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        巧妙利用統(tǒng)計與概率的關系提升學生數學核心素養(yǎng)
        ——以一堂“超幾何分布”課程設計為例

        2022-10-31 14:38:16200231上海市上海中學
        中學數學雜志 2022年9期
        關鍵詞:情境數學學生

        200231 上海市上海中學 劉 琴 劉 姍

        學科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現,是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀、必備品格和關鍵能力.《普通高中數學課程標準》指出,數學核心素養(yǎng)包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.

        面對最基礎的數學課堂教學,教師一直在探索如何在課程設計中體現數學核心素養(yǎng),讓學生通過課程的學習學會在情境中抽象出數學概念,學會利用現代科技模擬數學問題,提升對數學問題的理解,積累依托數據探索事物本質、關聯和規(guī)律的活動經驗,形成規(guī)范化思考問題的品質,養(yǎng)成嚴謹求實的科學精神.

        筆者以一節(jié)超幾何分布課的課程設計為例,探討數學核心素養(yǎng)在課堂中的體現.

        一、 情境問題

        用熟悉的情境引入超幾何分布這個學生相識卻不相知的分布.

        某商場為了吸引更多顧客,特在“雙11”時舉行抽獎活動,顧客從裝有10只球(4只黃球、6只白球)的箱子里隨機抽取2只球,若都是白球,則不中獎;若有1只黃球,則中二等獎,獎勵購物券100元;若有2只黃球,則中一等獎,獎勵購物券200元.每位顧客只能參與一次抽獎,商場向顧客提供以下兩種選擇.

        1.采用放回抽樣的方式,即每次取球后放回,充分混合后再抽取第二次.

        2.采用不放回抽樣的方式,即每次取球后不放回,從剩余的球中再抽取第二次.

        問題1如果你當天恰好在現場,你會采用哪種抽樣方式?為什么?

        問題2如果你是商場總經理,你希望顧客采用哪種抽樣方式?為什么?

        設計意圖:從實際情境出發(fā),引導學生用數學語言表達實際問題,并以單元的視角提出研究超幾何分布的必要性,激發(fā)學生探索的興趣.

        簡化問題已知箱中有10只球(4只黃球、6只白球),從中隨機抽取2只.

        1.若每次抽取后放回,設抽到黃球的個數為X,求X的分布列.

        X012P(X)0.360.480.16

        E(X)=0·0.36+1·0.48+2·0.16=0.8.

        2.若每次抽取后不放回,設抽到的黃球個數為Y,求Y的分布列.

        Y012P(Y)0.33·0.53·0.13·

        思考1從顧客的角度來看,為什么選擇放回抽樣?為什么選擇不放回抽樣?(從決策論的角度探討)

        引導對比獲得不同獎勵的概率,如獲得獎勵的概率或獲得大獎的概率.

        思考2兩個分布的期望是一樣的,這是巧合還是存在某種內在的聯系?

        引導放回抽樣是學生已經熟悉的二項分布,帶領學生回憶二項分布的條件.

        提問不放回抽樣的分布是不是也有一定的規(guī)律?

        變式1若袋中有10只球(4只黃球、6只白球),從中隨機抽取5次,都不放回,設抽到的黃球個數為Y,求Y的分布列.

        設計意圖:在不放回抽樣的情形下,黃球個數Y的取值會受到取球個數和袋中原有黃球個數的限制,故設計此變式,引導學生討論Y的取值,為進一步抽象概括做準備.引導學生討論如下.

        1.抽到的黃球個數Y可能的取值是多少?(引導學生討論Y的最大可能取值是在原有黃球個數和抽取球個數中取大)

        2.對應不同取值的概率是多少?(引導學生在數字改變的情況下進一步探索超幾何分布的分布列)

        二、 抽象概括

        問題3如果將實際問題中的具體數據變成字母,是否可以抽象出超幾何分布的分布列?

        變式2若袋中有N只球[M只黃球、(N—M)只白球],從中隨機抽取n次,都不放回,設抽到的黃球個數為Y,求Y的分布列.

        設計意圖:從具體的數字到抽象的表達是形成理性思維的過程,利用熟悉的情境進行抽象概括,為更一般情境下的抽象定義奠定基礎.

        問題4如果不以球作為背景,能否進一步抽象出超幾何分布的定義?

        引導討論并提出超幾何分布的定義.

        Y的分布列如表1所示.

        三、 歸納猜想

        問題5我們在情境問題中討論過,顧客會根據自己對獲得獎勵與否或獎勵金額的偏好進行選擇,但從商場經理的角度而言,兩種選擇所需發(fā)放的購物券金額是一樣的,這一結論由兩種分布的期望所支持.如果有放回地抽樣,X表示抽到的黃球個數,則X服從二項分布B(n,p),期望是E(X)=np.如果不放回地抽樣,Y表示抽到的黃球個數,則Y服從超幾何分布,超幾何分布的期望是什么?

        設計意圖:鼓勵學生大膽猜想,試圖找到超幾何分布與二項分布的期望的相關性.

        四、 模擬實驗

        問題6為了驗證我們的猜想是否可行,在試圖證明之前,我們還可以用什么樣的方式進行探究?

        表1

        圖1 圖形計算器生成隨機數模擬抽樣

        圖2 R語言程序生成隨機數模擬抽樣

        五、 推理證明

        問題7經過模擬探究后,應該進行嚴格的推理證明.

        設計意圖:對猜想的嚴格證明可通過組合數的展開進行,但計算比較繁瑣,若利用組合數的性質,一方面可以使證明過程更加簡潔,另一方面可以加深學生對組合數性質的理解.

        第一步:探究引理1

        概率的思想理解如圖3所示.

        提問此時括號中的和是多少?

        思考如表1,分布列中所有概率的和是多少?

        思考證明過程中,括號中的和是多少?

        通過如圖4所示的過程,學生能夠快速了解要求的和等價于從(N-1)個元素中取出(n-1)個第一類元素的所有情況,故可以得到:

        圖3 圖4

        利用組合數的定義,學生能夠快速完成余下的證明,過程如下:

        六、 總結歸納

        (一)超幾何分布與二項分布的關系

        超幾何分布與二項分布的關系如圖5-1所示.

        1.當N足夠大時,放回和不放回對概率的影響很小,超幾何分布逼近二項分布.

        圖5-1 二項分布與超幾何分布的知識點總結

        圖5-2 隨著N的不同,超幾何分布與二項分布的取值比較

        (二)探索方法總結

        本節(jié)課的探索方法為“觀察—猜想—模擬—大數據模擬—嚴格證明”,這一探索方法(過程)非常重要.

        七、 結語

        本節(jié)課是一節(jié)“雙新”展示公開課,可以在“研直播”觀看(研直播—教研活動—數學學科教學展示課及專家點評),本節(jié)課的設計突出以下方面.

        首先,從單元的角度來看,從實際情境出發(fā),結合二項分布提出超幾何分布的概念及其均值的探索與研究,培養(yǎng)學生從情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系的能力.其次,本節(jié)課大膽利用統(tǒng)計與概率的密切聯系,從統(tǒng)計的角度鼓勵學生進行超幾何分布的研究,并利用統(tǒng)計的思想“一兩撥千金”地完成規(guī)范化的證明,學生形成規(guī)范化思考問題的品質,養(yǎng)成嚴謹求實的科學精神.從教學過程來看,本節(jié)課非常注重數字化學習的引導,利用圖形計算器、R語言等工具模擬隨機過程,幫助學生探索;注重統(tǒng)計課程的完整性,引導學生完整地經歷了觀察、猜想、模擬、證明的過程.

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