劉奕彬, 王春陽, 宮 健,*, 譚 銘

(1. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院, 陜西 西安 710051;2. 國防科技大學(xué)信息通信學(xué)院, 湖北 武漢 430010)

0 引 言

相控陣形成的波束由于無法分辨主瓣范圍內(nèi)不同距離的目標(biāo),因此在抑制與距離相關(guān)的干擾方面存在局限性。頻控陣(frequency diverse array, FDA)由Antonik等在2006年IEEE雷達(dá)國際會議上首次提出,其獨特的陣列特性一經(jīng)提出就得到了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。與相控陣不同, FDA通過在陣元間引入一定的頻偏增量,使其波束方向圖具有時間-距離-角度相關(guān)特性。通過與多輸入多輸出(multiple input multiple output, MIMO)技術(shù)結(jié)合,FDA-MIMO雷達(dá)能夠在接收端形成等效的發(fā)射天線方向圖,可以將發(fā)射信息整合到接收端,從而實現(xiàn)更加靈活的距離維自由度利用并提升距離-角度二維聯(lián)合信號處理的能力。充分利用FDA-MIMO的距離-角度二維相關(guān)特性,可以實現(xiàn)距離-角度二維目標(biāo)定位、抗主瓣假目標(biāo)干擾等。

自適應(yīng)波束形成是一種常用的空域自適應(yīng)濾波算法,能夠通過自適應(yīng)地調(diào)整陣列天線的權(quán)值進(jìn)而對干擾進(jìn)行自適應(yīng)地抑制。但自適應(yīng)波束形成算法往往對陣列失配具有較高的敏感度,這將導(dǎo)致算法的性能急劇降低。穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法的提出極大地提高了自適應(yīng)波束形成對陣列失配的魯棒性,但這些算法中仍存在需要改進(jìn)的地方。在對角加載算法中,在輸入信噪比(signal to noise ratio, SNR)較高時將會出現(xiàn)對期望信號的“自消”現(xiàn)象,同時最優(yōu)對角加載因子的選擇仍是一個需要研究的問題。特征空間法能有效降低噪聲子空間擾動帶來的不利影響,但在低輸入SNR條件下的子空間塌陷現(xiàn)象將導(dǎo)致算法性能嚴(yán)重下降?；谧畈钚阅茏罴鸦?worst-case performance optimization, WCPO)的算法能有效應(yīng)對導(dǎo)向矢量隨機誤差的問題,但算法中的誤差范數(shù)上界與真實導(dǎo)向矢量失配范數(shù)不匹配時,算法的穩(wěn)健性將嚴(yán)重降低。為能根據(jù)真實導(dǎo)向矢量失配范數(shù)的變化而自適應(yīng)地設(shè)置誤差范數(shù)上界,一種基于期望信號無失真響應(yīng)的概率約束 WCPO 算法被提出來以獲得與真實導(dǎo)向矢量失配范數(shù)更匹配的等效誤差范數(shù)約束上界,從而改善 WCPO 算法的保守缺點。

以上對自適應(yīng)波束形成的研究一般基于相控陣體制,因此將自適應(yīng)波束形成技術(shù)應(yīng)用于FDA體制對于抗干擾技術(shù)的拓展具有重要意義。目前,基于FDA的干擾與抗干擾技術(shù)受到學(xué)者的廣泛關(guān)注和研究,文獻(xiàn)[25]提出了一種基于FDA-MIMO雷達(dá)體制的距離維干擾抑制自適應(yīng)波束形成方法,使得目標(biāo)定位性能得到了進(jìn)一步提升。文獻(xiàn)[26]提出了一種主瓣保形功能的穩(wěn)健波束形成方法,有效提升了抗雜波干擾性能。對于量化誤差、角度誤差與頻率增量誤差等降低干擾抑制性能的因素,文獻(xiàn)[27]提出了一種在等效發(fā)射天線方向圖的零點附近人工加寬零陷的波束形成方法。文獻(xiàn)[28]通過對多種穩(wěn)健波束形成算法進(jìn)行分析,提出了一種強穩(wěn)健性的改進(jìn)特征空間(eigenspace-based, ESB)算法,但算法的核心仍是對角加載處理,并未充分利用特征子空間的優(yōu)勢。因此,本文通過分析FDA-MIMO雷達(dá)體制下的各類穩(wěn)健波束算法的優(yōu)勢與不足,提出了一種低復(fù)雜度的穩(wěn)健波束形成算法,在低采樣快拍數(shù)和低SNR條件下均具備良好的魯棒性,為技術(shù)實現(xiàn)提供一定的參考意義。

本文的內(nèi)容架構(gòu)如下:首先介紹了FDA-MIMO雷達(dá)的信號處理模型,其次對經(jīng)典的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法進(jìn)行了分析,進(jìn)而提出一種低復(fù)雜度的穩(wěn)健波束形成算法并證明了方法的合理性,然后通過仿真實驗對比了各算法在FDA-MIMO雷達(dá)中的波束性能,進(jìn)而驗證了所提出方法的優(yōu)越性,最后對全文工作進(jìn)行了總結(jié)。

1 FDA-MIMO信號模型

考慮一個發(fā)射和接收陣列均為均勻線陣FDA-MIMO方案,其結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 FDA-MIMO雷達(dá)的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of FDA-MIMO radar structure

發(fā)射陣列的相鄰陣元間的間距為,接收陣列的相鄰陣元間的間距為。發(fā)射陣列和接收陣列的陣元數(shù)分別為和。第一個陣元為參考陣元。發(fā)射載頻為,第個陣元的發(fā)射信號可以表示為

(1)

(2)

式中:[·]為共軛運算。

對于坐標(biāo)位于(,)的目標(biāo)點,與第個發(fā)射陣元和第個接收陣元相關(guān)的接收信號可以表示為

(3)

式中:,為從第個發(fā)射陣元到第個接收陣元的傳播時延,可以表示為

(4)

式中:c為光速。

由于考慮了往返雙程距離,在遠(yuǎn)場窄帶條件下,式(3)可以近似表示為

(5)

式中:()可表示為

(6)

圖2 接收端的信號處理步驟Fig.2 Signal processing steps at the receiver

于是,與第個發(fā)射陣元和第個接收陣元相關(guān)的輸出信號可以表示為

(7)

式中:為經(jīng)過匹配濾波后的信號復(fù)系數(shù);′=-2c。于是,陣列因子可以表示為

(8)

于是,導(dǎo)向矢量可以表示為

=(,)?()

(9)

式中:?為Kronecker積,(,)和()作為發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量可以分別寫為

(10)

(11)

由式(10)可知,在FDA-MIMO體制下,發(fā)射導(dǎo)向矢量是與距離參數(shù)相關(guān)的,時間參數(shù)被成功消去。當(dāng)探測一個坐標(biāo)為(,)的遠(yuǎn)場點目標(biāo)時,權(quán)矢量應(yīng)設(shè)置為

=|=,==(,)?()

(12)

則發(fā)射-接收天線方向圖可以表示為

(13)

式中:[·]為共軛轉(zhuǎn)置運算。根據(jù)發(fā)射端和接收端產(chǎn)生的不同效果,發(fā)射-接收天線方向圖可以進(jìn)一步分解為發(fā)射方向圖和接收方向圖。需要注意此處的發(fā)射天線方向圖是接收端的等效發(fā)射天線方向圖,可以表示為

=

(14)

可知,距離剖面的波束主要受頻偏設(shè)置的影響,當(dāng)采用線性頻偏時,式(14)可改寫為

(15)

從上式可知,線性頻偏的波束在距離維度上存在周期性,周期為=cΔ。同理,接收天線方向圖可以表示為

(16)

由此,通過采用接收端多匹配濾波器的FDA-MIMO方案產(chǎn)生的天線方向圖是具有距離相關(guān)性的時不變波束。

2 穩(wěn)健波束形成算法

本節(jié)中將介紹對角加載(loading sample matrix inversion, LSMI)算法等。

2.1 LSMI算法

最小均方無畸變響應(yīng)(mimimum variance distortionless respinse, MVDR)準(zhǔn)則在不存在期望信號導(dǎo)向矢量誤差的情況下能形成最優(yōu)波束,但在采樣協(xié)方差矩陣中含有的期望信號會導(dǎo)致信號自消現(xiàn)象的產(chǎn)生。LSMI算法是在MVDR的基礎(chǔ)上對采樣協(xié)方差矩陣進(jìn)行對角加載,則FDA中帶約束的MVDR優(yōu)化問題可以表示為

由拉格朗日乘子法解得

(17)

LSMI算法相當(dāng)于給環(huán)境中添加了白噪聲,通過減小實際信號的SNR減弱最小化目標(biāo)函數(shù)對信號的抑制并增強對噪聲的抑制,信號的自消程度得到減弱,并達(dá)到了降低和穩(wěn)定旁瓣的效果。LSMI算法的缺點是無法在實際環(huán)境中確定最優(yōu)加載量,加載量過小將無法形成穩(wěn)健波束,而加載量過大將影響對干擾的抑制效果。

2.2 ESB算法

ESB算法的核心是將期望信號導(dǎo)向矢量向干擾和信號特征子空間投影,進(jìn)而實現(xiàn)改善信號自消的效果。將采樣協(xié)方差矩陣進(jìn)行特征值分解為

=+

(18)

式中:是信號和干擾特征向量構(gòu)成的矩陣;是信號和干擾特征值構(gòu)成的對角矩陣;是噪聲特征向量構(gòu)成的矩陣;是噪聲特征值構(gòu)成的對角矩陣。將期望信號的導(dǎo)向矢量向干擾和信號特征子空間投影后得到的FDA自適應(yīng)權(quán)矢量為

(19)

式中:=為干擾和信號子空間的投影矩陣。ESB算法在高SNR的情況下能有效地抑制由導(dǎo)向矢量失配引起的信號自消現(xiàn)象。但在低SNR條件下,子空間纏繞導(dǎo)致不能有效分離出干擾和信號子空間,波束的性能降低。

2.3 WCPO算法

方向圖的不穩(wěn)健主要是由導(dǎo)向矢量失配引起,WCPO算法的核心是構(gòu)造一個使期望信號導(dǎo)向矢量盡可能無衰減通過的自適應(yīng)波束形成器,同時該波束形成器可使得其他方向的干擾和噪聲功率最小?？紤]實際信號的導(dǎo)向矢量為,期望信號導(dǎo)向矢量為,可將表示為

=+

(20)

式中：表示導(dǎo)向矢量的誤差。權(quán)矢量的求解可表示為

可以由拉格朗日乘子法解得

(21)

式中:≥0為拉格朗日乘子,通過將式(21)代入等式約束條件進(jìn)行迭代可以求解出的值,進(jìn)而求解出最優(yōu)權(quán)矢量。然而在實際應(yīng)用中,導(dǎo)向矢量的誤差上界無法確定,過大將導(dǎo)致主瓣變寬,分辨率降低;而過小將使得導(dǎo)向矢量誤差時的波束無法保持穩(wěn)健。

3 低復(fù)雜度穩(wěn)健波束形成算法

本文提出了一種低復(fù)雜度穩(wěn)健波束形成算法,能在低SNR與高SNR的條件下使波束均具有很好的穩(wěn)健性。文獻(xiàn)[28]提出了一種改進(jìn)的ESB波束形成算法,通過干擾子空間重構(gòu)協(xié)方差和對角加載電平實現(xiàn)了低SNR條件下的波束保形效果,其自適應(yīng)權(quán)矢量為

(22)

式中:是干擾特征向量構(gòu)成的矩陣;是干擾特征值構(gòu)成的對角矩陣。該算法的核心是利用協(xié)方差矩陣中的干擾子空間,將協(xié)方差矩陣重構(gòu)為

(23)

本文基于采樣協(xié)方差矩陣,將新的協(xié)方差矩陣重構(gòu)為

=

(24)

式中:為采樣協(xié)方差矩陣。此時的矩陣近似為奇異矩陣,為使算法求逆環(huán)節(jié)有效,在矩陣求逆環(huán)節(jié)引入對角加載電平,則FDA的自適應(yīng)權(quán)矢量為

(25)

可以發(fā)現(xiàn),相比于改進(jìn)的ESB算法,本文提出的算法中將進(jìn)行求逆的矩陣由+ζ替換為了+ν,方法的合理性證明如下。

由于算法中重構(gòu)的協(xié)方差矩陣和均為Hermitian矩陣,因此考慮加載電平之后存在等式:

+ν=+ζ+

(26)

式中:表示等式兩邊的差異矩陣,屬于Hermitian矩陣。于是式(26)可以簡寫為=+。根據(jù)矩陣求逆法則,可將所提出方法中的求逆過程表示為

(27)

(28)

將式(28)代入自適應(yīng)權(quán)矢量可得

(29)

因此,本文提出的算法僅基于采樣協(xié)方差矩陣與其共軛轉(zhuǎn)置實現(xiàn)了協(xié)方差的重構(gòu),相比文獻(xiàn)[28]簡化了特征值分解構(gòu)建干擾子空間這一步驟,由此得到的低復(fù)雜度波束形成算法的具體步驟如下:

權(quán)矢量初始化,發(fā)射陣列向目標(biāo)空域發(fā)射信號;

將接收到的目標(biāo)相關(guān)數(shù)據(jù)在FDA-MIMO的接收端進(jìn)行下變頻、數(shù)模轉(zhuǎn)換和多匹配濾波處理,使等效波束僅與距離角度相關(guān);

將采樣協(xié)方差矩陣與其共軛轉(zhuǎn)置進(jìn)行相乘得到重構(gòu)得協(xié)方差矩陣,在對角加載固定電平后根據(jù)MVDR準(zhǔn)則求解自適應(yīng)權(quán)矢量。

輸出信干噪比(signal to interference plus noise ratio, SINR)隨輸入SNR的變化曲線可以用于檢驗不同算法下FDA-MIMO雷達(dá)的目標(biāo)探測性能,輸出SINR可表示為

(30)

式中:表示通過不同算法得到的權(quán)矢量;和+分別表示期望信號的協(xié)方差矩陣和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。

對于發(fā)射陣元數(shù)為、接收陣元為的FDA-MIMO雷達(dá),其滿自由度為,則各算法的計算復(fù)雜度如表1所示。相比于WCPO算法與其他基于ESB的算法,本文提出的算法省去了迭代計算與矩陣分解等步驟,計算復(fù)雜度得到了有效降低。

表1 計算復(fù)雜度對比Table 1 Comparison of computational complexity

4 仿真實驗

實驗采用的仿真參數(shù)如表2所示,通過對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行處理,FDA-MIMO雷達(dá)將在空域內(nèi)產(chǎn)生距離-角度相關(guān)的二維自適應(yīng)波束,以達(dá)到抑制干擾的效果。仿真中干擾信號的干噪比(interference-to-noise ratio, JNR)均被設(shè)置為60 dB,便于對比波束對各干擾信號的抑制性能。

表2 仿真參數(shù)Table 2 Simulation parameters

續(xù)表2Continued Table 2

4.1 LSMI波束形成器

實驗考慮空域內(nèi)存在多假目標(biāo)的情況,當(dāng)目標(biāo)SNR為0 dB且存在5°導(dǎo)向矢量失配的情況下,LSMI算法的波束方向圖如圖3所示。圖3中綠色圓圈標(biāo)明了目標(biāo)的實際位置,紅色圓圈標(biāo)明了多假目標(biāo)的實際位置。由圖3可知,盡管導(dǎo)向矢量存在失配的情況,LSMI算法仍能通過在假目標(biāo)位置形成零陷來抑制干擾。

圖3 LSMI算法方向圖Fig.3 Beampattern of LSMI algorithm

由圖4可知,當(dāng)目標(biāo)SNR提高到20 dB時,波束方向圖在目標(biāo)位置產(chǎn)生了零陷,這是由于回波中的目標(biāo)信號將導(dǎo)致波束形成過程中發(fā)生信號自消現(xiàn)象,這顯然不利于空域中對目標(biāo)的指示。

圖4 高SNR條件下LSMI算法方向圖Fig.4 Beampattern of LSMI algorithm with high SNR

4.2 ESB波束形成器

利用特征子空間法產(chǎn)生的波束方向圖如圖5所示。在較高的輸入SNR條件下,ESB算法產(chǎn)生的波束在導(dǎo)向矢量失配的情況下具有較好的穩(wěn)健性,但由圖6可知,在低輸入SNR的條件下,ESB算法將產(chǎn)生嚴(yán)重的波束畸變,這使得波束性能大幅度降低。

圖5 5°導(dǎo)向矢量失配條件下ESB算法方向圖Fig.5 Beampattern of ESB algorithm with 5° steering vector mismatch

圖6 低SNR條件下ESB算法方向圖Fig.6 Beampattern of ESB algorithm with low SNR

4.3 WCPO波束形成器

圖7給出了低采樣快拍條件下WCPO算法產(chǎn)生的波束,考慮采樣快拍數(shù)為200且導(dǎo)向矢量失配5°的情況,基于WCPO算法的波束在導(dǎo)向矢量失配時具有一定的穩(wěn)健性,但低采樣快拍數(shù)將導(dǎo)致基于該算法的波束旁瓣顯著提高,波束的穩(wěn)健性將受到影響。

圖7 低采樣快拍下WCPO算法方向圖Fig.7 Beampattern of WCPO algorithm with low sampling snapshot

4.4 提出的波束形成器

通過以上分析可知,LSMI算法在高SNR條件下將出現(xiàn)信號自消現(xiàn)象,且存在對角加載量難以確定的特點;傳統(tǒng)ESB算法雖然在高SNR條件下具備較好的穩(wěn)健性,但在低SNR條件下波束將產(chǎn)生嚴(yán)重畸變;WCPO算法對導(dǎo)向矢量失配具有一定穩(wěn)健性,但低采樣快拍數(shù)的情況會使旁瓣升高。圖8給出了基于本文提出算法的SNR=-20 dB時低采樣快拍數(shù)的波束方向圖?？梢娤啾戎暗膫鹘y(tǒng)方法,本文提出的方法在低SNR和低采樣快拍數(shù)的極端條件下仍具備較好的波束保形能力,彌補了ESB算法在低SNR條件下的不足,在考慮低采樣快拍數(shù)的情況下也體現(xiàn)出了優(yōu)越性。

圖8 低SNR低采樣快拍下本文方法方向圖Fig.8 Beampattern of proposed method with low SNR and low sampling snapshot

圖9給出了方向圖在目標(biāo)位置的距離維剖面對比,通過對比圖9(a)和圖9(b)可知,ESB算法在低SNR條件下性能嚴(yán)重下降,這是子空間纏繞導(dǎo)致不能有效分離出干擾和信號子空間的結(jié)果。通過對比圖9(a)和圖9(c)可知,在低采樣快拍數(shù)的條件下,樣本矩陣求逆(sample matrix inversion, SMI)算法、LSMI算法和WCPO算法對應(yīng)的波束旁瓣均發(fā)生了不同程度的升高,波束的穩(wěn)健性出現(xiàn)下降趨勢,而基于本文方法的波束在低SNR和低采樣快拍數(shù)的條件下均具有良好的穩(wěn)健性,體現(xiàn)了本文方法的優(yōu)越性。值得注意的是,由式(15)得到的波束在距離維度上的周期性可以在波束剖面圖中清楚展現(xiàn),在距離接近200 km時,波束的增益顯著上升并接近峰值,這與理論峰值位置的210 km保持了一致。

圖9 目標(biāo)位置方向圖的距離維剖面對比Fig.9 Comparison of the profile of the target position pattern in range dimension

4.5 算法性能對比

圖10將3種存在對角加載操作的方法進(jìn)行了對比,可知本文提出的方法在加載電平處于-300 dB到100 dB之間均可以保證良好的輸出性能,對角加載電平的可選擇范圍明顯超過LSMI算法和文獻(xiàn)[28]提出的改進(jìn)ESB算法,體現(xiàn)了本文方法在加載電平上的選取優(yōu)勢。

圖10 輸出信干噪比-加載電平曲線Fig.10 Output SINR-loading level curve

圖11中給出了不同采樣快拍數(shù)下不同波束形成算法的輸出SINR隨輸入SNR變化曲線,其中SMI算法不考慮導(dǎo)向矢量失配的情況,作為理想?yún)⒄张c其他算法性能進(jìn)行對比,其他算法均考慮存在5°的導(dǎo)向矢量失配的情況。由圖1中曲線可知,本文提出的方法在低采樣快拍數(shù)條件下仍能穩(wěn)定輸出SINR,彌補了其他方法在低采樣快拍時波束性能下降的缺陷。低SNR條件下,提出的方法與復(fù)雜度更高的WCPO算法具有接近的輸出SINR,但極大程度上降低了波束形成的計算復(fù)雜度。高SNR條件下,提出的方法有效克服了信號高SNR時的自消現(xiàn)象,能夠比LSMI算法和WCPO算法輸出更穩(wěn)定的SINR,相比于同樣具有穩(wěn)健性的ESB算法,本文所提出的算法減少了特征值分解這一步驟,使得形成穩(wěn)健波束的復(fù)雜度進(jìn)一步降低。

圖11 輸出SINR-輸入SNR曲線Fig.11 Output SINR-input SNR curve

圖12通過對比各算法在導(dǎo)向矢量存在誤差時的輸出SINR,對提出方法的穩(wěn)健性進(jìn)行了進(jìn)一步驗證。仿真采用2 000個采樣快拍,通過設(shè)置SNR=-20 dB和SNR=0 dB兩種情況分別進(jìn)行200次蒙特卡羅仿真。由圖12可知,在高SNR條件下,本文算法的穩(wěn)健性明顯優(yōu)于LSMI算法和WCPO算法。而在低SNR條件下,所提方法也有效彌補了子空間纏繞導(dǎo)致的波束畸變的缺陷,以最低的計算復(fù)雜度實現(xiàn)了穩(wěn)健波束形成。

圖12 輸出SINR-角度誤差曲線Fig.12 Output SINR-angle error curve

5 結(jié) 論

本文提出了一種基于FDA-MIMO雷達(dá)的低復(fù)雜度穩(wěn)健波束形成方法。針對LSMI算法高SNR條件下出現(xiàn)信號自消、ESB算法低SNR條件下波束畸變和WCPO算法低采樣快拍條件下旁瓣升高等問題,提出了一種適用于以上多種非理想條件的穩(wěn)健波束形成算法,算法的優(yōu)勢可以總結(jié)如下:① 在高SNR條件下克服了信號自消現(xiàn)象,且在低SNR條件下波束保形能力強。② 相比于WCPO、擴展ESB和改進(jìn)ESB等算法,無需進(jìn)行凸優(yōu)化、迭代運算、特征值分解和奇異值分解等操作,有效地降低了計算復(fù)雜度。③ 相比于其他需要加載電平的算法,所提方法的電平有效加載范圍更廣,便于加載系數(shù)的選擇。④ 在低采樣快拍的條件下克服了其他算法波束性能下降的缺陷。本文通過仿真驗證了方法的有效性和優(yōu)越性,為FDA-MIMO雷達(dá)波束形成的權(quán)矢量設(shè)計提供了參考。