趙騰瑞，伍先俊，孫紅靈

（1.中國科學(xué)院噪聲與振動(dòng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（聲學(xué)研究所），北京 100190；2.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

0 引 言

為了使結(jié)構(gòu)在較大深度下滿足一定的耐壓強(qiáng)度，水下工程中常將結(jié)構(gòu)分解成多個(gè)分散結(jié)構(gòu)。大潛深的水下航行器一般采用多艙體結(jié)構(gòu)，作用力激勵(lì)艙體振動(dòng)從而向外輻射聲波。為使航行器有盡可能低的輻射噪聲，需重點(diǎn)考慮艙體之間連接方式的設(shè)計(jì)。球艙作為一種耐壓結(jié)構(gòu)可以作為航行器艙體結(jié)構(gòu)的一種形式，為使球艙在較大深度具有足夠的強(qiáng)度，艙壁較厚，球殼越厚其固有頻率越高，低頻振動(dòng)時(shí)一般只存在剛性模態(tài)，可忽略球殼本身的彈性，將球艙建模為剛性球，所以研究雙剛性球不同連接方式下的輻射聲場具有重要的應(yīng)用價(jià)值。

輻射聲場計(jì)算中的一個(gè)關(guān)鍵問題是多球體的散射，為方便利用每個(gè)剛性球表面的邊界條件，需要將整個(gè)聲場相對(duì)于每個(gè)球體中心展開，基本出發(fā)點(diǎn)是波函數(shù)的加法定理。1954 年，F(xiàn)riedman 和Russek[1]推導(dǎo)了一種任意階球函數(shù)的平移加法公式，能將球函數(shù)平移到另一個(gè)球坐標(biāo)系中表示，隨后Stein 等[2]進(jìn)行了修正；1962 年，Embleton[3]研究了平面波垂直球心連線入射時(shí)兩剛性球之間的相互作用；1973年，Thompson[4]利用球函數(shù)的平移加法理論研究了軸對(duì)稱簡諧振速分布的輻射球源嵌入到一個(gè)較大的流體球內(nèi)，并置于另一種無限大流體域中的聲輻射問題；隨后Thompson[5]又用同樣的方法研究了輻射球源靠近一個(gè)散射球體的聲輻射問題；1995 年，Gaunaurd 等[6]計(jì)算了平面波以任意角度入射被兩個(gè)球散射后的聲場,考慮了軟邊界和硬邊界的情況，并計(jì)算了平面波入射下兩球體系統(tǒng)的形函數(shù)；2003年，吳九匯等[7]利用格林函數(shù)的雙中心球坐標(biāo)展開式得到了一類球函數(shù)加法公式，基于該加法公式研究了兩球體系統(tǒng)在不同邊界條件下的散射聲場；2014 年，張林根等[8]建立了近水面雙圓柱殼的耦合聲散射模型。

以上研究均為多體結(jié)構(gòu)的聲散射問題，也有學(xué)者研究了多體結(jié)構(gòu)的聲輻射問題。2016年，白振國等[9]基于模態(tài)疊加法提出了3個(gè)并排無限長彈性圓柱殼的振動(dòng)聲輻射耦合物理模型，計(jì)算了無限長線激勵(lì)力作用在殼體時(shí)的輻射聲場。隨后他和胡東森等[10]又用該模型研究了3 個(gè)并排無限長彈性圓柱殼對(duì)平面聲波的散射特性。上述研究中子結(jié)構(gòu)之間不存在連接，彼此是相互獨(dú)立的。本文以球艙為例，針對(duì)水下軸向激勵(lì)的雙剛性球振動(dòng)模型，利用球函數(shù)的平移加法理論建立彈性連接兩球艙輻射聲場的解析解，基于該輻射聲場的解析計(jì)算模型分析艙體之間連接方式和質(zhì)量分布對(duì)輻射聲場的影響。

1 理論分析

本章將對(duì)兩個(gè)剛性球軸向振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲場進(jìn)行理論推導(dǎo)，只計(jì)算100 Hz 以下剛性模態(tài)頻段的輻射聲場。整個(gè)輻射聲場的計(jì)算大致可分為兩個(gè)部分：首先是利用球函數(shù)的平移加法理論將各部分聲壓相對(duì)于每個(gè)球體中心展開成待定系數(shù)的形式，利用每個(gè)剛性球表面的邊界條件得到關(guān)于聲壓待定系數(shù)的線性方程組，求解該線性方程組，將聲壓待定系數(shù)用兩球軸向振動(dòng)速度表示；第二部分是建立剛性球的動(dòng)力學(xué)方程求解軸向振動(dòng)的速度，其中關(guān)鍵的一點(diǎn)是求解流體對(duì)剛性球的反作用力，理論推導(dǎo)將從這兩方面展開。

1.1 已知?jiǎng)傂郧蛘袼俚妮椛渎晥?/h3>

如圖1幾何示意圖所示，兩個(gè)剛性球的球心沿z軸排列，半徑分別為ra、rb。球心之間的距離為rab，z軸上兩球最近兩點(diǎn)之間的距離為dab，空間任意一點(diǎn)在兩個(gè)球坐標(biāo)系下的坐標(biāo)分別為(r1,θ1,φ)、(r2,θ2,φ)。兩球之間存在剛性連接或彈性連接，球A 受到沿z軸正方向的簡諧激勵(lì)力作用，兩球沿z軸振動(dòng)并向外輻射聲壓。將整個(gè)輻射聲場分為4部分，分別為球A、球B振動(dòng)的輻射聲壓pA、pB，球A不動(dòng)時(shí)對(duì)球B 輻射聲壓的散射聲壓pASB和球B 不動(dòng)時(shí)對(duì)球A 輻射聲壓的散射聲壓pBSA，具體表達(dá)如式（1）～（2）所示，式中省略了相同的時(shí)間因子ejωt。

式中，an、bn、asbn、bsan為待定系數(shù)，k為波數(shù)，hn(kr)為第二類球漢克爾函數(shù)，Pn( cosθ)為n階勒讓德函數(shù)。以球A為例分析剛性球沿z軸的振動(dòng)，如圖2所示，球A沿z的振動(dòng)速度為va，則整個(gè)球面上的法向振動(dòng)速度可表示為vr=vacosθ1=vaP1( cosθ1)。

利用球函數(shù)平移加法理論將不同坐標(biāo)系下的聲壓表達(dá)式寫到相同坐標(biāo)系下。以球B振動(dòng)輻射的pB(r2,θ2)為例，將其平移到球A所在坐標(biāo)系中，則可用式（3）表達(dá)[4]，其中jv(kr1)表示v階球貝塞爾函數(shù)，p、v和n均表示求和階數(shù)，N為截?cái)嚯A數(shù)，p表示求和階數(shù)，具體形式為p=n+v,n+v- 2,…,|n-v|。

其中，平移系數(shù)a( 0,0|p,v,n)表達(dá)式由式（4）給出。

用m替換v，同時(shí)調(diào)整求和次序，將式（3）寫成更緊湊的式（5）。新的系數(shù)Bam是原待定系數(shù)的線性組合，Ba(m,n)表示矩陣Ba中第m行第n列的元素。

其中，αp= jm+p-n( 2m+ 1)a( 0,0|p,m,n)。同理可得其余聲壓平移之后的表達(dá)式（6）～（8）。

剛性球A、B 表面質(zhì)點(diǎn)滿足法向速度連續(xù)的邊界條件，如式（9）～（10）所示，ρ0為水的密度，c0為水中聲速。式（9）表示疊加后總聲場在剛性球表面滿足質(zhì)點(diǎn)法向速度連續(xù)的邊界條件，式（10）表示剛性散射條件，輻射聲壓與散射聲壓疊加后在散射球表面的質(zhì)點(diǎn)法向振速為0。vma、vmb僅在m= 1 時(shí)不為0，其余階數(shù)均為0。

將聲壓表達(dá)式代入式（9）～（10）化簡可以得到N+ 1個(gè)形如(11)的線性方程組。

定義矩陣：

矩陣Ab(N+1)×(N+1)和Ba(N+1)×(N+1)中的第m行n列元素表達(dá)式如式（14）～（15）所示。

故剛性球表面的邊界條件構(gòu)成的線性方程組可用矩陣形式表示為

其中，系數(shù)矩陣S可表示為

待定系數(shù)向量可表示為

速度向量可表示為

由于剛性球只有整體沿軸向振動(dòng)的速度，故求解方程(16)我們僅需系數(shù)矩陣逆矩陣中的兩列。逆矩陣為S-1,其第2列、第N+1+2列分別為

聲壓的待定系數(shù)an可用兩球振速表示為式（21），同理其它聲壓待定系數(shù)也可用相同形式表示。只要解得剛性球軸向振動(dòng)速度即可確定聲壓待定系數(shù)從而確定整個(gè)聲場。

1.2 水下球體動(dòng)力學(xué)方程

為建立剛性球的動(dòng)力學(xué)方程需要求解流體作用在剛性球上的力，這個(gè)力可由聲壓在剛性球表面的積分得到，以球A受到的反作用力為例，有

積分式（22）中對(duì)角度θ1的積分可表示為式（23），其中x= cosθ1。

計(jì)算積分式（23）需要用到勒讓德函數(shù)的遞推公式[11]：

利用勒讓德函數(shù)的遞推公式求解積分式（23）可得僅當(dāng)m= 1 時(shí)積分不為0，其余階數(shù)均等于0。故流體作用在兩球上的力可用兩球振速表示為

式中，系數(shù)I1、J1、I2、J2表達(dá)式由式（26）給出。

兩剛性球的動(dòng)力學(xué)方程如式（27）所示，其中ξa、ξb表示兩球沿z軸的位移，K為剛度，F(xiàn)為激勵(lì)力。

將流體對(duì)球的作用力代入動(dòng)力學(xué)方程，求解線性方程組（27）可以解得剛性球的振動(dòng)速度，將振速代入式（21）即可解得聲壓的待定系數(shù)an，用相同的方法可以解得其他聲壓的待定系數(shù)，從而確定整個(gè)聲場。

本文以剛性球輻射的平均等效聲源級(jí)作為衡量其聲輻射的標(biāo)準(zhǔn)，平均等效聲源級(jí)的定義由式（28）給出，其中“*”表示復(fù)數(shù)的共軛。等效聲源級(jí)為聲強(qiáng)在半徑為rf的球面上的積分取對(duì)數(shù)，參考聲功率Iref=8.37×10-18W表示的是距離點(diǎn)聲源1m處聲壓幅度為1×10-6Pa的聲功率。

2 算例分析

2.1 理論模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證上述理論推導(dǎo)及建模的正確性，將理論計(jì)算與COMSOL 多物理場耦合計(jì)算軟件的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。所選擇參數(shù)如下：剛性球密度ρA=ρB= 1000 kg/m3，剛性球半徑ra=rb= 1 m，球心之間的距離rab= 2.1 m。兩剛性球之間存在彈簧連接，彈簧剛度K=( 2πfa)2MaMb/(Ma+Mb)，fa= 14 Hz 表示質(zhì)量為Ma、Mb的質(zhì)點(diǎn)與剛度為K的彈簧組成的雙質(zhì)點(diǎn)單彈簧系統(tǒng)在空氣中的共振頻率。球A 受到軸向力的激勵(lì)，激勵(lì)力的大小為F= 1 N。COMSOL 計(jì)算的流體域半徑為15 m，結(jié)構(gòu)有限元的單元最大尺寸為0.5 m，流體域網(wǎng)格最大尺寸為1 m，由于計(jì)算頻率在100 Hz以下，聲波波長大于15 m，滿足一個(gè)波長內(nèi)有6 個(gè)單元的條件。COMSOL 中激勵(lì)力以及兩剛性球之間的彈簧對(duì)兩球的彈力均以點(diǎn)載荷形式施加在兩球上，表示彈力的點(diǎn)載荷由彈簧彈力表達(dá)式給出。在半徑rf= 10 m 的半圓周上選取若干場點(diǎn)，對(duì)比了有限元仿真和理論模型計(jì)算的場點(diǎn)聲壓幅值。圖3（a）給出了頻率為5 Hz各個(gè)場點(diǎn)理論計(jì)算與有限元仿真的聲壓幅度曲線，圖3（b）則給出了單個(gè)場點(diǎn)θ= 0°在各頻率點(diǎn)的聲壓幅度曲線。對(duì)比結(jié)果表明二者具有良好的一致性，說明了理論推導(dǎo)及建模的正確性。

2.2 雙剛性球計(jì)算結(jié)果及分析

限定兩個(gè)剛性球的總體積為40 m3，總密度為ρ=1000kg/m3，彈簧剛度K定義形式如前文所示，式中Ma與Mb相等，后續(xù)仿真時(shí)彈簧剛度保持不變。圖4給出了兩個(gè)剛性球體積和密度參數(shù)不同時(shí)彈性連接和剛性連接的等效聲源級(jí)對(duì)比，體積和密度的具體參數(shù)由表1給出。由圖4（a）～（b）兩圖可以看出，當(dāng)兩剛性球密度相同時(shí)，無論激勵(lì)力作用在體積大的球上還是作用在體積小的球上，除峰值外兩種連接方式的聲源級(jí)基本一致，彈性連接并沒有降低聲輻射。由圖4（c）～（d）兩圖可以看出，當(dāng)兩個(gè)剛性球的密度不同時(shí)，彈性連接時(shí)聲源級(jí)除峰值點(diǎn)外還有一個(gè)谷點(diǎn)，在谷點(diǎn)處聲源級(jí)較剛性連接有明顯降低，本文稱這個(gè)谷點(diǎn)為聲場的抵消點(diǎn)。圖4（c）是激勵(lì)力作用在密度大的球上，此時(shí)聲源級(jí)抵消點(diǎn)頻率高于峰值點(diǎn)頻率，并且在計(jì)算的100 Hz以內(nèi)的頻段，抵消點(diǎn)之后頻率點(diǎn)的聲源級(jí)相比剛性連接均有所降低。與此相反，圖4（d）中激勵(lì)力作用在密度小的球上，此時(shí)聲源級(jí)峰值點(diǎn)頻率高于抵消點(diǎn)頻率，并且峰值頻點(diǎn)之后的聲源級(jí)相比剛性連接均有所升高。顯然圖4（c）中彈性連接的聲源級(jí)曲線更符合降噪的要求，能在較寬的頻率范圍內(nèi)降低聲輻射，此時(shí)兩剛性球密度要有差異并且激勵(lì)力作用在密度大的球上。

表1 圖4中剛性球體積和密度參數(shù)Tab.1 Volume and density parameters of the rigid spheres in Fig.4

圖5（a）～（b）分別表示圖4（c）中兩種連接方式在峰值頻點(diǎn)處yz平面內(nèi)各場點(diǎn)聲壓級(jí)，圖6（a）～（b）分別表示圖4（c）中兩種連接方式在抵消頻點(diǎn)處yz平面內(nèi)各場點(diǎn)聲壓級(jí)。可以看出，在峰值頻點(diǎn)彈性連接的各場點(diǎn)輻射聲壓相比剛性連接明顯增加，在抵消頻點(diǎn)彈性連接的兩剛性球附近場點(diǎn)的聲壓有所增加，10 m之外的各場點(diǎn)聲壓明顯降低。彈性連接的引入不僅改變了輻射聲壓的大小，而且改變了輻射聲壓的指向性。

為進(jìn)一步分析聲源級(jí)峰值點(diǎn)和抵消點(diǎn)產(chǎn)生的原因，比較了剛性連接和彈性連接時(shí)剛性球的振速。圖7給出了表1中取圖4（c）參數(shù)時(shí)彈性連接與剛性連接振速幅度比值隨頻率的變化曲線。表2給出了圖7中兩剛性球在聲源級(jí)峰值點(diǎn)和抵消點(diǎn)處兩剛性球彈性連接和剛性連接時(shí)振速比值。由圖7 和表2 可知，聲源級(jí)的峰值頻率點(diǎn)即為兩剛性球振速共振頻率點(diǎn)，振速幅度顯著增大。抵消頻率點(diǎn)處兩剛性球相比剛性連接的振速幅度比值均大于1，所以聲源級(jí)的抵消點(diǎn)并不是由于剛性球振速減小造成的。

表2 圖7中共振和抵消頻率處振速比值Tab.2 Vibration velocity amplitude ratio at peak and canceled frequencies in Fig.7

圖8給出了兩個(gè)剛性球振速相位隨頻率變化的曲線。由圖8可以看出，在峰值頻點(diǎn)和抵消頻點(diǎn)兩個(gè)剛性球振速相位正好相差180°，振速相位相反使得兩球振動(dòng)輻射聲壓相位相反，疊加時(shí)相互抵消。從偶極子輻射角度理解，剛性球沿軸向振動(dòng)時(shí)的輻射特性與偶極子基本一致，其輻射聲壓可用式（29）的偶極子形式表示[11]。

式中，Q1表示偶極子源的源強(qiáng)。忽略剛性球的聲散射，軸向排列的雙剛性球振動(dòng)的輻射聲場可近似等效為兩個(gè)軸向排列偶極子的輻射聲場。兩球振速相位相反，等效為兩偶極子源強(qiáng)相位相反，使得兩偶極子輻射聲壓相位相反，疊加時(shí)相互抵消。在峰值頻點(diǎn)兩球振速顯著增大，球A 振速小于球B 振速，兩偶極子源強(qiáng)幅度相差較大，即使相位相反相互抵消，輻射聲壓依舊明顯增加使得聲源級(jí)存在峰值點(diǎn)。抵消點(diǎn)兩偶極子源強(qiáng)幅度相近，疊加抵消后輻射聲壓顯著降低使得聲源級(jí)存在谷點(diǎn)。

以圖4（c）中參數(shù)ρA= 2000 kg/m3，ρB= 500 kg/m3為例，計(jì)算了各個(gè)場點(diǎn)在抵消頻率點(diǎn)的聲壓。圖9（a）～（b）分別給出了在抵消頻率點(diǎn)13.3 Hz處半圓周上場點(diǎn)各部分聲壓的實(shí)部和虛部。由圖9可以看出，相比兩個(gè)剛性球振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲壓，剛性球的散射聲壓較小。圖9（a）中兩個(gè)剛性球輻射聲壓的實(shí)部在大部分場點(diǎn)符號(hào)相反，幅度略有差異，圖9（b）中兩剛性球輻射聲壓的虛部符號(hào)基本相反，幅度相近，兩球輻射聲壓疊加時(shí)相互抵消，從而使得聲源級(jí)出現(xiàn)一個(gè)谷點(diǎn)。圖7中的振速曲線在共振頻率點(diǎn)之后較寬頻率范圍內(nèi)剛性球B彈性連接與剛性連接時(shí)振速幅度比均小于1，球B振速相比剛性連接減小，說明彈性連接起到了一定的減振作用。

2.3 近似分析探索

由于分析頻率較低，考慮集中質(zhì)量系統(tǒng)的近似，流體對(duì)剛性球的作用力以附加質(zhì)量的形式體現(xiàn)。此時(shí)球A 的等效質(zhì)量為Ma'=Ma+ρ0Vaβ，球B 的等效質(zhì)量為Mb'=Mb+ρ0Vbβ。Ma、Mb為剛性球質(zhì)量，Va、Vb為剛性球體積，β為流體附加質(zhì)量系數(shù)。單個(gè)球軸向振動(dòng)時(shí)，流體對(duì)剛性球的作用力可表示為式（30）的形式[11]，其中r0為剛性球半徑，v0為剛性球軸向振速。

低頻時(shí)kr0＜＜1，h1(z)/(z)≈-z/2，作用力Fw可近似為式（31）的形式。其中Madd=ρ02πr03/3，流體附加質(zhì)量系數(shù)β近似為0.5。根據(jù)文獻(xiàn)[12]可知，在無界無黏流體情況下，半徑為r0的球沿z軸方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，球運(yùn)動(dòng)引起的附加質(zhì)量等于排開流體質(zhì)量的二分之一，這與本文的近似結(jié)果是一致的。

兩剛性球作為集中質(zhì)量系統(tǒng)的振動(dòng)方程可表示為

球A、球B的振速表達(dá)式為

簡諧振動(dòng)剛性球的輻射聲場就是偶極子聲場[11]，兩球軸向振動(dòng)的輻射聲場用偶極子近似表示為式（34）的形式，雙偶極子輻射幾何示意圖如圖10所示。

式中，2d為兩偶極子之間的距離，即兩球球心之間的距離。由式（34）可以看出，當(dāng)Qa與Qb符號(hào)相反時(shí)，兩偶極子輻射聲壓相互抵消。

兩偶極子源強(qiáng)比值的表達(dá)式為

低頻時(shí)kra＜＜1，krb＜＜1，源強(qiáng)比值可近似為

對(duì)于輻射聲壓的抵消點(diǎn)，近似有Qa= -Qb，由式（36）解得輻射聲場抵消點(diǎn)的角頻率為

表3 給出了解析法和流體附加質(zhì)量法計(jì)算得到的聲場抵消點(diǎn)頻率對(duì)比?？梢钥闯?，附加質(zhì)量法得到的聲場抵消點(diǎn)頻率高于解析法得到的頻率，由于附加質(zhì)量法近似未考慮兩球之間的相互作用，所以與解析法仍存在一定差異。

表3 聲場抵消點(diǎn)頻率計(jì)算Tab.3 Calculation of the canceled point frequency of sound field

由流體作用力表達(dá)式（25）可以看出I1、J1、I2、J2具有阻抗的量綱。I1、I2為兩球的自輻射阻抗，J1、J2為兩球的互輻射阻抗，將阻抗的實(shí)部與虛部分開表示為

將式（38）代入兩球動(dòng)力學(xué)方程中，可以得到

圖11 給出了阻抗中的抗部分隨頻率的變化曲線。由圖11 可以看出兩球自輻射阻抗和互輻射阻抗中的抗部分符號(hào)相反。-jX11與jωMa符號(hào)相同，說明球A 的自輻射阻抗中的抗部分相當(dāng)于質(zhì)量抗，增加了球A的質(zhì)量。-jX12與K/jω符號(hào)相同，說明球B對(duì)球A的互輻射阻抗中的抗部分為彈性抗，相當(dāng)于對(duì)球A 有一個(gè)彈力作用。同理，球B 的自輻射阻抗中的抗是一個(gè)質(zhì)量抗，互輻射阻抗中的抗是一個(gè)彈性抗。將流體等效近似為附加質(zhì)量的集中參數(shù)系統(tǒng)，只考慮了球自輻射阻抗中的質(zhì)量抗，并沒有考慮球之間的互輻射阻抗，即沒有考慮球之間的相互作用，因此與解析計(jì)算仍存在一定差異。集中質(zhì)量系統(tǒng)近似無法解釋球B的振動(dòng)也存在極小值點(diǎn)?；ポ椛渥鑂21很小，-jX21與-K/jω符號(hào)相反，由式（39）的第二個(gè)式子可看出，當(dāng)二者相加近似為0 時(shí)，球B 的位移與振速出現(xiàn)極小值點(diǎn)。空氣中兩球互輻射阻抗較小，幾乎可以忽略，球B的位移與振速是不存在谷點(diǎn)的。

為分析互輻射阻抗對(duì)兩球振速的影響，計(jì)算了兩球間距離取不同值的情況。兩球之間的距離為dab，選取頻率為100 Hz 的聲波波長λ=15 m 作為度量距離的標(biāo)準(zhǔn)。圖12給出了兩球距離不同時(shí)X11和X12隨頻率的變化。可以看出自輻射抗X11基本不隨距離變化，而互輻射抗X12隨兩球之間距離的增大而減小，兩球之間的相互作用減小。圖13 給出了兩球距離不同時(shí)振速幅度隨頻率的變化。球A 振速幅度基本不隨距離變化，球B振速幅度的谷點(diǎn)隨兩球之間距離的增大逐漸向高頻移動(dòng)。當(dāng)dab=λ時(shí)，100 Hz 以內(nèi)已經(jīng)看不到球B振速幅度的谷點(diǎn)了，而且距離越大，谷點(diǎn)也逐漸不明顯了。

圖14 給出了彈性連接兩球間距離不同時(shí)聲源級(jí)隨頻率的變化曲線，可以看出隨著兩球之間距離的增大，聲源級(jí)的谷點(diǎn)逐漸升高，變得越來越不明顯。從偶極子輻射角度容易理解，式（34）中兩個(gè)偶極子總的源強(qiáng)可表示為

由式（40）可看出頻率較低，兩球距離較小時(shí)，sin(kdcosθ)相比cos(kdcosθ)很小，源強(qiáng)中起主導(dǎo)作用的是(Qa+Qb)cos(kdcosθ)。當(dāng)兩球反向振動(dòng)，Qa與Qb符號(hào)相反，相互抵消后聲源級(jí)能明顯降低。隨著距離的增大，sin(kdcosθ)和cos(kdcosθ)的差距變小，而Qa與Qb符號(hào)相反時(shí)，(Qb-Qa)sin(kdcosθ)是正向增大的，故聲源級(jí)的谷點(diǎn)隨兩球間距離的增大會(huì)逐漸升高。

單個(gè)球軸向振動(dòng)時(shí)的輻射聲壓可表示為

利用前述流體作用力的低頻近似表達(dá)，可以得到輻射聲壓的近似表達(dá)式為

低頻時(shí)kr0＜＜1，1/(kr0)≈(kr0)3/( -2j )，故式（42）可表示為

由單個(gè)球輻射聲壓的近似表達(dá)式（43）可以看出，單個(gè)球的輻射聲壓與球的密度ρ有近似反比的關(guān)系。激勵(lì)力相同時(shí)，球密度越大，輻射效率越低，輻射聲壓越小。兩球彈性連接時(shí)，力作用在密度大、輻射效率低的球上可以使輻射聲功率較剛性連接有所降低。與此相反，力作用在密度小、輻射效率高的球上使得輻射聲功率增加。

3 結(jié) 論

本文針對(duì)水下軸向排列雙剛性球受軸向力激勵(lì)振動(dòng)的聲輻射問題，利用球函數(shù)的平移加法理論，推導(dǎo)了輻射聲場的解析解；計(jì)算了流體對(duì)剛性球的反作用力；建立了水下剛性球受軸向激勵(lì)力振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，計(jì)算頻率范圍在100 Hz以內(nèi)，比較了兩個(gè)球彈性連接和剛性連接兩種方式下的聲輻射特性。本文的理論推導(dǎo)可以拓展到任意數(shù)量剛性球沿軸向振動(dòng)產(chǎn)生的輻射聲場。解析解能將各球輻射聲壓與散射聲壓分離，更容易分析輻射聲場的特性，主要結(jié)論如下：

（1）彈性連接的引入使得剛性球振速存在相位相反的頻段，剛性球的密度相同時(shí)，在兩球振速相位相反頻段兩偶極子源強(qiáng)幅度相差較大，聲源級(jí)只有峰值點(diǎn)（結(jié)構(gòu)共振頻率附近）；剛性球密度不同時(shí)，在兩球振速相位相反的頻段存在兩偶極子源強(qiáng)幅度相近的頻點(diǎn)，聲壓相互抵消后使得聲源級(jí)出現(xiàn)明顯抵消點(diǎn)。與剛性連接相比，聲源級(jí)抵消點(diǎn)可以達(dá)到多于10 dB的降噪量。

（2）總質(zhì)量相同時(shí)，激勵(lì)力作用在密度較大、輻射效率較低的剛性球時(shí)，聲源級(jí)在抵消點(diǎn)之后的較寬頻率范圍內(nèi)相比剛性連接均有所降低。激勵(lì)力作用在密度較小、輻射效率較高的剛性球時(shí)，聲源級(jí)在抵消點(diǎn)之后的較寬頻率范圍內(nèi)相比剛性連接會(huì)增加。當(dāng)平均密度與水相當(dāng)時(shí)，在艙段的質(zhì)量分布設(shè)計(jì)時(shí)可考慮將質(zhì)量盡量集中在直接受激勵(lì)力作用的艙段。

（3）非受力剛性球振速在共振點(diǎn)后較寬頻率范圍較剛性連接均減小，彈性連接起到了一定的減振作用。非受力球振速的減小也使得抵消點(diǎn)之后較寬頻率范圍內(nèi)聲源級(jí)均有所下降。

（4）采用流體附加質(zhì)量和集中質(zhì)量系統(tǒng)近似，得到了聲壓抵消頻率的近似表達(dá)。附加質(zhì)量的方法沒有考慮兩球之間的相互作用，因此得到的結(jié)果與解析方法存在一定的差異。

（5）兩球之間的互輻射阻抗會(huì)隨兩球之間距離的增大而逐漸減小，球B 振速的谷點(diǎn)向高頻移動(dòng)，谷點(diǎn)逐漸變得不明顯。聲源級(jí)的谷點(diǎn)也會(huì)隨兩球距離的增大而升高，降噪量逐漸減小。