王琪， 竇霽虹

1.陜西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 陜西 咸陽 712000； 2.西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院， 西安 710127

經(jīng)典的傳染病倉室模型通常根據(jù)疾病痊愈后是否具有免疫階段(即康復(fù)類倉室)分為不同研究方向[1-2]， 而文獻[3]針對部分疫苗接種者具有暫時性免疫的實際情形， 在傳統(tǒng)無免疫階段的SIS模型基礎(chǔ)上加入了暫時性免疫倉室V， 并引發(fā)大量研究[4-7]． 通過分析發(fā)現(xiàn)在疫苗接種不完全有效時， 模型在一定條件下發(fā)生后向分支． 以乙型肝炎病毒為例， 首先其具有垂直傳染的特點； 其次， 可接種疫苗進行防治， 但5%～10%的人群會存在疫苗無應(yīng)答現(xiàn)象， 即接種無效[8-9]； 同時疫苗在不同人群體內(nèi)的存活時間不同[10]， 除新生兒外的其他易感者均可在不同階段接種疫苗．

基于乙肝病毒的以上特點建立動力學(xué)模型， 并且考慮加入由文獻[11]定義的一個與病床數(shù)有關(guān)的飽和治療函數(shù)

其中：μ0，μ1分別是最小和最大恢復(fù)率． 通過研究分析系統(tǒng)發(fā)生鞍結(jié)點分支、 后向分支和Bogdanov-Takens分支的情況， 以此推斷包含病床數(shù)在內(nèi)的有限醫(yī)療資源對傳染病控制的影響． 此后， 也有很多學(xué)者引用該治療函數(shù)進行研究[12-15]， 以便更細致有效地研究與醫(yī)療資源有關(guān)的因素對傳染病防治的影響．

本文基于乙肝傳播特點建立一類考慮垂直傳染、 疫苗接種以及人均病床數(shù)量的SIVS模型， 同時對易感者以及易感者和接種者的新生兒預(yù)防接種． 通過對模型進行理論研究和數(shù)值分析， 總結(jié)出控制乙型肝炎疾病流的有效措施， 也可進一步為進行疫苗接種的傳染病防治提供了更豐富的理論基礎(chǔ)．

1 模型建立

本模型將某一地區(qū)的人口共分為3個倉室： 易感者、 染病者以及接種者． 假設(shè)此地區(qū)不發(fā)生人口遷移和因病死亡， 即環(huán)境總?cè)丝诤愣ǎ?則可直接假設(shè)S(t)，I(t)，V(t)分別表示在t時刻環(huán)境中易感者、 染病者和接種者的人口密度． 假設(shè)疾病的發(fā)生采用雙線性發(fā)生率． 由于不同階段人群染病概率不同， 則設(shè)m為易感者和接種者的新生兒疫苗接種比例；m′表示易感者的接種比例； 接種者與染病者接觸仍有一定染病概率， 這取決于疫苗的接種效率σ，σ∈(0， 1)，σ取0代表疫苗完全有效， 取1 代表疫苗完全失效；q表示疾病的垂直傳染率；β表示染病者對易感者和接種者的感染率；b，d分別表示人口的出生率和自然死亡率， 假設(shè)人口的出生率與自然死亡率相等， 即b=d；μ為(1)式表示的治療函數(shù)；δ為人均病床數(shù)量， 可以衡量包括病床數(shù)在內(nèi)的醫(yī)療資源情況；θ表示接種失效的比例． 該模型的傳播流程圖如下：

圖1 SIVS傳染病模型流程圖

根據(jù)傳播流程圖， 建立如下模型：

(1)

由于S=1-I-V， 將模型進行化簡降維后， 模型(1)可化為：

(2)

要使模型具有實際的生物學(xué)意義， 則在區(qū)域：

內(nèi)考慮模型(2)的動力學(xué)性質(zhì)．

2 主要結(jié)果

2.1 基本再生數(shù)

本節(jié)將采用第二代生成矩陣法計算疾病的基本再生數(shù)R0． 那么

通過F，V在無病平衡點E0處的Jacobi矩陣得到基本再生數(shù)表達式：

(3)

注此處R0>0恒成立． 由于模型中參數(shù)均在(0， 1)范圍內(nèi)， 則有b>(1-σ)mb．

2.2 平衡點存在性

H(I)=β2σI3+h1I2+h2I+h3=0

(4)

其中：

由于三次方程的根較為復(fù)雜， 將利用幾何學(xué)的方法對其進行證明．

2) 當(dāng)R0=1時， 若V′1(0)

3) 當(dāng)R0<1時， 若V′1(0)

證令模型(2)的右端函數(shù)為0， 則有

V1(I)=V2(I)

其中

下面利用V1(I)和V2(I)的增減性及凹凸性進行分析．

由上述判斷可知，V1(I)是在[0， 1]上單調(diào)遞減的凹函數(shù)，V2(I)是[0， 1]上的凸函數(shù)． 又由于

則V1(0)>V2(0)等價于R0<1；V1(0)=V2(0)等價于R0=1；V1(0)1．

下面針對R0的3種情形(圖2)分別進行討論：

情形1 若R0>1， 有V1(0)

圖2 V1(I)和V2(I)的函數(shù)關(guān)系圖

情形2 若R0=1， 有V1(0)=V2(0)且V1(1)=0，V2(1)<0成立， 則當(dāng)V′1(0)

成立時，V1(I)與V2(I)在[0， 1]內(nèi)有且僅有一個交點， 否則將無交點(如圖2b)．

情形3 若R0<1， 有V1(0)>V2(0)且V1(1)=0，V2(1)<0成立：

1) 當(dāng)V′1(0)

2) 當(dāng)存在一點I*使得V1(I*)=V2(I*)且V′1(I*)=V′2(I*)時， 兩交點重合為一個交點(如圖2d)．

2.3 平衡點穩(wěn)定性

定理2(無病平衡點局部穩(wěn)定性) 當(dāng)R0<1時， 模型(2)的無病平衡點E0在D內(nèi)局部漸近穩(wěn)定； 當(dāng)R0>1時，E0不穩(wěn)定； 當(dāng)R0=1時，E0為鞍結(jié)點， 其中當(dāng)C>0時，E0為右鞍左結(jié)點； 當(dāng)C<0時，E0為左鞍右結(jié)點．

證模型(2)的Jacobi矩陣為：

若R0-1<0， 即R0<1時，J(E0)有兩個負特征根， 此時模型(2)在E0處局部漸近穩(wěn)定； 若R0-1>0， 即R0>1時，J(E0)的兩個特征根為異號實根， 此時E0為鞍點， 不穩(wěn)定． 若R0-1=0，J(E0)具有一個零實部和一個負實部特征根， 屬于臨界情形下的奇點分析． 下面利用Liapunov-Schmidt更替法進行討論．

則將模型化為

(5)

2) 利用二元函數(shù)麥克勞林展式將右端函數(shù)展開， 得到如下系統(tǒng)：

(6)

其中：

ψ(I′，V′)=-βσI′V′

3) 判斷臨界情形下的奇點穩(wěn)定性．

令系統(tǒng)(6)的第二式右端函數(shù)為0． 當(dāng)|x|?1時， 可利用待定系數(shù)法求解得到V′關(guān)于I′的函數(shù)． 令V′(I′)=a1I′+a2I′2+O(I′3)， 則

可得

則V′關(guān)于I′的函數(shù)關(guān)系為：

將V′(I′)代入系統(tǒng)(6)第一式中， 得到降維后的系統(tǒng)：

其分支余維為1， 它的一個普適開折拓撲等價于：

通過分析其軌線拓撲分類， 可得在R0=1時， 無病平衡點E0為鞍結(jié)點．

現(xiàn)可分析得到以下結(jié)論， 令

則當(dāng)C>0時，E0為右鞍左結(jié)點； 當(dāng)C<0時，E0為左鞍右結(jié)點．

2) 若R0<1， 當(dāng)滿足定理2條件3時模型中存在兩個地方病平衡點， 其中平衡點E1=(I1，V1)為鞍點始終不穩(wěn)定， 平衡點E2=(I2，V2)是非鞍點．

對于所有非鞍點， 在條件D>0成立時均是局部漸近穩(wěn)定的．

其對應(yīng)的特征方程為：

其中

同時， 令D=δ[βδ(σ+1)+μ0-μ1+2(m′+θ+b)]．

2.4 后向分支

定理4在R0=1時， 當(dāng)條件β>βc成立， 或β<βc且δ<δc成立時， 模型(2)將會產(chǎn)生后向分支．

設(shè)系統(tǒng)(6)線性部分構(gòu)成的矩陣Y在零特征根處所具有的非負左、 右特征向量分別為υ，ω． 其中

求得左右特征向量分別為：

其余分量二階導(dǎo)結(jié)果均為0． 則

在R0=1時， 若A>0，B>0， 系統(tǒng)會產(chǎn)生后向分支． 由于此時B>0成立， 只需

則有

β(1-σ)(mb+m′)δ(m′+θ+b)+β2σ(1-σ)δ(mb+m′)-

βδ(m′+θ+b)2>(μ0-μ1)(m′+θ+b)2

(7)

從式(7)可以看出， 若滿足條件：

(1-σ)δ(m′+θ+b)+βσ(1-σ)δ(mb+m′)>δ(m′+θ+b)2

即令

則當(dāng)條件β>βc時， 系統(tǒng)可以產(chǎn)生后向分支．

而當(dāng)β<βc時， 則只需滿足條件：

即當(dāng)滿足條件

綜上所述， 當(dāng)β>βc或β<βc時， 令δ<δc時， 模型(2)會產(chǎn)生后向分支．

值得注意的是， 定理2中的C>0等價于：

則在R0=1， 即無病平衡點為右鞍左結(jié)點時， 系統(tǒng)(2)會產(chǎn)生后向分支．

3 數(shù)值模擬

1) 固定參數(shù)μ0=0.08，μ1=0.8，δ=0.1分析了飽和治療函數(shù)的圖像(圖3)． 圖3表明， 對于任意的δ>0， 飽和治療函數(shù)總介于μ0與μ1之間， 并且當(dāng)I=δ時治療率達到中等水平， 說明包含醫(yī)院人均病床數(shù)在內(nèi)的醫(yī)療資源數(shù)量與治療效果密切相關(guān)， 與此同時， 治療函數(shù)μ隨染病者密度I的增大而呈減小的趨勢并最終趨于最小恢復(fù)率， 從另一層面也表明了有限的醫(yī)療資源會限制疾病的治療．

圖3 飽和治療函數(shù)μ(δ， I)圖像

2) 固定參數(shù)μ0=0.1，μ1=0.6，θ=0.1，m′=0.4，m=0.6，σ=0.2，b=0.06，q=0.06， 且令人均病床數(shù)δ=0.1不變， 繪制出在β取不同值時系統(tǒng)(2)在相平面(V，I)內(nèi)的軌跡圖(圖4)． 圖4表明平衡點的個數(shù)及類型會隨β發(fā)生變化． 圖4(a)取參數(shù)β=0.7， 系統(tǒng)存在唯一的無病平衡點E0且穩(wěn)定； 圖4(b)取參數(shù)β=1， 系統(tǒng)存在兩個正平衡點以及一個穩(wěn)定的無病平衡點， 其中E1為鞍點，E2為穩(wěn)定的結(jié)點； 圖4(c)取參數(shù)β=2.3， 系統(tǒng)存在一個不穩(wěn)定的無病平衡點和一個穩(wěn)定的結(jié)點．

圖4 模型在相平面(V， I)內(nèi)軌跡圖(固定δ=0.1不變)

固定參數(shù)μ0=0.1，μ1=0.6，θ=0.1，m′=0.4，m=0.6，σ=0.2，b=0.06，q=0.06， 令有效接觸率β=0.5不變， 繪制出在δ取不同值時系統(tǒng)(2)在相平面(V，I)內(nèi)的軌跡圖(圖5)． 圖5表明平衡點的個數(shù)及類型會隨δ發(fā)生變化． 圖5(a)取參數(shù)δ=0.1， 系統(tǒng)存在唯一的無病平衡點E0且穩(wěn)定； 圖5(b)取參數(shù)δ=0.001， 系統(tǒng)存在兩個正平衡點以及一個穩(wěn)定的無病平衡點， 其中E1為鞍點，E2為穩(wěn)定的結(jié)點．

圖5 模型在相平面(V， I)內(nèi)軌跡圖(固定β=0.5不變)

3) 固定參數(shù)σ=0.6，m′=0.4，θ=0.7，m=0.6，b=0.2，q=0.2，μ0=0.1，μ1=0.6． 圖6(a)中假設(shè)β=1.3，δ=0.3， 此時模型產(chǎn)生后向分支， 在R0<1時既存在局部穩(wěn)定的無病平衡點， 還存在兩個地方病平衡點， 其中不穩(wěn)定的鞍點會隨R0的增加最終消失， 穩(wěn)定的平衡點會逐漸趨于一個穩(wěn)定水平． 圖6(b)中假設(shè)β=0.5，δ=0.5， 此時模型發(fā)生前向分支， 即R0<1時只存在一個穩(wěn)定的無病平衡點， 而R0>1時模型存在唯一一個穩(wěn)定的地方病平衡點． 研究后向分支的目的就是為避免選取使模型產(chǎn)生后向分支的參數(shù)， 以使疾病可以在R0<1時走向消亡．

圖6 模型后向分支和前向分支圖

4 理論結(jié)果比較

4.1 基本再生數(shù)

根據(jù)本文得到的基本再生數(shù)式(3)， 相較于文獻[14]得到的基本再生數(shù)：

(8)

對于基本再生數(shù)式(3)：

1) 當(dāng)q=0時， 基本再生數(shù)(3)式轉(zhuǎn)化為

當(dāng)m=0時， 基本再生數(shù)式(3)轉(zhuǎn)化為：

4.2 平衡點類型

平衡點的相關(guān)結(jié)論與文獻[14]所得到的結(jié)果基本一致， 均得到了當(dāng)基本再生數(shù)大于1時系統(tǒng)存在一個穩(wěn)定的地方病平衡點和一個不穩(wěn)定的無病平衡點； 當(dāng)基本再生數(shù)小于1時， 除穩(wěn)定的無病平衡點外系統(tǒng)還存在一個或兩個地方病平衡點， 其穩(wěn)定條件類似．

4.3 后向分支條件

相較于文獻[14]所得到的后向分支產(chǎn)生條件：

(9)

依據(jù)本章得到的發(fā)生后向分支的條件：

可以看出， 在加入對易感者和接種者新生兒的預(yù)防接種因素后， 產(chǎn)生后向分支的參數(shù)δ范圍相對擴大， 這對于控制疾病而言， 參數(shù)δ在發(fā)生后向分支的范圍之外選取才有顯著作用．

5 小結(jié)與展望

本文基于乙型肝炎等傳染病， 考慮疫苗接種存在暫時性免疫且有一定接種效率的實際情況， 同時考慮到乙肝病毒可以垂直傳染， 建立了具有暫時性免疫倉室的一類考慮垂直傳染、 接種及醫(yī)院病床數(shù)的SIVS傳染病模型， 通過理論證明和定量模擬， 進一步完善具有暫時性免疫的傳染病研究， 并得到相關(guān)結(jié)論：

1) 當(dāng)疾病的基本再生數(shù)大于1時， 隨時間推移疾病的染病者數(shù)量會逐漸趨于一個穩(wěn)定水平； 當(dāng)疾病的基本再生數(shù)小于1且人均醫(yī)院病床數(shù)大于一定值時， 隨時間推移疾病將逐漸消亡．

2) 當(dāng)疾病接觸率β>βc或人均醫(yī)院病床數(shù)量δ<δc時， 疾病會發(fā)生后向分支， 此時無病平衡點在R0=1時為右鞍左結(jié)點． 這意味著在基本再生數(shù)小于1時， 既存在穩(wěn)定的無病平衡點也存在穩(wěn)定的地方病平衡點， 而控制疾病流行需要調(diào)節(jié)參數(shù)使其處于不發(fā)生后向分支的范圍．

3) 通過理論研究發(fā)現(xiàn)， 加入垂直傳染的傳播特點后， 基本再生數(shù)會相對增大并延長疾病走向消亡的時間； 而加入對易感者和接種者新生兒的預(yù)防接種措施后， 可以有效緩解基本再生數(shù)的增加， 控制疾病的流行， 同時發(fā)生后向分支的參數(shù)δ范圍也會擴大， 控制疾病時應(yīng)使得接觸率和人均病床數(shù)處于不發(fā)生后向分支的范圍內(nèi)．

4) 通過以上理論證明及數(shù)值模擬的結(jié)果， 可作如下解釋： 通過盡量減少易感者、 接種者與染病者的有效接觸， 極大的豐富包括人均病床數(shù)在內(nèi)的醫(yī)療資源， 可以避免發(fā)生后向分支， 從而使疾病走向消無； 同時也可以通過增加對新生兒的預(yù)防接種比例和接種效率控制疾病．

在實際生活中， 曾有報道乙肝患者的子代由于未接種乙肝疫苗導(dǎo)致多年后患病并死亡的實例， 所以還可考慮對未發(fā)生垂直傳播的染病者新生兒進行接種的實際情形， 今后可根據(jù)這一特點繼續(xù)進行研究． 同時， 也可以考慮年齡結(jié)構(gòu)、 心理效應(yīng)及媒體報道等對此類疾病的影響．