槐創(chuàng)鋒，金志裕

（華東交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，江西 南昌 330013）

在人工智能、智能制造的時(shí)代，自主移動(dòng)機(jī)器人帶來(lái)了一場(chǎng)新的技術(shù)創(chuàng)新風(fēng)暴[1-3]。 根據(jù)運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)不同的類型，自主移動(dòng)機(jī)器人可以被設(shè)計(jì)為輪式移動(dòng)機(jī)器人、足式移動(dòng)機(jī)器人或者輪足混合式移動(dòng)機(jī)器人，其中輪式移動(dòng)機(jī)器人發(fā)展最為廣泛，也是相當(dāng)流行的研究熱點(diǎn)[4-7]。 AGV（automated guided vehicle）是輪式移動(dòng)機(jī)器人的一個(gè)典型代表，在其基礎(chǔ)上的創(chuàng)新應(yīng)用得到了廣泛的考慮。

隨著科技的進(jìn)步，移動(dòng)機(jī)器人的自主性、機(jī)動(dòng)性研究吸引了越來(lái)越多的關(guān)注，其中移動(dòng)機(jī)器人的機(jī)動(dòng)性是移動(dòng)機(jī)器人自主移動(dòng)的基礎(chǔ)[8-14]。輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)模式可分為差速輪型、單舵輪型、雙舵輪型、全向輪型。 差速輪型移動(dòng)機(jī)器人靈活性較高，可以原地旋轉(zhuǎn)，但是不能橫向側(cè)移，不適合重載[15]；單舵輪型移動(dòng)機(jī)器人靈活性不高， 雙舵輪型相對(duì)于單舵輪型靈活性有提高，但兩套舵輪提高了成本[16-18]；全向輪型移動(dòng)機(jī)器人靈活性最高，可以實(shí)現(xiàn)任意方向的移動(dòng)以及原地旋轉(zhuǎn)， 成本相對(duì)雙舵輪型低，重載能力強(qiáng)。 麥克納姆輪是一種特殊結(jié)構(gòu)的全向輪[19-21]，特點(diǎn)是在輪周邊上有許多成一定角度斜向安裝的輥?zhàn)樱@些成角度的輥?zhàn)幽苁馆喿有D(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生一個(gè)橫向運(yùn)動(dòng)的效果，四輪麥克納姆輪移動(dòng)平臺(tái)依靠各自輪子的旋轉(zhuǎn)方向和轉(zhuǎn)速，最終可以合成任何方向上的運(yùn)動(dòng)速度和旋轉(zhuǎn)從而保證移動(dòng)平臺(tái)能自由地運(yùn)動(dòng)。 自主打磨機(jī)器人移動(dòng)平臺(tái)的選擇很重要，直接影響打磨機(jī)器人的機(jī)動(dòng)性，機(jī)動(dòng)性是打磨機(jī)器人實(shí)現(xiàn)自主移動(dòng)、擴(kuò)大工作范圍的基礎(chǔ)[22-25]。 考慮到麥克納姆輪的眾多優(yōu)點(diǎn)，自主打磨機(jī)器人移動(dòng)平臺(tái)采用四輪的麥克納姆輪平臺(tái)， 為了給移動(dòng)平臺(tái)的控制打下良好基礎(chǔ)， 對(duì)麥克納姆輪平臺(tái)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。 移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析主要有正運(yùn)動(dòng)學(xué)和逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題兩類。 由已知移動(dòng)平臺(tái)各輪的轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)速，計(jì)算移動(dòng)平臺(tái)相對(duì)世界坐標(biāo)系的速度，即為正運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。要使移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)到期望的位置，就需要計(jì)算出各輪的轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)速，即為逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題。通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真技術(shù)可以仿真模擬移動(dòng)平臺(tái)的真實(shí)效果，經(jīng)過(guò)實(shí)際調(diào)試可以達(dá)到理想效果。

通過(guò)對(duì)單個(gè)麥克納姆輪進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，接著對(duì)四輪麥克納姆輪平臺(tái)進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，運(yùn)用Simulink 對(duì)移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行逆運(yùn)動(dòng)學(xué)建模，結(jié)合Vrep軟件對(duì)移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真驗(yàn)證，將仿真的結(jié)果以圖形的形式表示出來(lái)，可以直觀地顯示移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)情況，為打磨機(jī)器人自主移動(dòng)研究提供理論支撐。

1 單個(gè)麥克納姆輪正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

麥輪是麥克納姆輪的簡(jiǎn)稱，麥輪正運(yùn)動(dòng)學(xué)是指通過(guò)4 個(gè)輪子設(shè)定的相應(yīng)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向以獲得移動(dòng)平臺(tái)中心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)（速度和角速度）。 麥輪根據(jù)輥?zhàn)影惭b角度方向不同分為A 麥輪和B 麥輪， 如圖1 表示A麥輪與地面接觸的輥?zhàn)?，圖2 表示B 麥輪與地面接觸的輥?zhàn)?，分別對(duì)A 麥輪和B 麥輪進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

圖1 A 麥輪運(yùn)動(dòng)學(xué)分析Fig.1 Kinematic analysis of type A Mcnamu wheel

圖1 是A 麥輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析圖，圖中輥?zhàn)影惭b角度為θ，A 麥輪繞自身轉(zhuǎn)軸XOi以ωOi的角速度逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（右手定則，大拇指指向，四指彎曲指向的方向），圖1（a）中紅點(diǎn)為與地面接觸的輥?zhàn)由系慕佑|點(diǎn)，藍(lán)色的速度v′i表示在A 麥輪繞自身轉(zhuǎn)軸XOi轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)接觸點(diǎn)對(duì)應(yīng)的線速度， 方向平行于紙面向上。 假設(shè)理想接觸麥輪以地面接觸不發(fā)生滑動(dòng)，A麥輪受到地面施加的總摩擦力f，將f 分解為平行于輥?zhàn)虞S線方向的f‖,和垂直于輥?zhàn)虞S線的f⊥，由于輥?zhàn)訉儆趶膭?dòng)輪，在f⊥的作用下，會(huì)使輥?zhàn)痈淖冞\(yùn)動(dòng)狀態(tài)并使其順著f⊥的方向轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，從而在接觸點(diǎn)會(huì)有相對(duì)的線速度vg′。 根據(jù)滾輪在地面上滾動(dòng)時(shí)，軸心的速度等于邊緣接觸點(diǎn)的線速度，方向與邊緣接觸點(diǎn)的線速度方向相反。 圖1（b）中v″i表示A 麥輪在地面上滾動(dòng)時(shí)軸心Oi相對(duì)的速度，vig表示輥?zhàn)釉诘孛嫔蠞L動(dòng)時(shí)軸心Oi相對(duì)的速度，正交分解可以看出速度vig抵消了一部分的速度v″i， 也可以理解為速度v″i和速度vig合成的軸心Oi的總速度vOi，即A 麥輪的實(shí)際真實(shí)速度，大小為

方向沿著輥?zhàn)虞S線方向（平行紙面右斜向下）。同理對(duì)B 麥輪進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，如圖2 所示。

圖2 B 麥輪運(yùn)動(dòng)學(xué)分析Fig.2 Kinematic analysis of type B Mcnamu wheel

A 麥輪和B 麥輪分別以順時(shí)針和逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，麥輪軸心Oi的速度vOi有所不同，如圖3 所示。 垂直紙面方向從上往下看，虛線矩形表示下方與地面接觸的輥?zhàn)?，?shí)線矩形表示上方可看見的輥?zhàn)印?/p>

圖3 A 麥輪和B 麥輪速度分析Fig.3 Speed analysis of Mcnamu wheel A and Mcnamu wheel B

圖3（a）顯示A 麥輪順時(shí)針和逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)速度分析圖，圖3（b）顯示B 麥輪順時(shí)針和逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)速度分析圖，可以看到A，B 麥輪軸心Oi的速度vOi都是斜向的速度。 A 麥輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)可分解出一個(gè)向前的運(yùn)動(dòng)和一個(gè)向左的運(yùn)動(dòng)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)可分解出一個(gè)向后的運(yùn)動(dòng)和一個(gè)向右的運(yùn)動(dòng)；B 麥輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)可分解出一個(gè)向前的運(yùn)動(dòng)和一個(gè)向右的運(yùn)動(dòng)，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)可分解出一個(gè)向后的運(yùn)動(dòng)和一個(gè)向左的運(yùn)動(dòng)。 正是因?yàn)辂溳喌倪@種特性，與傳統(tǒng)輪子相比麥輪可以解決側(cè)向運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題， 經(jīng)過(guò)組合不同的麥輪以實(shí)現(xiàn)全向運(yùn)動(dòng)、原地旋轉(zhuǎn)。

2 四麥輪逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

麥輪逆運(yùn)動(dòng)學(xué)是指已知移動(dòng)平臺(tái)中心速度和角速度，求解4 個(gè)麥輪對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速。 上一節(jié)已經(jīng)對(duì)單個(gè)麥輪進(jìn)行了正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，了解了麥輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)軸心速度的大小和方向。 接下來(lái)將對(duì)麥輪移動(dòng)平臺(tái)做逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析。

四輪麥輪組合有很多種，但不是所有組合都滿足實(shí)際需求。 自主打磨機(jī)器人采取B-A-B-A 麥輪組合的移動(dòng)平臺(tái)，如圖4 所示，圖4（a）是移動(dòng)平臺(tái)向前運(yùn)動(dòng)時(shí)，4 個(gè)麥輪對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。 對(duì)麥輪進(jìn)行編號(hào)，以左前B 麥輪為1，逆時(shí)針計(jì)數(shù)，對(duì)應(yīng)左后A 麥輪為2，右后B 麥輪為3，右前A 麥輪為4。圖4（b）中O 表示移動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系XO－O－YO，Oi表示對(duì)應(yīng)麥輪的中心點(diǎn)，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系如圖中所示。

圖4 移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)分析Fig.4 Motion analysis of mobile platform

vO表 示 移 動(dòng) 平 臺(tái) 中 心 的 速 度，vO（i）表 示 移 動(dòng) 平臺(tái)中心速度在i 麥輪坐標(biāo)系中的速度，ωO表示移動(dòng)平臺(tái)繞中心軸ZO旋轉(zhuǎn)的角速度。Ri表示i 麥輪軸心到移動(dòng)平臺(tái)的中心點(diǎn)的距離，α 表示移動(dòng)平臺(tái)中心速度與YO軸的夾角，得到移動(dòng)平臺(tái)中心的速度vO（i）與麥輪軸心的速度vOi之間的關(guān)系式

其中

由以上式得式（6）

根據(jù)式（6），按圖4（b）紅色坐標(biāo)系建立移動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系和各麥輪坐標(biāo)系，且θ=45°，得到各麥輪轉(zhuǎn)速與移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的關(guān)系，如以下式

設(shè)世界坐標(biāo)系為XS-S-YS，如圖4（c）所示,為了降低分析難度， 世界坐標(biāo)原點(diǎn)與麥輪平臺(tái)中心重合， 麥輪平臺(tái)中心速度在世界坐標(biāo)系XS軸上的投影為vXS， 麥輪平臺(tái)中心速度在世界坐標(biāo)系YS軸上的投影為vYS， 麥輪坐標(biāo)系的XO軸與世界坐標(biāo)系的XS軸的夾角為δ。 則可得到如下式

由式（9）得

由式（8）～式（10）得式（11）

由式（11）可知

為了便于控制，麥輪平臺(tái)平移運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)分開作用，不同時(shí)進(jìn)行，即有速度時(shí)，ωO=0；有角速度時(shí)，vXS=vYS=0。

3 建立移動(dòng)平臺(tái)仿真模型

3.1 Vrep 軟件介紹

Vrep 軟件全稱為Virtual robot experimentation platform，中文名叫虛擬機(jī)器人實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，現(xiàn)在已經(jīng)更名為CoppeliaSim。 根據(jù)軟件名稱可以知道Vrep是一個(gè)針對(duì)機(jī)器人的仿真模擬器，它集成了許多的開發(fā)環(huán)境并且是跨平臺(tái)的， 提供了多種控制接口，包含了各類現(xiàn)有的機(jī)器人模型 （移動(dòng)式和非移動(dòng)式）、室內(nèi)墻壁模型、家具模型、人物模型等，如果Vrep 中沒有合適的模型，也可以快速方便地搭建自己的模型，模型屬性的腳本可以運(yùn)用多種編程語(yǔ)言進(jìn)行編程。 Vrep 軟件具有強(qiáng)大的兼容性，在Windows 系統(tǒng)、Linux 系統(tǒng)、Mac 系統(tǒng)都可以運(yùn)行，擁有多個(gè)物理引擎，多方面滿足仿真的需求。 Vrep 相比較于其他仿真軟件，界面更友好，大大提高了仿真的效率。

3.2 麥輪平臺(tái)仿真模型搭建

麥輪平臺(tái)是打磨機(jī)器人機(jī)動(dòng)性的保證， 仿真麥輪平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特性是十分重要的。 Vrep 在移動(dòng)型機(jī)器人模型中提供了一款KUKA YouBot 麥輪平臺(tái)機(jī)器人模型，因?yàn)橹谎芯葵溳喴苿?dòng)平臺(tái)的特性，去除YouBot 機(jī)器人機(jī)械臂部分。 在YouBot 外觀基礎(chǔ)上，搭建自己的麥輪平臺(tái)。 麥輪的搭建由兩個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)組成， 一個(gè)關(guān)節(jié)是提供麥輪旋轉(zhuǎn)，設(shè)置為主動(dòng)輪；另一關(guān)節(jié)是輥?zhàn)有D(zhuǎn)關(guān)節(jié)，設(shè)置為從動(dòng)輪。 輥?zhàn)有D(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸相對(duì)于麥輪旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)軸成45°。

4 個(gè)麥輪模型建立好后，需要為模型添加腳本，實(shí)現(xiàn)模型的驅(qū)動(dòng)和運(yùn)行。 根據(jù)式（7）編寫麥輪移動(dòng)盤平臺(tái)的腳本，完成腳本代碼編寫。

4 麥輪運(yùn)動(dòng)特性仿真結(jié)果

在麥輪正、 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真中分別添加了一個(gè)GUI 控制界面，如圖5 所示，方便改變各麥輪的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，觀看仿真結(jié)果。 圖5（a）是麥輪正運(yùn)動(dòng)學(xué)GUI 控制界面，圖5（b）是麥輪逆運(yùn)動(dòng)學(xué)GUI 控制界面。

圖5 麥輪正、逆運(yùn)動(dòng)學(xué)GUI 控制界面Fig.5 GUI control interface of Mcnamu wheel forward and inverse kinematics

4.1 麥輪逆運(yùn)動(dòng)學(xué)特性仿真結(jié)果

在Simulink 中搭建麥輪平臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，計(jì)算不同速度下對(duì)應(yīng)的各麥輪轉(zhuǎn)速。假設(shè)模型參數(shù)L=0.6 m，K=0.6 m，r=0.6 m， 對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行模擬，實(shí)驗(yàn)移動(dòng)平臺(tái)在多種情況下運(yùn)動(dòng)，包括沿軸正、負(fù)方向移動(dòng)，Y 軸正、 負(fù)方向移動(dòng)，±45°斜移，±135°斜移， 原地逆時(shí)針和順時(shí)針旋共10 種常見運(yùn)動(dòng)案例。

根據(jù)麥輪平臺(tái)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)Simulink 模型計(jì)算每種情況下各麥輪角速度，表1 顯示了移動(dòng)平臺(tái)不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下各麥輪對(duì)應(yīng)的角速度。

表1 通過(guò)求解逆運(yùn)動(dòng)學(xué)而得到的車輪角速度Tab.1 Wheel angular velocity obtained by solving inverse kinematics

4.2 麥輪正運(yùn)動(dòng)學(xué)驗(yàn)證結(jié)果

將4.1 中計(jì)算的各麥輪轉(zhuǎn)速輸入Vrep 中搭建的仿真模型中，GUI 控制界面中的值都取整數(shù)，若取小數(shù)需要除以對(duì)應(yīng)數(shù)量級(jí)。 由于以上轉(zhuǎn)速有一位小數(shù)， 所以在仿真模型腳本中添加對(duì)應(yīng)取值除以10，得到仿真結(jié)果如圖6 所示，從圖6 中可以看到麥輪平臺(tái)在各麥輪對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速下實(shí)現(xiàn)了預(yù)期的運(yùn)動(dòng)，且可以實(shí)現(xiàn)傳統(tǒng)車輪做不到的橫向移動(dòng)、斜向移動(dòng)和原地旋轉(zhuǎn)。

圖6 仿真驗(yàn)證結(jié)果Fig.6 Simulation verification results

4.3 麥輪平臺(tái)軌跡運(yùn)動(dòng)驗(yàn)證結(jié)果

為了檢驗(yàn)麥輪移動(dòng)平臺(tái)的全向運(yùn)動(dòng)性， 基于ROS 系統(tǒng)對(duì)麥輪移動(dòng)平臺(tái)做軌跡運(yùn)動(dòng)的仿真驗(yàn)證，并截取了一百秒數(shù)據(jù)，如圖7，從圖中可以看到麥輪移動(dòng)平臺(tái)在沿著給定軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，移動(dòng)平臺(tái)中心繞Z 軸的角速度值在零附近有一個(gè)極小的波動(dòng)， 由于數(shù)量級(jí)在千分之一，所以可以忽略不計(jì)，說(shuō)明移動(dòng)平臺(tái)的方位角基本保持不變，證明了麥輪移動(dòng)平臺(tái)可以實(shí)現(xiàn)移動(dòng)平面內(nèi)全向任意移動(dòng)。

圖7 軌跡運(yùn)動(dòng)仿真結(jié)果Fig.7 Trajectory motion simulation results

5 結(jié)論

1） 通過(guò)對(duì)麥輪平臺(tái)進(jìn)行正、 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，了解了麥輪的結(jié)構(gòu)、麥輪的運(yùn)動(dòng)方式、麥輪安裝組合等，推導(dǎo)出了移動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)學(xué)的正、逆解公式。

2） 利用Simulink 建立逆運(yùn)動(dòng)學(xué)模型計(jì)算出各輪的轉(zhuǎn)向和轉(zhuǎn)速， 在Vrep 中進(jìn)行仿真驗(yàn)證和軌跡運(yùn)動(dòng)仿真驗(yàn)證，結(jié)果驗(yàn)證了麥輪平臺(tái)的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的正確性和麥輪移動(dòng)平臺(tái)優(yōu)秀的全向移動(dòng)性能。

3） 為控制移動(dòng)平臺(tái)提供理論基礎(chǔ)，為打磨機(jī)器人后期的路徑規(guī)劃打下良好基礎(chǔ)。