張際久 齊國(guó)明 李 東 李疾翎

中海油田服務(wù)股份有限公司油田技術(shù)事業(yè)部,天津 300459

0 前言

水平井可以大幅度提高井筒與油層的接觸面積,在薄層、低滲透、底水油氣藏開發(fā)中應(yīng)用廣泛。采用水平井開發(fā)底水油藏,在投產(chǎn)前根據(jù)井眼軌跡和鉆遇情況,較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)水平段不同部位的產(chǎn)量和見水時(shí)間,進(jìn)而針對(duì)性地優(yōu)化完井方案;在投產(chǎn)后根據(jù)生產(chǎn)情況預(yù)測(cè)底水脊進(jìn)形態(tài),為生產(chǎn)制度優(yōu)化調(diào)整提供依據(jù)和參考,這樣可有效提升水平井的精細(xì)化管理水平和綜合開發(fā)效益。

目前對(duì)于水平井分段產(chǎn)量的影響因素和計(jì)算方法已有較多成熟的研究成果[1-10],但是關(guān)于水平井見水時(shí)間的計(jì)算方法,目前的研究主要考慮產(chǎn)量、水平段長(zhǎng)度等因素的影響[9-17],很少考慮井眼軌跡高低變化因素的影響。程林松等人[10]分析了水平井水平段長(zhǎng)度、距離底水高度、地層非均質(zhì)性等因素對(duì)產(chǎn)量、見水時(shí)間的影響,但是沒有考慮井筒壓降、井眼軌跡等影響因素。李立峰等人[11]研究了井筒壓降對(duì)底水油藏水平井見水時(shí)間的影響,分析了見水時(shí)間隨水平井產(chǎn)量、水平段長(zhǎng)度等因素的變化規(guī)律,但同樣沒有考慮井眼軌跡的影響。目前關(guān)于水平井見水時(shí)間的研究一般假設(shè)水平段完全水平,但實(shí)際的水平井井眼軌跡是存在高低起伏的,這一因素對(duì)產(chǎn)量的影響較小,但是對(duì)見水時(shí)間的影響較大,顯然水平段在距離底水近的部位見水時(shí)間更短。

水平井見水時(shí)間除了受井眼軌跡影響外,還與分段產(chǎn)量、儲(chǔ)層非均質(zhì)性、滲透率各向異性等因素密切相關(guān)。在水平井不同部位,受非均質(zhì)性和井筒壓降的影響,底水向上錐進(jìn)的速率不同。在水平段同一部位,與井筒的距離不同,底水向上錐進(jìn)的速率也不同,這些因素都給計(jì)算水平段不同部位的見水時(shí)間帶來(lái)了很大挑戰(zhàn)。

本文在前人研究成果的基礎(chǔ)上,基于穩(wěn)定滲流理論,全面考慮了油藏物性變化、滲透率各向異性、水平井筒流動(dòng)壓降、井眼軌跡高低變化等影響因素,建立了底水油藏中流體運(yùn)移的數(shù)學(xué)模型,研究了流體運(yùn)移速度與其和水平段的距離之間的關(guān)系,并積分得到了計(jì)算水平井各部位見水時(shí)間的解析解。通過(guò)該解析解不僅可以預(yù)測(cè)水平段各部位的產(chǎn)量和見水時(shí)間,還可以在水平井生產(chǎn)一段時(shí)間后,直觀顯示出水平段下方的水脊形態(tài)。經(jīng)過(guò)對(duì)比,本文所建立方法的計(jì)算結(jié)果與王家祿、任超群等人[18-19]采用實(shí)驗(yàn)裝置模擬得到的水脊形態(tài)、見水時(shí)間規(guī)律一致。

1 分段產(chǎn)量計(jì)算

建立底水油藏水平井生產(chǎn)穩(wěn)定滲流物理模型,假設(shè)條件如下:油藏流體為不可壓縮流體;流體在油藏中的流動(dòng)為穩(wěn)定的達(dá)西滲流;將水平井分為N段,每個(gè)單元段可看作線匯且單元段內(nèi)的流量均勻分布。

1.1 底水油藏壓力分布及產(chǎn)量求解

底水油藏水平井生產(chǎn)示意圖見圖1。

圖1 底水油藏水平井生產(chǎn)示意圖Fig.1 Production diagram of horizontal well in bottom water reservoir

如圖1所示,油層頂部為封閉邊界,油層底部油水邊界為定壓邊界,位于xoy平面。水平井第i段(1 ≤i≤N，N為水平井分段數(shù))長(zhǎng)度為L(zhǎng)i,跟端坐標(biāo)為(x1i,y1i,z1i),趾端坐標(biāo)為(x2i,y2i,z2i)。則水平井第i段以產(chǎn)量qi生產(chǎn)后,油藏中任意一點(diǎn)(x,y,z)產(chǎn)生的勢(shì)為[1]:

(1)

其中:

式中:Φi(x,y,z)為水平井第i段生產(chǎn)在油藏中任意一點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì),m2/ks;Ci為水平井第i段生產(chǎn)勢(shì)函數(shù)的積分常數(shù),m2/ks;qi為水平井第i段產(chǎn)量,m3/ks;Li為水平井第i段長(zhǎng)度,m;φi(x,y,z)為水平井第i段的跟端和趾端與油藏中任意一點(diǎn)的距離的函數(shù),m-1;n為根據(jù)鏡像法則虛擬的鏡像井?dāng)?shù)量,整數(shù);ξi(n1in,n2in)為油藏中任意一點(diǎn)與水平井第i段第n個(gè)鏡像跟端和趾端的距離函數(shù)；h為油層厚度,m;η1in和η2in分別為水平井第i段的第n個(gè)鏡像的跟端和趾端的z坐標(biāo),m;r1in和r2in分別為油藏中任意一點(diǎn)到水平井第i段的第n個(gè)鏡像的跟端和趾端的距離,m。

根據(jù)勢(shì)的疊加原理[20],水平井全部N個(gè)水平段生產(chǎn)在油層中產(chǎn)生的勢(shì)為:

(2)

式中:Φ(x,y,z)為水平井全部分段生產(chǎn)在油藏中任意一點(diǎn)產(chǎn)生的勢(shì),m2/ks;N為水平井分段數(shù),自然數(shù)。

根據(jù)勢(shì)函數(shù)的定義:

(3)

式中:k為地層滲透率,D;μ為地層原油黏度,mPa·s;p(x,y,z)為油藏中任意一點(diǎn)的地層壓力,MPa;ρ為儲(chǔ)層流體密度,kg/m3;g為重力加速度,為9.8 m/s2。

根據(jù)式(1)～(3)可以得到:

(4)

式中:Φie為水平井第i段生產(chǎn)時(shí)底水界面處的勢(shì),m2/ks;pe為油水邊界處地層壓力,MPa。

式(4)對(duì)于油層中任意一點(diǎn)都成立。在水平井第j段(1 ≤j≤N)中心井壁處,設(shè)其坐標(biāo)為[(x1j+x2j)/2,(y1j+y2j)/2, (z1j+z2j)/2-rw],式(4)也成立,因此有:

(5)

式中:rw為井眼半徑,m;Φij為水平井第i段生產(chǎn)時(shí)在第j段中心井壁處產(chǎn)生的勢(shì),m2/ks;kj為水平井第j段平均地層滲透率,D;pwj為水平井第j段處的井底流壓,MPa;zj為水平井第j段中心處的z坐標(biāo),m。

結(jié)合式(1)、式(5)寫成以下矩陣形式更為直觀:

(6)

其中:

式中:λj為水平井第j段的流度和生產(chǎn)壓差的函數(shù),m2/ks;φij為水平井第i段的跟端和趾端與水平井第j段中心的距離的函數(shù),具體見式(1),m-1;φie為水平井第i段的跟端和趾端與底水界面上任意一點(diǎn)的距離的函數(shù),m-1。

式(6)左邊的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格的對(duì)角占優(yōu)矩陣,可以通過(guò)Gauss-Seidel迭代法求解,迭代公式為:

(7)

式中:m為迭代次數(shù),自然數(shù)。

輸入一組井底流壓pwj數(shù)值后,即可迭代求解得到水平段每一段的單位長(zhǎng)度產(chǎn)量。

1.2 水平井筒內(nèi)流動(dòng)壓降

在水平井筒中,流體克服流動(dòng)摩阻從趾端流向跟端,必然會(huì)消耗一部分能量,產(chǎn)生一定的壓降。已有較多學(xué)者研究了該壓降的計(jì)算方法和對(duì)水平井產(chǎn)出的影響[2,21-22]。本文采用的裸眼完井水平井段井筒壓降的計(jì)算公式為[2,23]:

(8)

式中:Δpwj為水平井第j段的井筒壓降,MPa;Cfr為考慮流入影響的水平井筒壁面摩擦校正系數(shù);fj為水平井第j段壁面摩擦系數(shù);D為篩管直徑,m;Qj為水平井筒中從趾端到第j段的累積流量,m3/ks。

1.3 滲透率各向異性影響

一般情況下,儲(chǔ)層滲透率會(huì)存在各向異性(kh≠kv),定義:

(9)

(10)

用βh、βz分別替換h、z,考慮滲透率各向異性的影響。

式中:kh、kv分別為儲(chǔ)層水平、垂直滲透率,D;β為滲透率各向異性系數(shù)。

2 分段見水時(shí)間計(jì)算

如果采用直井開發(fā)底水油藏,底水突進(jìn)會(huì)呈現(xiàn)“水錐”形態(tài),如果采用水平井開發(fā)底水油藏,底水突進(jìn)會(huì)呈現(xiàn)“水脊”形態(tài)[12]。把水平井分為N段,如果N足夠大,水平井的每一段都可以假設(shè)成為一口直井。因此,“水脊”也可以視為N個(gè)“水錐”的疊加。

根據(jù)式(1),水平井第i段生產(chǎn)后,地層中任意一點(diǎn)z方向上的滲流速度為:

(11)

其中:

式中:vzi(x,y,z)為水平井第i段生產(chǎn)引起的地層中某一位置流體的運(yùn)移速度,m/d；δi(n1in,n2in)為油藏中任意一點(diǎn)與水平井第i段的第n個(gè)鏡像跟端和趾端的距離的函數(shù)；dz為地層中流體運(yùn)移的單元距離，m。

根據(jù)疊加原理[20],地層中任意一點(diǎn)(x,y,z)在z方向上的滲流速度為:

(12)

式中:vz(x,y,z)為水平井穩(wěn)定生產(chǎn)時(shí)地層中某一位置流體的運(yùn)移速度,m/d。

由于:

(13)

式中:dt為流體運(yùn)移單元距離所需的時(shí)間,d;φ為地層孔隙度。

設(shè)水平井段上某一位置坐標(biāo)為(xw,yw,zw),式(13)積分得到水平井段上任意一點(diǎn)的見水時(shí)間為:

(14)

式中:T(xw,yw,zw)為水平井段上某一位置的見水時(shí)間,d。

式(14)中的積分函數(shù)形式復(fù)雜,確定其原函數(shù)十分困難。研究底水油藏水平井不同部位的底水運(yùn)移速度規(guī)律，通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn),流體運(yùn)移速度vz(xw,yw,z)與其和水平段的距離Δz(Δz=zw-z)之間存在相關(guān)性很高的冪函數(shù)關(guān)系。地層中vz與Δz的關(guān)系圖見圖2,圖2顯示了在斜深2 115 m、2 400 m、2 610 m處底水向上運(yùn)移的速度,這3個(gè)深度離底水界面的距離分別為5.2 m、5.2 m和6.4 m。

圖2 地層中流體滲流速度與距離水平段距離的關(guān)系圖Fig.2 Relationship diagram between reservoir fluid seepage velocity and distance from horizontal section

根據(jù)以上規(guī)律,式(14)可以改寫成:

(15)

式中:c1、c2為與xw、yw、zw、qi等參數(shù)相關(guān)的常系數(shù)。

確定c1、c2的方法如下:選取水平井段上某一位置(xw,yw,zw)下方的兩點(diǎn),本文選取與水平段的距離分別為0.75zw和0.25zw的兩點(diǎn),即兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(xw,yw, 0.25zw)和(xw,yw, 0.75zw),計(jì)算其z方向上的滲流速度分別為vz1和vz2。則有:

(16)

(17)

式中:vz1、vz2為水平井下方與水平段距離分別為0.75zw和0.25zw位置處流體向上運(yùn)移的速度,m/d。

式(15)積分,同時(shí)考慮滲透率各向異性的影響,則有:

(18)

通過(guò)式(18)就可以計(jì)算水平段任意位置的見水時(shí)間。另外,也可以計(jì)算水平井生產(chǎn)一段時(shí)間后水平段各部位的底水脊進(jìn)距離,直觀顯示出水平井下方的水脊形態(tài)。式(15)積分并整理得到:

(19)

式中:tp為水平井穩(wěn)定生產(chǎn)的時(shí)間,d;d(xw,yw,tp)為水平井穩(wěn)定生產(chǎn)tp時(shí)間后,水平段某一位置下方的底水脊進(jìn)高度,m。

3 實(shí)例計(jì)算

用以上方法對(duì)海上某底水油藏水平井進(jìn)行模擬。該井水平段滲透率曲線及預(yù)測(cè)產(chǎn)液剖面圖見圖3，平均滲透率為718 mD，該井的其他參數(shù)如下:底水界面位于1 786 m,油層厚度9.1 m,平均孔隙度30%,油藏壓力17.29 MPa,地層原油密度848.7 kg/m3,地層原油黏度18.68 mPa·s。水平段為2 098～2 734.9 m,鉆頭尺寸215.9 mm,裸眼篩管完井,篩管內(nèi)徑150.4 mm。井底流壓15 MPa。

圖3 某底水油藏水平井滲透率及產(chǎn)液剖面圖Fig.3 Permeability and production profile of a horizontal well in bottom water reservoir

該井生產(chǎn)見水時(shí)間及水脊形態(tài)模擬結(jié)果見圖4,圖4顯示投產(chǎn)后產(chǎn)量為1 694.9 m3/d,見水部位為2 187.7～2 215.4 m,見水時(shí)間為24.3 d。通過(guò)預(yù)測(cè)的投產(chǎn)20 d后的水脊形態(tài)可以看出,底水容易在水平段中部高滲部位提前突破,趾端和跟端的油水界面上升較慢,見水時(shí)波及區(qū)域較小,這與物理模擬觀測(cè)到的見水時(shí)間規(guī)律一致。

該井實(shí)際投產(chǎn)后產(chǎn)量在1 237.5～1 614.9 m3/d之間波動(dòng),22 d后含水明顯上升,與模擬結(jié)果差異較小,說(shuō)明該模型的準(zhǔn)確度較高。

圖4 某底水油藏水平井生產(chǎn)見水時(shí)間及水脊形態(tài)模擬結(jié)果圖Fig.4 Simulation results of water breakthrough time and water coning shape of a horizontal well in bottom water reservoir

4 結(jié)論

1)基于穩(wěn)定滲流理論,全面考慮油藏段物性變化、滲透率各向異性、水平井筒內(nèi)流動(dòng)壓降以及井眼軌跡高低變化等影響因素,建立了計(jì)算水平井不同部位見水時(shí)間和底水運(yùn)移距離的方法。

2)通過(guò)分析底水油藏中流體運(yùn)移規(guī)律,發(fā)現(xiàn)流體向上運(yùn)移速度與其和水平段的距離呈冪函數(shù)關(guān)系。

3)通過(guò)實(shí)際應(yīng)用,證明本文所建方法的準(zhǔn)確度和可靠性較強(qiáng),與物理模擬方法得到的見水時(shí)間、水脊形態(tài)規(guī)律一致。

4)本文所建立方法可以為優(yōu)化完井方案、調(diào)整生產(chǎn)制度等應(yīng)用提供參考和依據(jù),具有可推廣性。