宋瑞麗 ,王書彬 ,蘇曉

(1.鄭州經貿學院公共教學部,河南 鄭州 451191;2.鄭州大學數(shù)學與統(tǒng)計學院,河南 鄭州 450001;3.河南工業(yè)大學理學院,河南 鄭州 450001)

1.引言

研究下列Fokas-Olver-Rosenau-Qiao(FORQ)方程的Cauchy問題:

其中q=u-uxx.下標x,t表示分別關于x,t求偏導.

1854年Russell[1]對孤立水波進行了探討,這推進了人們對淺水波方程的研究.1895年,Korteweg和de Vries在對淺水波運動進行研究時提出KdV方程

并證明方程(1.3)有光滑孤立波解.[2]1981年,Fokas和Fuchssteiner研究廣義KdV方程的可積性和雙Hamilton結構時推導出如下方程

并研究了它的孤立子結構和守恒律.[3]Camassa和Holm從Euler方程在淺水波條件下的Hamilton量漸進展開中得到

此方程被廣泛的命名為Camassa-Holm(CH)方程.這里u(x,t)表示流體在t時刻x點的流速,k是常數(shù)并與波速有關.Camassa和Holm證明了CH方程具有雙Hamilton結構、完全可積性并且給出(1.4)在k=0時的孤立波解.[4-5]Cooper和Shepard用變分法不僅給出(1.5)在k=0時的精確孤立波解,而且給出(1.5)在k=0時的最優(yōu)變分解.[6]CH方程具備豐富的物理背景和多種數(shù)學特性,成為淺水波理論新的主流方程,許多數(shù)學和物理工作者都對它進行了研究,并取得了豐碩的成果.[7-9]

Novikov在眾多CH方程的成果上,提出了具有三階非線性項的方程(Novikov方程)[10]

Hone,Lundmark和Geng發(fā)現(xiàn)Novikov方程具有完全可積性、雙Hamilton結構及尖波孤立解.[11-12]學者也對Novikov方程的Cauchy問題強解的局部存在性、唯一性以及解的爆破進行了研究.[13-15]

Fokas,Olver,Rosenau和QIAO在研究可積系統(tǒng)時提出了一類具有三階非線性項的方程,就是Fokas-Olver-Rosenau-Qiao(FORQ)方程.[16-18]Olver,QIAO和Rosenau先后研究了FORQ方程的雙Hamilton結構以及尖波解.[17-19]QU和LIU研究了FORQ方程的孤立子的穩(wěn)定性.[20]FU,GUI,LIU 和Olver證明了修正的CH方程在Besov空間是局部適定性的,描述了解的爆破機理,確定解在有限時間內發(fā)生爆破并給出最大存在時間的下界,并證明了行波解的不存在性.[21-22]

2.預備知識

FORQ方程的雙哈密頓結構可以用下面的方程描述：

這是研究它在Sobolev空間中的適定性最簡便的形式.為簡便起見,改寫FORQ方程(1.1)為如下的非局部形式:

3.主要結論及證明