■蔣飛

一、教學目標

通過實例歸納出研究函數(shù)的一般方法，運用總結(jié)的方法探究新函數(shù)的圖像和性質(zhì)；經(jīng)歷對新函數(shù)圖像和性質(zhì)的探究過程，掌握探究新函數(shù)圖像和性質(zhì)的一般方法；通過對新函數(shù)圖像和性質(zhì)的探究，體會數(shù)學研究方法的一致性和可遷移性，發(fā)展學生思維，形成科學的思維習慣，培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)。

二、教學重難點

歸納總結(jié)研究新函數(shù)圖像和性質(zhì)的方法；感悟探究新函數(shù)圖像的一般方法。

三、教學流程

1.先行體驗，方法提煉。

例1畫出下列三個函數(shù)的圖像，并盡可能多地寫出它的性質(zhì)：①y=x+1（x+1）2+1。歸納并總結(jié)研究函數(shù)的一般思路與方法。

師：同學們，你們是如何快速地畫出這些函數(shù)圖像的呢？

生1：通過列表、描點、連線。

師：那么我們又是根據(jù)什么來畫出函數(shù)圖像的呢？

生2：根據(jù)函數(shù)表達式。

師：的確如此。事實上，我們需要根據(jù)函數(shù)表達式，通過列表、描點、連線，畫出函數(shù)的圖像，進而研究函數(shù)的性質(zhì)。我們又是從哪幾方面來描述函數(shù)圖像與性質(zhì)的呢？

生3：我們通過增減性、最值來描述函數(shù)圖像與性質(zhì)。

生4：還有與坐標軸的交點。

生5：我覺得對稱性以及它們在哪幾個象限也可以用來描述函數(shù)的圖像與性質(zhì)。

師：同學們回答得都非常好。但是還有一點值得同學們關注，請同學們觀察的圖像，你會發(fā)現(xiàn)它的圖像并不是連續(xù)的。這是因為自變量x的取值范圍是x≠0，導致它的圖像被分成了兩條曲線，故我們稱之為“雙曲線”，所以圖像的連續(xù)性與間斷情況也是描述函數(shù)圖像與性質(zhì)的一個方面。

2.簡單應用，感悟內(nèi)化。

（1）提出新問題，引入課題。

師：同學們，根據(jù)剛才的討論我們知道，研究函數(shù)的方法是有規(guī)律可循的，描述函數(shù)的性質(zhì)也是有基本思路的。那么對于函數(shù)你還能快速地畫出它的圖像，描述它的性質(zhì)嗎？

生6：我們可以通過列表、描點、連線畫出圖像，然后再讀取其性質(zhì)。

師：你知道它圖像的“長相”嗎？如果不確定“長相”的話，怎么能用有限個點畫出它的圖像呢？

生6：因為這個函數(shù)和我們先前學的都不一樣，所以它的圖像長什么樣我們并不清楚。

師：的確如此，當我們已有的知識儲備不能解決此問題時，我們就要尋求新的辦法來解決。

（2）例題示范，感悟方法。

師：同學們，我們根據(jù)之前總結(jié)描述函數(shù)圖像與性質(zhì)的幾個角度，分析函數(shù)圖像的一些性質(zhì)。請問該圖像的連續(xù)性和間斷性如何？

生7：因為自變量x≠-1，所以函數(shù)圖像不與直線x=-1相交，即位于直線x=-1的兩側(cè)，故圖像是不連續(xù)的。

師：該函數(shù)圖像與坐標軸的交點如何？

生8：當x=0時，y=4，所以它與y軸的交點坐標為（0，4）；而y≠0，所以它與x軸沒有交點。

師：該函數(shù)圖像的位置分布情況如何？

生9：當x＞-1時，y＞0，此時函數(shù)圖像在x軸上方；當x＜-1時，y＜0，此時函數(shù)圖像在x軸下方。

師：該函數(shù)的最值情況如何？

生10：該函數(shù)既沒有最大值也沒有最小值。

師：該函數(shù)的增減情況如何？

生11：y隨x的增大而減小。

師：從左到右一直是這樣嗎？

生11：噢，要分兩段看。當x＜-1時，y隨x的增大而減小；當x＞-1時，y也隨x的增大而減小。

［同學們根據(jù)列表、描點、連線，再結(jié)合剛才的分析畫出圖像（圖略）。完成后，教師投影正確的函數(shù)圖像并讓學生相互交流，說一說該函數(shù)還有哪些性質(zhì)。］

師：非常好！同學們，通過這個例題的分析，你有哪些收獲？

生13：對于一個新的函數(shù)，我們不能一上來就通過列表、描點、連線畫出函數(shù)圖像，因為畫出來的圖像往往不準確，不能正確地描述其函數(shù)性質(zhì)。

生14：我們要掌握研究函數(shù)的一般方法，先根據(jù)新的函數(shù)表達式從幾個方面分析函數(shù)性質(zhì)，然后在此基礎上進行準確畫圖，最后再精準地描述其性質(zhì)。

［學生獨立思考2～3分鐘后，再小組討論，根據(jù)例題的討論方式，逐步得到該函數(shù)的圖像（圖略）。］

3.知識升華，遷移應用。

師：同學們基本掌握了研究新函數(shù)的方法。下面，我們一起來解決例2。

例2為了探究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，小李根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)的圖像與性質(zhì)進行研究。下面是小李探究的過程，請補充完整：

（2）下表是y與x的幾組對應值：

?

則m的值為 ；

（3）如圖1，在平面直角坐標系中，根據(jù)描出的點，補全函數(shù)的圖像；

圖1

（5）若函數(shù)y=x的圖像在函數(shù)的圖像上方，直接寫出x的取值范圍

學生獨立完成后，小組交流，學生代表上臺展示講解答案，形成共識。

師：同學們，如果這個函數(shù)的圖像可以看作是由某個函數(shù)圖像平移得到的，那么它是由哪個函數(shù)圖像經(jīng)過什么樣的圖形變換得到的呢？

生15：我發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)的圖像是雙曲線，對稱中心是（1，1），那么我把它和我們學過的反比例函數(shù)產(chǎn)生聯(lián)系，然后觀察圖像，可以發(fā)現(xiàn)它是由函數(shù)的圖像向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到的。

師（追問）：的確是這樣的。我們可以用類比反比例函數(shù)圖像的方法，觀察圖像得出答案。那么你還有其他方法嗎？

師：非常好！同學們不僅會由圖像觀察得出圖形變換的過程，還能從數(shù)的角度，根據(jù)對函數(shù)表達式的分析進行歸納總結(jié)，得出變換過程。

4.課堂總結(jié)，交流體會。

師：同學們，通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？

生17：我知道了可以從以下幾個方面研究新函數(shù)的圖像與性質(zhì)：圖像的連續(xù)性、分布情況、與坐標軸的交點情況、最值情況、增減性、對稱性等。

生18：我還學到了面對新的問題、新的背景，我們可以從已有經(jīng)驗出發(fā)，采用類比、知識遷移等方法解決新的問題。

師：同學們講得非常好。今天這節(jié)課我們一起探究了新函數(shù)的圖像和性質(zhì)，并掌握了其研究的基本規(guī)律和一般方法，相信大家都有所感悟。同學們，知識是相互聯(lián)系的，又是相互作用的，而研究問題的方法是有規(guī)律可循的。希望同學們在今后的數(shù)學學習中，積極思考，把握問題的研究規(guī)律，以促成智慧生長。

四、教學反思

本節(jié)課是在學生學習完一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等內(nèi)容后的一節(jié)總結(jié)拓展課。探究新函數(shù)的圖像和性質(zhì)對初中學生來說頗具難度，教師需要以智慧的教促進學生智慧的學，引導學生不斷進行總結(jié)提煉，形成更高層次的結(jié)構(gòu)體系，發(fā)展學生的數(shù)學思維，培育學生的核心素養(yǎng)。

1.聚焦函數(shù)本質(zhì)，提升教學智慧。

初中教材內(nèi)容的安排往往以章為單元，但有些章與章之間研究內(nèi)容及路徑是相通的，是一種螺旋式上升。如函數(shù)分別研究了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等。進入九年級復習時，教師對這些內(nèi)容進行有效整合，聚焦函數(shù)本質(zhì)，不僅能幫助學生提高復習效率，更主要的是能夠使學生以聯(lián)系、共性的思維來思考，讓學生從中總結(jié)出一般規(guī)律，積累經(jīng)驗并解決新的函數(shù)問題，進一步升華相關思想，這就是智慧教學生長的過程。有了這樣的探究經(jīng)歷后，學生進入高中學習新的函數(shù)，就會得心應手，自然就有一種水到渠成的感覺。

2.問題驅(qū)動探究，發(fā)展學生智慧。

問題驅(qū)動的教學由數(shù)學教育家張奠宙教授提出，從問題出發(fā)，為解決問題或者發(fā)展問題結(jié)論而不斷設計新問題，在一系列問題鏈的解決過程中逐步加深對原始問題的理解，從而發(fā)展學生智慧。本節(jié)課上，筆者從如何探究所給的新函數(shù)引入課題，基于學生的困難點，圍繞研究函數(shù)圖像與性質(zhì)的幾個方面設置了多個問題串，創(chuàng)設符合學生認知規(guī)律的問題情境，以問題來驅(qū)動學生探究，充分調(diào)動學生思維，激發(fā)學生智慧。通過實踐，筆者認為基于問題驅(qū)動的探究活動，易于發(fā)展學生智慧，提升學生核心素養(yǎng)。

3.把握知識建構(gòu)，促進智慧生長。

著名數(shù)學家華羅庚將讀書的過程歸納為“由薄到厚”與“由厚到薄”兩個階段，初中階段函數(shù)的學習過程亦是如此。如果將初中教材中三大函數(shù)的內(nèi)容看成是“由薄到厚”階段，則本節(jié)課新函數(shù)圖像和性質(zhì)的探究可看成是“由厚到薄”階段。將原來彼此分散、彼此分割開來的知識聯(lián)系成一個統(tǒng)一的整體，即學生在對知識進行內(nèi)化的基礎上，通過順應和同化，構(gòu)成新的認知結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)知識與方法的第二次整體建構(gòu)。這一過程不僅僅是知識層面的整理及建構(gòu)，更主要是能從整體把握處理問題的多種視角和方法，真正促進了教與學的智慧生長，指向?qū)W生核心素養(yǎng)的培育。