王亮平，邱愛慈，李 沫，張金海

(強(qiáng)脈沖輻射環(huán)境模擬與效應(yīng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西北核技術(shù)研究所，陜西 西安 710024)

Z箍縮一般是指利用金屬絲陣或噴氣負(fù)載在上升時(shí)間約100 ns、幅值為數(shù)MA～數(shù)十MA脈沖電流作用下，電離形成等離子體，等離子體在洛倫茲力作用下快速向軸線聚爆并最終在中心滯止，形成高溫高密度等離子體并進(jìn)一步輻射出強(qiáng)X射線的物理過(guò)程[1-3]。Z箍縮在強(qiáng)脈沖輻射環(huán)境效應(yīng)、高能密度物理科學(xué)、慣性約束聚變和實(shí)驗(yàn)室天體物理等研究中具有重要應(yīng)用前景[4-7]。利用Z箍縮輻射源產(chǎn)生的脈沖X射線輻照材料進(jìn)行動(dòng)力學(xué)響應(yīng)及熱力學(xué)效應(yīng)研究，一直是材料加固研究領(lǐng)域的一個(gè)重要方向[8-10]，對(duì)于增強(qiáng)系統(tǒng)的抗X射線輻射性能具有重要意義。

以國(guó)內(nèi)“強(qiáng)光一號(hào)”加速器為例，Z箍縮負(fù)載可產(chǎn)生總能量約40 kJ的軟X射線[11-12]，光子能量范圍為0.1～2 keV，在距離Z箍縮負(fù)載中心5 cm處，軟X射線的能量密度約為100 J/cm2。利用脈沖軟X射線可開展殼體材料的熱力學(xué)效應(yīng)研究[13-15]，獲得不同殼體材料沖量耦合系數(shù)，為進(jìn)一步數(shù)值模擬或修正其他實(shí)驗(yàn)手段(電子束輻射)的輻射結(jié)果提供依據(jù)。

熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)所關(guān)注的一個(gè)重要X射線參數(shù)為試驗(yàn)材料表面的功率密度，但由于一般試驗(yàn)面距離X射線源較近，直接在試驗(yàn)面處布局探測(cè)器進(jìn)行測(cè)量會(huì)對(duì)探測(cè)器造成輻射損傷，因此一般采用在距離Z箍縮X射線源足夠遠(yuǎn)處測(cè)量X射線輻射能量，然后根據(jù)X射線輻射遵循4立體角均勻分布進(jìn)行反推，進(jìn)而獲得試驗(yàn)面處的功率密度。但在試驗(yàn)面與X射線源的距離與X射線源本身尺度可比擬的情況下(如在“強(qiáng)光一號(hào)”開展試驗(yàn)時(shí)，X射線源長(zhǎng)度為2 cm，試驗(yàn)面與X射線源的距離為5 cm)，試驗(yàn)面處是否符合遠(yuǎn)場(chǎng)分布有待進(jìn)一步分析。此外，當(dāng)Z箍縮X射線源分別等效為線光源與朗伯(Lambert)光源(余弦輻射體)時(shí)，二者輻射場(chǎng)分布的異同也尚未見相關(guān)報(bào)道。基于上述問題，本文擬通過(guò)對(duì)Z箍縮軟X射線輻射源進(jìn)行物理模型等效，理論分析Z箍縮等離子體負(fù)載作為軟X射線源的輻射場(chǎng)分布，比較線光源及余弦輻射光源的輻射場(chǎng)差異，得到遠(yuǎn)近場(chǎng)情況下輻射場(chǎng)分布以及相應(yīng)的遠(yuǎn)場(chǎng)等效條件，并在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析“強(qiáng)光一號(hào)”熱力學(xué)試驗(yàn)中材料放置面處功率密度是否符合遠(yuǎn)場(chǎng)情況，為熱力學(xué)效應(yīng)實(shí)驗(yàn)X射線輻射參數(shù)的準(zhǔn)確確定提供理論基礎(chǔ)。

1 Z箍縮X射線源功率密度輻射場(chǎng)分析

通常情況下，Z箍縮負(fù)載在滯止時(shí)刻會(huì)形成近似圓柱形(磁流體力學(xué)不穩(wěn)定性會(huì)破壞其對(duì)稱性)的X射線光源，設(shè)圓柱形光源長(zhǎng)度為L(zhǎng)、圓柱半徑為a，對(duì)于一般的Z箍縮X射線源，其典型長(zhǎng)度L為2 cm，而滯止時(shí)刻圓柱半徑a典型值為0.5～1 mm。在分析空間任一點(diǎn)處的功率密度時(shí)，由于光源的對(duì)稱性，可選取空間點(diǎn)位于x-z平面內(nèi)，且與原點(diǎn)的距離為R，與x軸的夾角為θ，如圖1所示。而對(duì)于圓柱形發(fā)光源，通常可能存在兩種形式，即普通線光源(由點(diǎn)光源疊加而成)和朗伯光源(余弦輻射光源)。

圖1 Z箍縮軟X射線光源視為線光源時(shí)的二維示意圖Fig.1 Two-dimensional layout of Z-pinch X-ray source treated as linear source

1.1 X射線源等效為線光源

如果將X射線源看作線光源(L?a)，且線光源由無(wú)數(shù)點(diǎn)光源構(gòu)成，則對(duì)于空間中任一點(diǎn)(Rcosθ，Rsinθ)面積微元dS處(法線方向n沿x軸正方向，法線n與R的夾角為θ)，所接受的輻射功率dF為線光源上每個(gè)點(diǎn)光源輻射功率的疊加[16]，可表示為：

(1)

其中：P為Z箍縮X射線源輻射功率；z為線光源上任一點(diǎn)光源沿z軸的位置；β為點(diǎn)光源指向dS方向矢量與法線的夾角(圖1)，且規(guī)定方向矢量逆時(shí)針轉(zhuǎn)向法線矢量的夾角為正。對(duì)式(1)積分可得dS處接受的功率密度：

(2)

式中，β1和β2分別為+L/2和-L/2處點(diǎn)光源與微面元法線的夾角。

遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)有R?L，式(2)中sinβ1-sinβ2≈(Lcos2θ)/R，在此條件下式(2)變?yōu)椋?/p>

(3)

式中，dS·cosθ為面積微元在垂直于矢量方向的有效面積。

式(3)表明遠(yuǎn)離Z箍縮軟X射線源中心處的等輻射功率密度面符合球面分布，此時(shí)可忽略Z箍縮軟X射線源線性長(zhǎng)度L的影響，而將其視作點(diǎn)光源。

靠近Z箍縮軟X射線源處時(shí)，設(shè)Rcosθ=a，靠近Z箍縮軟X射線源則有a?L，當(dāng)考察點(diǎn)Z坐標(biāo)滿足條件-L/2≤Rsinθ≤L/2時(shí)，β1≈-π/2，β2≈π/2，式(2)可寫為：

(4)

式(4)意味著在靠近Z箍縮軟X射線源處，等輻射功率密度面符合圓柱側(cè)面分布。

1.2 X射線源等效為朗伯輻射體

朗伯輻射體又稱為余弦輻射體[16-17]，它表示面光源上各面元的發(fā)光強(qiáng)度隨方向變化的關(guān)系為dIθ=dI0·cosθ，其中dIθ為與面元法線成θ角方向的發(fā)光強(qiáng)度，dI0為法線方向的發(fā)光強(qiáng)度。余弦輻射體的亮度與θ有關(guān)。一般情況下，若輻射體接近黑體輻射，可將該輻射體視為余弦輻射體。

如果將Z箍縮圓柱形等離子體X射線源視為一個(gè)余弦輻射體，仍考察x-z平面內(nèi)一點(diǎn)(Rcosθ，Rsinθ)面積微元dS處的受輻照情況，假設(shè)半徑為a的Z箍縮等離子體光源圓柱面上(圖2)有一發(fā)光微元dS′，其法線n′與x軸夾角為δ，發(fā)光微元dS′指向面積微元dS的矢量為r，r與發(fā)光微元法線n′的夾角為α，與面積微元法線矢量n的夾角為β，且定義由逆時(shí)針指向法線的角度方向?yàn)檎?，則面積微元dS所接受發(fā)光微元dS′的輻射功率可推導(dǎo)為：

d2F=Bcosα·dS′dS·cosβ/r2

(5)

圖2 Z箍縮軟X射線光源視為朗伯光源時(shí)的幾何關(guān)系示意圖Fig.2 Geometric layout of Z-pinch X-ray source treated as Lambert source

式中，B為發(fā)光微元的亮度，且根據(jù)圖2所示幾何關(guān)系可推導(dǎo)得：

r2=a2+R2cos2θ+

(z-Rsinθ)2-2aRcosθcosδ

(6)

cosα=(Rcosθcosδ-a)/r

cosβ=(Rcosθ-acosδ)/r

(7)

則對(duì)整個(gè)Z箍縮等離子體圓柱面積分可得：

adδdzdS

(8)

式(8)很難給出解析表達(dá)式，但在一定條件下可做近似處理，從而獲得其解析表達(dá)式。

遠(yuǎn)場(chǎng)時(shí)，Z箍縮軟X射線源的徑向尺寸a遠(yuǎn)小于其長(zhǎng)度L以及R，且Rcosθcosδ?a，式(8)積分變?yōu)椋?/p>

dδdzdS

(9)

對(duì)式(9)進(jìn)一步積分，同時(shí)利用余弦輻射體亮度B與面發(fā)射度的關(guān)系πB=P/2πaL可得：

(10)

η1=arctan[(L/2-Rsinθ)/Rcosθ]

(11)

η2=arctan[(-L/2-Rsinθ)/Rcosθ]

(12)

其中，η1和η2的意義如圖3所示，且以逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至法線延長(zhǎng)線的角度為正。

考慮遠(yuǎn)場(chǎng)情況，此時(shí)R?L，可有sin2η1-sin2η2≈2cos2θ·Lcosθ/R，且η1-η2≈Lcosθ/R，可得：

(13)

式(13)與由點(diǎn)源近似得到的功率密度相比多一項(xiàng)cosθ，從而使輻射呈現(xiàn)明顯的方向性。

圖3 遠(yuǎn)場(chǎng)情況下式(10)中角度η1與η2的示意Fig.3 Layout of angle η1 and η2 for formula (10)

靠近軟X射線源處時(shí)，Rcosθ≈a、arccos(a/Rcosθ)≈0，這意味著面元dS只接受與其法線方向平行的微元dS′的照射，由此可知等輻射功率密度面為圓柱側(cè)面分布，表示如下：

dF/dS=P/2πaL

(14)

前文得到了式(8)在遠(yuǎn)近場(chǎng)條件下的近似解析公式，同時(shí)也可對(duì)式(8)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算獲得數(shù)值解，從而得到空間輻射場(chǎng)分布。

選取Z箍縮等離子體軟X射線源長(zhǎng)度為2 cm，將軟X射線源分別等效為線光源和朗伯光源，利用式(1)及式(8)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，獲得的輻射功率密度分布相對(duì)等值線如圖4所示。由圖4a可見，將X射線源等效為線光源時(shí)，遠(yuǎn)場(chǎng)等功率面呈球面分布，而近場(chǎng)處為圓柱面；數(shù)值計(jì)算結(jié)果與解析公式結(jié)果在計(jì)算誤差范圍內(nèi)相吻合，以距離光源中心8 cm處為例，根據(jù)解析公式計(jì)算歸一化輻射功率密度為1.24，而數(shù)值計(jì)算結(jié)果為1.25。由圖4b可見，將Z箍縮X射線源等效為朗伯光源時(shí)，在遠(yuǎn)場(chǎng)處呈現(xiàn)出球面等功率密度面受角度余弦調(diào)制的分布，近場(chǎng)端呈現(xiàn)為圓柱側(cè)面等輻射功率密度面；仍以X射線光源中心平面上距離光源中心8 cm處為例，由解析公式計(jì)算得歸一化輻射功率密度為1.58，而數(shù)值計(jì)算結(jié)果為1.57，兩種分析結(jié)果同樣吻合較好。

2 試驗(yàn)面處功率密度

實(shí)驗(yàn)中一般將樣品置于距Z箍縮軟X射線源中心面5 cm處(圖5，此時(shí)θ=0)，此位置處的距離與軟X射線源長(zhǎng)度(2 cm)可比擬，能否將該位置視為遠(yuǎn)場(chǎng)情況有待進(jìn)一步研究。

圖4 Z箍縮軟X射線光源視為線光源(a)和朗伯面光源(b)時(shí)的空間輻射場(chǎng)分布的數(shù)值計(jì)算結(jié)果 Fig.4 Simulation results for Z-pinch X-ray source regarded as line source (a) and Lambert source (b)

圖5 試驗(yàn)樣品與Z箍縮X射線源位置示意Fig.5 Layout of sample for assessment experiment and Z-pinch X-ray source

若將軟X射線源視為線光源，依照前文得到的輻射功率密度表達(dá)式(式(2))，可根據(jù)具體數(shù)據(jù)得sinβ1-sinβ2≈0.39≈L/R，而中心面上cosθ=1，因此5 cm處sinβ1-sinβ2≈Lcos2θ/R，這一結(jié)果與前文線光源情況下遠(yuǎn)場(chǎng)的簡(jiǎn)化條件相一致，從而在距源5 cm處有：

(15)

式(15)表明，對(duì)于長(zhǎng)度為2 cm的軟X射線源，距源5 cm處符合近似距離平方反比關(guān)系，大于此距離可視為遠(yuǎn)場(chǎng)情況。

若將軟X射線源視為朗伯輻射體，根據(jù)前文可知，輻射功率密度可表達(dá)為式(10)，根據(jù)具體數(shù)據(jù)可計(jì)算得β1-β2≈0.39≈L/R,且sin2β1-sin2β2≈0.77≈2L/R，在中心面上cosθ=1，因此β1-β2≈(Lcos2θ)/R,且sin2β1-sin2β2≈2cos2θ·Lcosθ/R，這一結(jié)果與前文朗伯輻射體情況下遠(yuǎn)場(chǎng)的簡(jiǎn)化條件相一致，從而在距源5 cm處有：

(16)

式(16)與余弦輻射體的遠(yuǎn)場(chǎng)輻射功率密度公式相吻合。

通過(guò)上述分析可知，對(duì)于長(zhǎng)度為2 cm的Z箍縮軟X射線輻射體，當(dāng)試驗(yàn)面距離中心處5 cm時(shí)，無(wú)論將Z箍縮X光源等效為哪種輻射體，5 cm處即可視為遠(yuǎn)場(chǎng)，近似符合距離平方反比關(guān)系。

此外，也可利用數(shù)值計(jì)算方法獲得5 cm處的功率分布。分別將Z箍縮輻射源等效為線光源和朗伯光源，利用式(1)、(8)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，獲得的5 cm處功率密度分布示于圖4，同時(shí)在圖4a中畫出半徑5 cm的圓，在圖4b中畫出半徑(5 cm)與角度余弦乘積的曲線?？煽闯?，等效為線光源時(shí)，距源5 cm處的功率密度輻射分布符合球面分布；等效為朗伯光源時(shí)，5 cm處的功率密度輻射分布符合球面與角度余弦乘積分布，因此，當(dāng)試驗(yàn)樣品布置于距Z箍縮X射線源5 cm處時(shí)，試驗(yàn)面處的功率密度分布已符合遠(yuǎn)場(chǎng)規(guī)律，功率密度與源的距離的平方呈反比。

3 結(jié)論

1) 將X射線源等效為線光源時(shí)，遠(yuǎn)場(chǎng)處等輻射功率密度呈現(xiàn)球面分布，近場(chǎng)處為圓柱面分布；等效為L(zhǎng)ambert光源時(shí)，遠(yuǎn)場(chǎng)處等輻射功率密度呈現(xiàn)出受角度余弦調(diào)制球面的分布，近場(chǎng)處為圓柱面等分布。

2) 對(duì)于長(zhǎng)度為2 cm的Z箍縮軟X射線輻射體，無(wú)論將Z箍縮X光源等效為哪種輻射體，當(dāng)試驗(yàn)樣品放置位置與Z箍縮光源的距離大于5 cm后，試驗(yàn)面處受到的輻射功率密度均可視為遠(yuǎn)場(chǎng)情況，符合遠(yuǎn)場(chǎng)功率密度隨距離平方成反比下降的規(guī)律。