米清清,嚴暢,鈕維生

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

1.引言

本文考慮如下帶有退化強制項的非線性橢圓方程

解的存在性機制.其中Ω是RN(N ≥2)上的有界開集,θ ＞0,λ ＞0.進一步,假設(shè)a:Ω×RN →RN滿足Carath′eodory條件,即對于任意的ξ∈RN,a(x,·)在Ω上可測,對于幾乎處處的x∈Ω,a(x,·)在RN上連續(xù),且存在正常數(shù)α,β,使得對于任意的ξ,η∈RN,,有

上述方程在等離子體熱輻射和多孔介質(zhì)流等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-3].顯然,當(dāng)u充分大時主部算子-div沒有強制性,因而上述方程通常被稱為具有退化強制主部算子的橢圓方程.由于缺乏強制性,這類方程解的存在性、正則性等問題研究起來較為困難.近年來,以Boccardo和Alvino為代表的一批學(xué)者對該類方程進行了較為深入和廣泛的研究[4-9].特別地,對于外力項為可積函數(shù)的情形,文[5-6]在λ=0,0＜θ ≤1,p=2條件下,系統(tǒng)地研究了方程(1.1) 解的存在性和正則性問題;隨后,文[7]在λ=0,0＜θ ≤1的假設(shè)下,將文[5-6]中的結(jié)果推廣到了一般的p ＞1的情形.對于外力項為一般Radon測度的情形,文[8]在λ=1,θ ＞1,p=q=2的條件下,建立了方程熵解的不存在性結(jié)果.文[9]則研究了具有臨界增長的梯度型低階項的退化橢圓方程弱解的存在性.

本文研究方程(1.1)解的存在性機制和正則性.我們主要考慮外力項f的正則性、低階非線性項的增長次數(shù)q和描述主部算子退化程度的參數(shù)θ對解的存在性和正則性的影響.值得一提的是,在文[10]中,我們已經(jīng)討論了m ≥時,方程(1.1)分布意義下弱解的存在性.而在本文中,我們主要關(guān)注外力項屬于適當(dāng)可積函數(shù)類時,方程(1.1)有限能量弱解的存在性,以及外力項為較為奇異的Radon測度且非線性項的增長次數(shù)q較大時,方程(1.1)熵解的不存在性.本文結(jié)果在一定程度上豐富和改進了文[5-6,8,10]中的結(jié)果.

不失一般性,我們在以后的討論中假設(shè)λ=1.本文的主要結(jié)果如下:

注1.1上述定理表明當(dāng)f是凝聚在零r-容量集上的Radon測度并且非線性增長次數(shù)q充分大時,無法利用光滑逼近給出問題(1.8)的熵解.實際上,當(dāng)我們對逼近方程(1.11)取極限時,凝聚在零容量集上的Radon測度消失,逼近方程(1.11)的解收斂到方程(1.7)的解,而非(1.8)的解.在上述意義下,我們稱方程(1.8)的熵解不存在.

2.定理1.1的證明

3.定理1.2的證明

引理3.1假設(shè)un是問題(2.3)的解,則對于任意的k ≥0,有

4.定理1.3的證明