李建軍,王看看,徒君

(遼寧工程技術大學理學院,遼寧 阜新 123000)

1.引言

分數(shù)階Laplace算子是一類非局部橢圓算子,它在物理現(xiàn)象,反常物理現(xiàn)象中運用廣泛,而且分數(shù)階Laplace算子比經(jīng)典Laplace算子能更好地描述實際問題,因此引起了數(shù)學和物理學家的廣泛關注[1].分數(shù)階擬線性偏微分方程是一類特殊的反應擴散方程,隨著科學的迅速發(fā)展,為了適應各個學科領域研究的需要,反應擴散方程這類非線性偏微分方程得到了深入的研究和廣泛的發(fā)展[2].例如樊佳幸[3]借助Sobolev嵌入定理,Gagliardo-Nirenberg不等式,利用Galerkin方法研究了一類帶有擴散項的非線性拋物方程組的初邊值問題弱解整體存在和爆破的充分條件.楊慧,王建[4]利用上下解方法研究了一類具有非局部非線性Neumann邊界條件和非線性吸收項的非局部反應擴散方程解的存在性和爆破性.薛應珍,馮賀平[5]利用上下解方法研究了一類具有加權非局部邊界和非線性內(nèi)部源的多孔介質(zhì)拋物型方程組解的漸近性態(tài).

在數(shù)學理論上,反應擴散方程的全局解和爆破解可以理解為: 在局部解存在的條件下,如果局部解能延拓到整個時間t →∞,此時稱該局部解為整體解;如果局部解只能延拓到某個有限的時間T,即當t →T時,局部解趨向無窮,此時稱該局部解在有限時間T內(nèi)爆破,且T稱為該解的爆破時刻.關于分數(shù)階反應擴散方程解的爆破性研究甚少,如LIN,TIAN等人[6]通過引入一種新的輔助函數(shù)和自適應凹法,研究了含有分數(shù)階Laplace算子的Kirchhoff型波動方程初邊值問題解的爆破和爆破時刻.

在分數(shù)階條件下,FU和Pucci[7]研究下列空間分數(shù)階擴散方程解的全局存在性和爆破性:

由于分數(shù)階Laplace算子的非局部性,利用Caffarelli-Silvestre擴展方法[9]將非局部性問題(1.1)轉(zhuǎn)化為更高一維的局部橢圓型方程定解問題.更精確地,v=Es(u):Ω×(0,∞)→R作為問題(1.1) 中u:Ω →R的擴展函數(shù),記C={(x,y)|(x,y)∈Ω×(0,∞)}及它的側(cè)邊界為?LC=?Ω ×[0,∞).根據(jù)文[10]知,(-Δ)s是函數(shù)v在Ω ×{0}上的Dirichlet-Neumann算子,即

這是一個具有動力邊界條件的局部橢圓型方程定解問題.類似于文[8]中m=1的情況,(1.2)的能量泛函定義為

本文的主要結(jié)果是

定理1如果v=v(x,y,t;v0)是(1.2)的全局解,v0∈Σ1,那么存在α ＞0,使得

定理2如果v=v(x,y,t;v0)是(1.2)的全局解,且在函數(shù)空間(C)中關于t一致有界,那么對于每個序列tn →∞,存在一個平穩(wěn)解w,使得在(C)中有v=v(x,y,tn;v0)弱收斂于w.

定理3如果v=v(x,y,t;v0)是(1.2)的解,且存在t0≥0使得E(v(t0))≤0,那么解v在有限時間內(nèi)爆破.

定理4如果v=v(x,y,t;v0)是(1.2)的解,v0∈Σ2,那么解v在有限時間內(nèi)爆破.

2.準備知識

3.解的衰減估計,長時間漸近性態(tài)及爆破性

根據(jù)文[8],由類似方法得到本文所考慮的具有奇異勢的擬線性分數(shù)階反應擴散方程解的全局存在性,在全局解存在的基礎上,討論全局解的衰減估計、長時間漸近性態(tài)以及局部解的爆破性.基于Nehan 流形,位勢阱,不穩(wěn)定集合,位勢阱的深度,本節(jié)通過能量法給出全局解的衰減估計,長時間漸近性態(tài);利用凹函數(shù)法,得到局部解在有限時間內(nèi)爆破的充分條件.

定理1的證明根據(jù)位勢阱Σ1的等價定義,對所有的t ≥0,H(v(t))＞0,因此

定理證明方法與文[8]類似,故剩下的證明過程參考文[8].

定理3的證明關于解的爆破性證明方法有比較法,特征函數(shù)法,能量法,及本文采用的凹函數(shù)法[13,15].

論證的其余部分與定理3的證明方法類似,因此剩下的證明參考定理3.