去研究它，就如屈原所說：

“亦余心之所善兮，雖九死其猶未悔?！?/p>

我花了五年工夫，終于找到了具有超對稱的引力場結(jié)構(gòu)，并將它創(chuàng)造成數(shù)學(xué)上的重要工具。

當(dāng)時的心境，可以用以下兩句來描述：

“落花人獨立，微雨燕雙飛?！?/p>

數(shù)學(xué)的文采，表現(xiàn)于簡潔，寥寥數(shù)語，便能道出不同現(xiàn)象的法則，甚至在自然界中發(fā)揮作用，這就是數(shù)學(xué)優(yōu)雅美麗的地方。

我的老師陳省身先生創(chuàng)作的陳氏類，就文采斐然，令人贊嘆。它在扭曲的空間中找到簡潔的不變量，在現(xiàn)象界中成為物理學(xué)界求量子化的主要工具，可謂是描述大自然美麗的詩篇，直如陶淵明“采菊東籬下，悠然見南山”的意境。

從歐氏幾何的公理化，到笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何，到牛頓、萊布尼茨的微積分，到高斯、黎曼創(chuàng)立的內(nèi)蘊幾何，一直到與物理學(xué)水乳相融的近代幾何，都以簡潔而富于變化為宗，其文采絕不遜色于任何一個文學(xué)創(chuàng)作。它們軔生的時代與文藝興起的時代相同，絕對不是巧合。

數(shù)學(xué)家在開創(chuàng)新的數(shù)學(xué)想法的時候，可以看到高雅的文采和嶄新的風(fēng)格。例如歐幾里得證明存在無窮多個素數(shù)，開創(chuàng)反證法的先河。高斯研究十七邊形的對稱群，使伽羅瓦群成為數(shù)論的骨干。這些研究異軍突起，論斷華茂，使人想起五言詩的始祖蘇李唱和詩與詞的始祖李太白的《憶秦娥》。

我們現(xiàn)在來看另外一個例子，來解釋數(shù)理與人文共通的地方：文學(xué)家和科學(xué)家都想構(gòu)造一個完美的圖畫，但每個作者有不同的手法。

在漢朝，中國數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始研究如何去解方程式，包括計算立方根；到宋朝時，已經(jīng)可以解多次方程，比西方早幾百年，但解決的方法是數(shù)字解，對方程的結(jié)構(gòu)沒有深入的了解。

一個最簡單的問題就是解二次方程：

x^2 + 1 = 0

這個方程沒有實數(shù)解，事實上，無論 x 是任何實數(shù)，方程的左邊總是大于零，所以這個方程式?jīng)]有實數(shù)的解，因此中國古代數(shù)學(xué)家不去討論這個方程式。

大約在四百多年前，西方數(shù)學(xué)家開始注意這個方程，文藝復(fù)興后的意大利數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)它跟解三次和四次方程有關(guān)。他們知道上述二次方程沒有實數(shù)解，就假設(shè)它還是有解，將這個想象中的解叫做虛數(shù)。

虛數(shù)的發(fā)現(xiàn)，可了不起得很！它可以媲美輪子的發(fā)現(xiàn)。有了虛數(shù)后，西方學(xué)者發(fā)現(xiàn)所有多項式方程都有解，而且解的數(shù)目剛好是多項式的次數(shù)。所以有了虛數(shù)后，多項式的理論才成為完美的理論。完美的數(shù)學(xué)理論很快就得到無窮的應(yīng)用。

事實上，其后物理學(xué)家和工程學(xué)家發(fā)現(xiàn)虛數(shù)是用來解釋所有波動現(xiàn)象最佳的方法，這包括音樂、流體和量子力學(xué)里面波動力學(xué)的種種現(xiàn)象。數(shù)論研究的重要部分是整數(shù)，但為了研究整數(shù)，我們不能避免地要大量用到復(fù)數(shù)的理論來幫忙。在 19 世紀(jì)初葉，柯西和黎曼開始了復(fù)變函數(shù)的研究，將我們的眼界由一維推廣到二維，改變了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展。

黎曼又引入了 Zeta 函數(shù)，發(fā)現(xiàn)了復(fù)函數(shù)的解析性質(zhì)可以給出整數(shù)中的質(zhì)數(shù)的基本性質(zhì)。另一方面，他也因此開發(fā)了高維拓?fù)溥@個學(xué)科。

由于復(fù)數(shù)的成功，數(shù)學(xué)家企圖將它推廣，制造新的數(shù)域，很快就發(fā)現(xiàn)除非放棄一些條件，否則那是不可能的。但是哈密爾頓和凱利先生卻在放棄復(fù)數(shù)域中某些性質(zhì)后，引進四元數(shù)和八元數(shù)這兩個新的數(shù)域。

這些新的數(shù)域影響了狄拉克在量子力學(xué)的構(gòu)想，創(chuàng)造了狄拉克方程。從這里可以看到數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家為了追求完美化而得到重要的結(jié)果。

其實物理學(xué)上很多偉大的發(fā)現(xiàn)，是偉大的科學(xué)家通過一些思考的實驗和他們深入的洞察力得到的。

愛因斯坦創(chuàng)造廣義相對論時，人類觀察到的宇宙空間實在不大，他卻得到數(shù)學(xué)家的大力幫助。

在愛因斯坦完成廣義相對論后，魏爾和很多科學(xué)家開始融合引力場理論和電磁場理論，魏爾率先提出規(guī)范場的理論，經(jīng)過十年的掙扎，才將麥克斯韋的電磁理論看作和廣義相對論類似的規(guī)范場論，在物理學(xué)上，這是一個偉大的突破。

有趣的是，魏爾說：“假如理論和見到的現(xiàn)象界有沖突，而這個理論漂亮而簡潔的時候，我寧愿相信理論?！边@個看法對規(guī)范場理論的發(fā)展，有很大的幫助！

在這里，我們看到文學(xué)家和科學(xué)家類似的地方。狄拉克在完成他的方程后，他說他的方程比他自己更有深度，因為它優(yōu)美地描述了基本粒子的性質(zhì)，并在實驗室中得到證明，有些性質(zhì)是狄拉克在創(chuàng)造這個方程前沒有辦法想象的。這是科學(xué)創(chuàng)新中產(chǎn)生的一個奇妙的現(xiàn)象，我們用以了解真理的工具往往會帶領(lǐng)我們向前，不斷地向前摸索！

將一個問題或現(xiàn)象完美化，然后將完美化后的結(jié)果應(yīng)用到新的數(shù)學(xué)理論，來解釋新的現(xiàn)象，這是數(shù)學(xué)家的慣用手法，這與文學(xué)家有很多相似的地方，只不過文學(xué)家用這種手法來表達他們的感情罷了。

舉例來說，在中國古代有很多傳說，很多是憑想象，將得到的一些知識，循當(dāng)時作者或當(dāng)政者的需要而完成一些著作，所以我們看到東漢劉向父子作偽經(jīng)，也看到《山海經(jīng)》的寫作，夸大地描述很多無法證明的事件。

中國詩詞也有不少的例子。例如，李商隱和李白就創(chuàng)作了“錦瑟無端五十弦”和“白發(fā)三千丈”這兩句夸大的詩句。在明清的傳奇小說里，這種寫法更加流行，《西游記》里面描述的很多事情只有很少部分是事實，《三國演義》里孔明借東風(fēng)的事是作者為了夸大諸葛亮的能力而寫出來的。

文學(xué)家為了欣賞現(xiàn)象或者舒解情懷而夸大而完美化，但數(shù)學(xué)家卻為了了解現(xiàn)象而構(gòu)建完美的背景。我們在現(xiàn)象界可能看不到數(shù)學(xué)家虛擬結(jié)構(gòu)的背景，但正如數(shù)學(xué)家創(chuàng)造虛數(shù)的過程一樣，這些虛擬的背景卻有能力來解釋自然界的奇妙現(xiàn)象。在數(shù)學(xué)家的眼中，這些虛擬背景，往往在現(xiàn)象界中呼之欲出。對很多數(shù)學(xué)家來說，虛數(shù)和圓球的觀念都可以看作自然界的一部分。

現(xiàn)在粒子物理學(xué)里面有一個成功的理論叫做夸克理論，它和虛數(shù)理論有異曲同工之妙，人們從來沒有看見過夸克，但是我們感覺到它的存在。

有些時候，數(shù)學(xué)家利用幾千頁紙的理論來將一些模糊不清的具體現(xiàn)象用極度抽象的方法去統(tǒng)一、去描述、去解釋。這是數(shù)學(xué)家追求完美化的極致，值得驚奇的是，這些抽象的方法居然可以解決一些極為重要的具體問題，最出名的例子就是格羅滕迪克在韋伊猜想上的偉大工作。

物理學(xué)家在上世紀(jì) 70 年代引進的超對稱也是將對稱的觀念極度推廣，我們雖然在實驗室還沒有見到超對稱的現(xiàn)象，但它已經(jīng)引發(fā)了很多重要的物理和數(shù)學(xué)上的思維。

近代數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)不同的分支取得巨大的成果，與文學(xué)家的手段極為類似。所以我說好的數(shù)學(xué)家最好有人文的訓(xùn)練，從變化多姿的人生和大自然界得到靈感來將我們的科學(xué)和數(shù)學(xué)完美化，而不是禁錮自己的腳步和眼光，只跟著前人的著作，做小量的改進，就以為自己是一個大學(xué)者。

中國數(shù)學(xué)家太注重應(yīng)用，不在乎數(shù)學(xué)嚴(yán)格的推導(dǎo)，更不在乎數(shù)學(xué)的完美化，到了明清時期，中國數(shù)學(xué)家實在無法跟文藝復(fù)興時期的數(shù)學(xué)家比擬。

有清一代，數(shù)學(xué)更是不行，沒有原創(chuàng)性！可能是受到乾嘉考證的影響，大多好的數(shù)學(xué)家跑去考證《九章算術(shù)》和唐宋的數(shù)學(xué)著作，不做原創(chuàng)性的工作。和同一個時代，文藝復(fù)興以后的意大利、英國、德法的學(xué)者不斷嘗試的態(tài)度迥異。找尋原創(chuàng)性的數(shù)學(xué)思想，影響了牛頓力學(xué)，因此產(chǎn)生了多次的工業(yè)革命。

到今天，中國的理論科學(xué)家在原創(chuàng)性方面還是比不上世界最先進的水準(zhǔn)，我想一個重要的原因是我們的科學(xué)家在人文方面的修養(yǎng)還是不夠，對自然界的真和美感情不夠豐富！這種感情對科學(xué)家和文學(xué)家來說，其實是共通的。我們中華民族是一個富有感情和富有深度的民族，上述的文學(xué)家、詩人、小說家的作品，比諸全世界，都不遑多讓！

但是我們的科學(xué)家對人文的修養(yǎng)卻不大注意，我們管理教育的官員們卻有很奇怪的教育政策，他們大概認(rèn)為語文和歷史的教育并不重要，用了一些淺顯而沒有深度的通識教育來代替這些重要的學(xué)問，大概他們以為國外注重通識教育的緣故吧。但這是舍本逐末的事情。

坦白說，我還沒有看到過哪個有水準(zhǔn)的國家和城市不反反復(fù)復(fù)地去教導(dǎo)國民們本國或本地的歷史的。我的兩個孩子在美國一個小鎮(zhèn)讀書，他們在小學(xué)、在中學(xué)將美國三百年的事情念得滾瓜爛熟！因為這是美國文化的基礎(chǔ)。

我敢說：不懂或是不熟讀歷史的國民，他們必定認(rèn)為自己是無根的一代。一般來說，他們的文化根基比較膚淺，容易受人愚弄和誤導(dǎo)。這是因為他們看不清楚現(xiàn)在發(fā)生事情的前因后果。

史為明鏡，它不單指出古代偉人成功和失敗的原因，它也將千年來我們祖先留下來的感情傳給我們，我們?yōu)榍鼗蕽h武、唐宗宋祖創(chuàng)下的豐功偉績感到驕傲，為他們的子孫走錯的路而感嘆！中國五千年豐富的文化使我們充滿自信心！我們?yōu)槭裁床缓煤玫乩米嫦攘艚o我們的遺產(chǎn)？

或許有人說，我不想做大科學(xué)家，所以不用走你所說的道路。其實這事并沒有矛盾。當(dāng)一個年輕人對自己要學(xué)習(xí)的學(xué)問有濃厚的感情后，學(xué)習(xí)任何學(xué)問都會輕而易舉！至于數(shù)學(xué)和語文并重，則是先進國家（如美國等）一向認(rèn)為理所當(dāng)然的。美國比較好的大學(xué)收學(xué)生時都看 SAT 的成績，最重要的部分，考的就是語文和數(shù)學(xué)。

除了考試以外，美國好的中學(xué)也鼓勵孩子多元化，盡量涉獵包括人文和數(shù)理的科目。美國有很多高質(zhì)量的科普雜志，銷量往往都在百萬本以上。而中國好的科普雜志不多，銷量也少得可憐，從這點就可以看到中西文化的異同，希望我們會逐漸改進！

我在中國博物館看到羅丹的遺囑，在這遺囑里我們看到雕塑家和科學(xué)家有著相同的目標(biāo)。節(jié)錄如下：

生在你們以前的大師，你們要虔誠地愛他們。

可是要小心，不要模仿你的前輩。尊重傳統(tǒng)，把傳統(tǒng)所包含永遠富有生命力的東西區(qū)別出來——對“自然”的愛好和真摯，這才是天才作家的兩種強烈的渴望。他們都崇拜自然，從沒有說過謊。所以傳統(tǒng)把鑰匙交給你們，依靠這把鑰匙，你們能避開守舊的桎梏。也正是傳統(tǒng)，告誡你們要不斷地探求真實，并阻止你們盲從任何一位大師。

但愿“自然”成為你們唯一的女神。

對于自然，你們要絕對信仰。你們要確信，“自然”是永遠不會丑惡的，要一心一意忠于自然。

在藝術(shù)家眼中，一切都是美的，因為他銳利的目光能夠穿透任何人或物，發(fā)現(xiàn)其“性格”，換句話說，能夠發(fā)現(xiàn)其外形下透露出的內(nèi)在真理；而這個真理就是美的本身。虔誠地鉆研吧，你們一定能找到美，因為你們將會發(fā)現(xiàn)真實。奮發(fā)地工作吧！要有耐心！不要指望靈感。靈感是不存在的。藝術(shù)家的優(yōu)良品質(zhì)，無非是智慧、專心、真摯、意志。像一個誠實的工人一樣完成你們的工作吧。

在我看來，羅丹教導(dǎo)我們的，何止是藝術(shù)，他每一句話都可用在科研的創(chuàng)新上，我們用真摯純樸的感情去找尋大自然的美麗、大自然的真實。

我們都感謝以前的大師，我們在他們的肩膀上向前摸索，但我們也知道他們的道路不是唯一的，讓我們勇往直前，建立我們自己了解大自然的道路！