曹亞麗, 李梅梅, 屈詩涵, 宋 昕

(1. 東北大學(xué)秦皇島分校計(jì)算機(jī)與通信工程學(xué)院, 河北 秦皇島 066004;2. 西安交通大學(xué)信息與通信工程學(xué)院, 陜西 西安 710049)

0 引 言

認(rèn)知雷達(dá)從目標(biāo)回波中獲得環(huán)境信息,充分利用目標(biāo)與環(huán)境知識(shí)改善發(fā)射信號(hào)的能量分配,不斷優(yōu)化發(fā)射波形,實(shí)現(xiàn)其自適應(yīng)性。目前,波形優(yōu)化主要以提高雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能、檢測性能、信號(hào)分辨率、雜波抑制能力和抗電子干擾能力為目的。設(shè)計(jì)波形時(shí)常用的優(yōu)化準(zhǔn)則有最大化互信息、最大化信干噪比、最小均方誤差(minimum mean squared error, MMSE)、最小化模板匹配誤差準(zhǔn)則等。

信息論在波形設(shè)計(jì)方面有著廣泛的應(yīng)用,文獻(xiàn)[2]首先提出最大化雷達(dá)目標(biāo)和回波之間的互信息來設(shè)計(jì)發(fā)射波形的方法,接收信號(hào)與目標(biāo)沖激響應(yīng)之間的互信息越大,目標(biāo)識(shí)別或目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能越好,以最大化互信息為優(yōu)化準(zhǔn)則,通過拉格朗日乘子法求解最優(yōu)波形。文獻(xiàn)[3]提出一種基于雙互信息優(yōu)化準(zhǔn)則的自適應(yīng)波形設(shè)計(jì)方法。該方法同時(shí)以接收信號(hào)與目標(biāo)沖激響應(yīng)之間的互信息最大和接收信號(hào)與雜波沖激響應(yīng)之間的互信息最小為優(yōu)化準(zhǔn)則,在發(fā)射信號(hào)能量有限的約束條件下,建立優(yōu)化模型,通過最大邊緣分配算法求解最優(yōu)波形。文獻(xiàn)[4]推導(dǎo)了互信息的邊界和信干噪比的作用閾,并在信號(hào)相關(guān)雜波環(huán)境下,提出一種信干噪比約束下基于最大化互信息的波形設(shè)計(jì)方法,證明了在有目標(biāo)且雜波弱的頻率點(diǎn)可優(yōu)化波形并提取目標(biāo)信號(hào)。文獻(xiàn)[5]通過設(shè)計(jì)接收濾波器和發(fā)射波形來最大化信干噪比,最大程度地提高雷達(dá)的探測能力。文獻(xiàn)[6]提出了一種博弈條件下的雷達(dá)波形設(shè)計(jì)方法,采用 Stackelberg 博弈框架進(jìn)行建模,以優(yōu)化雷達(dá)能量譜分布為策略,采用最大互信息準(zhǔn)則建立效用函數(shù)，經(jīng)過多次迭代,雙方達(dá)到納什均衡,實(shí)現(xiàn)了雷達(dá)發(fā)射波形的優(yōu)化。文獻(xiàn)[7]以雷達(dá)發(fā)射功率作為約束條件,以最大化目標(biāo)與接收回波間的互信息為目標(biāo),對(duì)認(rèn)知多輸入多輸出雷達(dá)的波形設(shè)計(jì)問題進(jìn)行建模,并采用卡爾曼濾波一步預(yù)測的方法對(duì)快速運(yùn)動(dòng)擴(kuò)展目標(biāo)的沖激響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測,實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的精準(zhǔn)估計(jì)。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于信噪雜比最大能量分配方法，該方法通過離散化的能量進(jìn)行合理分配,獲取回波的最大信干噪比,從而得到認(rèn)知雷達(dá)的最優(yōu)發(fā)射波形。文獻(xiàn)[9]針對(duì)不同干擾環(huán)境、目標(biāo)模型、天線配置等波形設(shè)計(jì)關(guān)鍵要素及主要思路進(jìn)行了總結(jié)梳理，從不同干擾與目標(biāo)知識(shí)的利用角度出發(fā),充分利用目標(biāo)與環(huán)境先驗(yàn)信息,設(shè)計(jì)雷達(dá)波形以提高目標(biāo)檢測、跟蹤以及抗干擾等性能,從而實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)探測和處理。

本文在上述研究基礎(chǔ)上,提出了將互信息與信干噪比聯(lián)合作為優(yōu)化準(zhǔn)則,使用最大邊緣分配算法,求解最優(yōu)波形。依據(jù)參數(shù)的變化,聯(lián)合準(zhǔn)則下的雷達(dá)信號(hào)模型既可同時(shí)提高互信息和信干噪比值,又可根據(jù)發(fā)射需求分別優(yōu)化互信息或信干噪比值,實(shí)現(xiàn)雷達(dá)信號(hào)模型的多模式和多任務(wù)化,為雷達(dá)波形優(yōu)化朝著多功能模型設(shè)計(jì)提供參考和依據(jù)。

1 系統(tǒng)模型的建立

圖1 獨(dú)立雜波背景下的信號(hào)模型Fig.1 Signal model in the independent clutter background

()=()·()+()·()+()=()+()+()

(1)

其傅里葉變換為

()=()+()+()

(2)

(3)

雜波信號(hào)的方差為

(4)

噪聲信號(hào)的方差為

(5)

(6)

令互信息譜密度為

(7)

在整個(gè)信號(hào)頻帶內(nèi),隨著區(qū)間帶寬Δ→0,這些頻率區(qū)間的數(shù)目不斷增加,經(jīng)過理想低通濾波器后,在極限思想下,得到目標(biāo)和回波的互信息的積分表達(dá)式為

MI=(();()|())=()-(|)=

(8)

信干噪比是反映雷達(dá)檢測性能的一個(gè)重要參數(shù),在圖1信號(hào)模型下,對(duì)于目標(biāo)沖激響應(yīng)(),可以得到信干噪比譜密度為

(9)

由于信號(hào)在一定時(shí)間內(nèi)是平穩(wěn)的,則在信號(hào)帶寬內(nèi),定義在雜波背景下針對(duì)觀測時(shí)間的目標(biāo)接收端信干噪比為

(10)

2 聯(lián)合互信息與信干噪比準(zhǔn)則

2.1 波形優(yōu)化準(zhǔn)則的建立

最大化互信息是衡量雷達(dá)目標(biāo)識(shí)別和目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能的優(yōu)化準(zhǔn)則,稱為MI準(zhǔn)則，最大化信干噪比是增強(qiáng)雷達(dá)目標(biāo)檢測性能的優(yōu)化準(zhǔn)則，稱為SINR準(zhǔn)則。由于認(rèn)知雷達(dá)系統(tǒng)需要更加靈活的設(shè)計(jì)模型,該模型不僅針對(duì)單一任務(wù)的雷達(dá)波形設(shè)計(jì),還能夠滿足多種雷達(dá)任務(wù)的發(fā)射波形設(shè)計(jì)。將互信息和信干噪比兩個(gè)參數(shù)作為設(shè)計(jì)雷達(dá)波形優(yōu)化準(zhǔn)則的依據(jù),同時(shí)定義參數(shù)、分別為聯(lián)合準(zhǔn)則中互信息和信干噪比的權(quán)重系數(shù)。在實(shí)際系統(tǒng)中,根據(jù)各種環(huán)境信息和發(fā)射需求,改變、值,可以使雷達(dá)發(fā)射波形的優(yōu)化準(zhǔn)則根據(jù)雷達(dá)發(fā)射需求不斷調(diào)整,從而實(shí)現(xiàn)雷達(dá)的目標(biāo)檢測性能或目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能的優(yōu)化。聯(lián)合互信息與信干噪比(mutual information and signal to interference noise ratio, MS)準(zhǔn)則為

(11)

式(11)為雷達(dá)波形優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù),能量約束條件為

(12)

由于互信息與信干噪比譜密度存在指數(shù)關(guān)系,當(dāng)最大化MS時(shí),互信息和信干噪比值可同時(shí)最大化,也可分別最大化?；バ畔⒅翟酱?雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)越精確,因而最大化互信息通常作為目標(biāo)參數(shù)估計(jì)和識(shí)別性能的準(zhǔn)則。信干噪比值越大,雷達(dá)目標(biāo)檢測概率越高,所以信干噪比通常作為雷達(dá)檢測性能的準(zhǔn)則。MS可根據(jù)工作環(huán)境和發(fā)射需求,通過較少次觀測數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)或目標(biāo)檢測性能的增強(qiáng)。

2.2 最大邊緣分配算法求解優(yōu)化波形

當(dāng)雜波不存在時(shí),信號(hào)模型可以通過拉格朗日乘數(shù)法求解,若存在雜波信號(hào),在求解最優(yōu)波形時(shí),需要對(duì)乘子進(jìn)行搜索,計(jì)算量大且繁瑣。因此,采用最大邊緣分配算法,通過能量的合理分配求解雷達(dá)最優(yōu)波形。在最大邊緣分配算法下,可以在相同的小頻段Δ內(nèi)對(duì)互信息和信干噪比的譜密度之和進(jìn)行求值,將式(11)離散化為

(13)

令：

()=|()|

(14)

(15)

(16)

因此,可得

(17)

對(duì)MS約束下的雷達(dá)波形設(shè)計(jì)的優(yōu)化問題,就轉(zhuǎn)化為在能量約束下,最大化。其中：

(18)

(19)

3 仿真結(jié)果和數(shù)值分析

3.1 仿真性能分析

為了分析最優(yōu)波形的互信息和信干噪比的變化率以及聯(lián)合優(yōu)化準(zhǔn)則中不同、值對(duì)雷達(dá)性能的影響,首先討論當(dāng)==1時(shí),雷達(dá)波形的性能,其模型參數(shù)如下:假設(shè)雜波的功率譜密度和目標(biāo)能量譜方差是已知的,信號(hào)的總能量為1,采樣點(diǎn)數(shù)為512,目標(biāo)長度和發(fā)射信號(hào)長度均設(shè)置為31,采樣頻率為2,信號(hào)的頻率為∈[0,1],噪聲功率譜密度為01,雷達(dá)波形如圖2所示。

圖2 目標(biāo)譜和雜波譜Fig.2 Target spectrum and clutter spectrum

根據(jù)式(11)得到信號(hào)優(yōu)化波形的能量譜如圖3所示,從圖3中的最優(yōu)發(fā)射波形圖可以看出,在某些雜波較小或?yàn)榱愕念l帶中,優(yōu)化后的波形為該頻帶分配更多的能量,而在雜波影響較強(qiáng)的頻帶中,即目標(biāo)波形相對(duì)虛弱的地方,將分配較少的能量,但仍得到了目標(biāo)頻譜。

圖3 基于MS的優(yōu)化波形能量譜Fig.3 Optimal waveform energy spectrum based on MS

表1為3種優(yōu)化準(zhǔn)則下,雷達(dá)波形設(shè)計(jì)的仿真數(shù)據(jù),從表中可以看出,MS下的互信息值和信干噪比值優(yōu)于單獨(dú)任一準(zhǔn)則下的數(shù)據(jù),并且隨著值的增加,Δ越小,最優(yōu)波形不斷精確,從而接近于一條光滑的曲線。但隨著的增加計(jì)算量不斷加大,本文綜合考慮，值取為1 000,此時(shí)得到的最優(yōu)波形較平滑且計(jì)算量適中。(基于MS的優(yōu)化波形的互信息處于最大化互信息的優(yōu)化波形的互信息和最大化信干噪比的優(yōu)化波形的互信息數(shù)值之間,基于MS的優(yōu)化波形的信干噪比處于最大化互信息的優(yōu)化波形的信干噪比和最大化信干噪比的優(yōu)化波形的信干噪比數(shù)值之間)。因此，MS則可以根據(jù)實(shí)際環(huán)境和發(fā)射需求,改變、值,實(shí)現(xiàn)雷達(dá)波形的不同性能需要。

表1 不同優(yōu)化準(zhǔn)則下的互信息和信干噪比Table 1 Mutual information and SINR under different optimization criteria

3.2 關(guān)于系數(shù)的討論

在=情況下分析了MS優(yōu)化下雷達(dá)波形的性能后,下面討論、取不同的值時(shí),MS對(duì)雷達(dá)目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能或檢測識(shí)別性能的影響。當(dāng)≠時(shí),假設(shè)=1,=1,=,=,則MS()=MI+SINR,同時(shí)定義=mean(MI-SINR),mean指對(duì)括號(hào)內(nèi)的一維矩陣求均值。圖4為互信息和信干噪比關(guān)系的比較圖,討論了不同、值下,雷達(dá)波形最優(yōu)時(shí)()=mean(MI-SINR)的解。

圖4 互信息和信干噪比關(guān)系圖Fig.4 Chart of the relationship between mutual information and SINR

當(dāng)∈[05,15],取值間隔為01,可以得出()和的曲線如圖5所示。擬合后發(fā)現(xiàn)()與軸的交點(diǎn)是(1058,0),因此,當(dāng)=1058時(shí),互信息和信干噪比在性能分析中的權(quán)重相同。當(dāng)<1058時(shí),相對(duì)于互信息而言,信干噪比權(quán)重大,此時(shí)雷達(dá)波形設(shè)計(jì)更偏向于優(yōu)化信干噪比,雷達(dá)的檢測性能會(huì)更好;當(dāng)>1058時(shí),互信息值權(quán)重大,說明對(duì)雷達(dá)波形的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)更精確,優(yōu)化模型識(shí)別性能更好。

圖5 S(p)和p關(guān)系曲線 Fig.5 Relationship curve of S(p) and p

為了進(jìn)一步驗(yàn)證聯(lián)合準(zhǔn)則的性能,記錄下最大邊緣分配算法的每一步選擇最大值的位置,畫出不同值下能量分配到不同位置的變化率曲線,如圖6所示。與=1點(diǎn)相比,最大邊緣分配算法下的每一步選擇最大值的位置變化率較大,因此可根據(jù)發(fā)射環(huán)境、發(fā)射需求、雜波特點(diǎn)等實(shí)際情況分配信號(hào)能量位置,實(shí)現(xiàn)波形優(yōu)化。

圖6 不同q值下能量分配的位置變化率Fig.6 Position change ratio of energy distribution under different q

同理,使用最大邊緣分配算法得到不同值下最優(yōu)波形()的變化率,與=情況下的優(yōu)化波形相比,波形變化的比率非常小。說明改變,雷達(dá)優(yōu)化波形能量譜的趨勢基本無變化,如圖7所示。

圖7 不同q值下的X(f)的變化率Fig.7 Change ratio of X(f) under different q

3.3 關(guān)于增減率的分析

為了進(jìn)一步探究MS的性能,設(shè)置參數(shù)和來討論互信息譜密度和信干噪比譜密度之間的增減性,和的定義如下所示:

(20)

(21)

令∈[0,1],繪制式(20)和式(21)的曲線,如圖8所示。由圖8可見，互信息譜密度和信干噪比譜密度有著相似的增減率,最優(yōu)發(fā)射波形形狀基本不會(huì)發(fā)生變化。也就是說，改變、值時(shí),MS可以實(shí)現(xiàn)不同權(quán)重的互信息或信干噪比優(yōu)化波形,使得信號(hào)模型在雷達(dá)目標(biāo)檢測或識(shí)別性能方面達(dá)到各自的最優(yōu)狀態(tài)。

圖8 互信息和信干噪比譜密度的增減率Fig.8 Gradient ratio in spectral density of mutual information and SINR

4 結(jié) 論

本文提出了一種MS下的波形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,該方法綜合考慮了目標(biāo)與回波信號(hào)之間的互信息與信干噪比。由于互信息譜密度和信干噪比譜密度存在一定的指數(shù)關(guān)系,MS既可最大化互信息又可最大化信干噪比值。當(dāng)改變、值時(shí),優(yōu)化波形的特征參數(shù)屬性不變,通過改變、的取值,MS下的雷達(dá)信號(hào)模型可以實(shí)現(xiàn)多種模式和多種任務(wù)工作。最終,系統(tǒng)通過一次或較少次數(shù)的觀測數(shù)值完成目標(biāo)參數(shù)估計(jì)、檢測或估計(jì)性能的分析,為雷達(dá)波形設(shè)計(jì)朝著多種任務(wù)發(fā)展提供參考和依據(jù)。