屈 陽， 劉明勇， 鄧恩喜， 胡成龍

(湖北工業(yè)大學(xué)農(nóng)機工程研究設(shè)計院， 湖北 武漢 430068)

齒輪輪齒折斷在失效形式中所占比例最高[1]。受齒輪加工制造工藝、工作環(huán)境以及保養(yǎng)維護(hù)等因素影響，齒輪工作一段時間后輪齒會產(chǎn)生裂紋，而裂紋會隨著齒輪的運轉(zhuǎn)時間推移而逐步擴展，最終輪齒發(fā)生斷齒。

Zouari[2]等以齒根最大彎曲應(yīng)力作為載荷，研究了齒根裂紋萌生和擴展。李有堂[3]通過改變裂紋初始角度，分析了裂紋的擴展規(guī)律。王曦等[4]建立含初始裂紋的齒輪動態(tài)耦合模型，模擬變載荷下齒根裂紋的擴展軌跡。吳金亮[5]通過斜齒輪接觸節(jié)點施加固定載荷，討論了齒根裂紋前緣的應(yīng)力強度因子以及裂紋擴展壽命。王延忠[6]研究了面齒輪三維裂紋的擴展特性以及疲勞壽命，分析了載荷、粗糙度等因素對裂紋壽命的影響。徐德濤等[7]基于有限元方法研究了直齒輪齒根初始裂紋尺寸、方向以及位置對裂紋擴展路徑的影響。趙國平等[8]以齒輪材料內(nèi)部微觀晶體的大小作為表面初始裂紋萌生的尺寸，分析了齒輪接觸區(qū)疲勞裂紋萌生及擴展過程全壽命。李剛[9]應(yīng)用線彈性斷裂力學(xué)理論，研究斜齒輪靜態(tài)工況下載荷大小等因素對齒根裂紋擴展軌跡及壽命的影響。高云[10]應(yīng)用齒根彎曲應(yīng)力30°切線法確定裂紋萌生位置，模擬了斜齒輪齒根裂紋擴展特性，并預(yù)測了裂紋擴展壽命。劉東一[11]研究了萌生于靠近輪齒端面齒根處的裂紋擴展機理。劉懷舉等[12]通過Python腳本建立齒面裂紋擴展有限元模型，研究了初始裂紋角度對裂紋擴展壽命和疲勞壽命的影響。大多數(shù)學(xué)者側(cè)重于研究齒輪二維裂紋，少數(shù)學(xué)者更關(guān)注研究斜齒輪齒根三維裂紋，但基本采用齒根彎曲應(yīng)力30°切線法確定裂紋萌生位置和初始裂紋角度，以齒頂加載以及靜態(tài)工況的方式模擬齒輪實際工況下裂紋的擴展。

本文通過準(zhǔn)靜態(tài)工況下齒輪接觸分析，確定裂紋萌生位置以及初始裂紋角度，建立含初始裂紋的斜齒輪接觸模型，模擬準(zhǔn)靜態(tài)工況下齒輪嚙合過程中齒根三維裂紋的擴展軌跡，分析了裂紋擴展特性，預(yù)測裂紋擴展壽命，并研究載荷，裂紋形狀等因素對齒根初始裂紋應(yīng)力強度因子分布的影響。

1 含初始裂紋的斜齒輪接觸模型建立

1.1 斜齒輪接觸分析

應(yīng)用如表1所示的幾何參數(shù)建立斜齒輪三維模型。 為了減小計算量，截取大小齒輪的6個齒進(jìn)行接觸分析；網(wǎng)格單元選用6面體C38R進(jìn)行網(wǎng)格劃分,對輪齒接觸面以及齒根位置做網(wǎng)格加密處理?，F(xiàn)對從動輪中心5個自由度約束，釋放僅在施加z軸旋轉(zhuǎn)的自由度，施加轉(zhuǎn)速0.5 r/s;對主動輪中心同樣約束5個自由度，僅在主動輪中心點施加沿z軸旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩1000 N·m，建立斜齒輪接觸彈性模型，不考慮齒面摩擦和溫升等因素(圖1)。

表1 斜齒輪幾何模型基本參數(shù)

圖1 斜齒輪約束及載荷施加方式

1.2 裂紋萌生位置的確定

以主動輪2齒為研究對象。由圖2可知，最大主應(yīng)力值集中分布在齒根中間部分，將主動輪沿x-y平面由齒寬中部切開(圖3a)，提取嚙合過程中齒根中間部分9個節(jié)點。圖3b展示了最大主應(yīng)力隨時間變化的曲線。結(jié)果表明：最大主應(yīng)力值的位置出現(xiàn)在節(jié)點66430，故將此節(jié)點作為齒根裂紋萌生的起始位置。

圖2 主動輪齒根應(yīng)力分布云圖

圖3 齒根應(yīng)力-時間變化曲線

建立含初始半橢圓裂紋的主動輪接觸模型(圖4)。其中：齒根初始裂紋b、a分別代表裂紋深度(短軸半徑)和長軸半徑；第1、2和3點分別代表了半橢圓裂紋前緣的左、中、右3個端點[15]。

圖5中：AB表示初始裂紋，A為節(jié)點66 430。提取節(jié)點最大主應(yīng)力方向，基于最大周向應(yīng)力理論[1]可知：節(jié)點最大應(yīng)力的角度即為初始裂紋角度θ=63.7°。

圖4 主動輪模型 圖 5 初始裂紋參數(shù)表達(dá)

齒輪嚙合過程中，由于輪齒間的接觸壓力大于微觀晶粒內(nèi)部發(fā)生塑性變形的極限應(yīng)力，周而復(fù)始的晶粒塑性變形將最終導(dǎo)致疲勞裂紋的萌生，可將晶粒的大小近似視為初始裂紋尺寸[8]；故設(shè)置初始裂紋a=0.4 mm，b=0.2 mm，初始裂紋角度為63.7°，建立含初始裂紋的斜齒輪接觸模型，其他參數(shù)均不改變。

2 裂紋擴展軌跡以及擴展壽命分析

2.1 裂紋擴展軌跡

以初始裂紋a=0.4 mm，b=0.2 mm作為研究對象，主動輪中心施加扭矩1000 N·m，從動輪中心施加轉(zhuǎn)速0.5 r/s；將最大周向正應(yīng)力理論作為裂紋開裂判斷依據(jù)[1]，模擬準(zhǔn)靜態(tài)工況下齒根裂紋擴展軌跡并進(jìn)行分析；裂紋擴展總共經(jīng)歷了30步，其擴展軌跡如圖6所示。

圖6 齒根裂紋擴展軌跡

由圖6可得，從初始裂紋擴展到第15步階段，裂紋在齒根表面始終沿著齒寬方向水平擴展；當(dāng)裂紋擴展到第20步時，可明顯觀察到沿齒寬方向裂紋擴展軌跡發(fā)生了改變，出現(xiàn)沿齒頂方向的擴展趨勢。由于裂紋擴展過程中KⅡ(Ⅱ型應(yīng)力強度因子)、KⅢ(Ⅲ型應(yīng)力強度因子)的值發(fā)生改變，導(dǎo)致裂紋擴展方向發(fā)生了變化；第20步后裂紋繼續(xù)擴展，直至裂紋擴展結(jié)束。由第30步擴展軌跡可知：此時沿齒寬方向擴展的裂紋長度要大于沿齒厚方向擴展的裂紋長度，即裂紋擴展過程中齒寬方向的擴展速率大于齒厚方向，故KⅠ曲線表現(xiàn)為中間小兩端大的分布規(guī)律。

圖7a展示了齒根裂紋擴展軌跡的仿真結(jié)果，圖7b[13]為北京建筑大學(xué)祝赫鍇模擬齒輪嚙合過程中齒根裂紋擴展軌跡的實驗結(jié)果[14]。當(dāng)裂紋沿齒寬方向擴展結(jié)束后，沿著齒厚方向朝著另一側(cè)齒根方向繼續(xù)擴展，最終將發(fā)生斷齒行為；裂紋擴展軌跡的仿真結(jié)果與北京建筑大學(xué)祝赫鍇的齒輪試驗件疲勞試件裂紋路徑相近[14]，驗證了上述仿真結(jié)果的正確性。

圖7 仿真和實驗結(jié)果對比

2.2 裂紋擴展壽命預(yù)測

圖8展示了齒根裂紋擴展過程中KⅠmax(應(yīng)力強度因子最大值)的變化趨勢。在裂紋擴展過程中，隨著擴展步數(shù)不斷增加，KⅠmax值也隨之增加，呈現(xiàn)先慢后快的增加趨勢；當(dāng)擴展步數(shù)達(dá)到25步之后，Ⅰ型應(yīng)力強度因子最大值超過應(yīng)力強度因子極限值KIC=2730 N·mm-3/2后，裂紋隨即達(dá)到失穩(wěn)擴展階段。此時，由式(2)可得，失穩(wěn)擴展階段裂紋的擴展長度為18.14 mm。

圖8 Ⅰ型應(yīng)力強度因子最大值變化曲線

齒輪材料為42CrMo，材料常數(shù)C=1.20×10-8，m=2.0，不考慮表面粗糙度、殘余應(yīng)力和輪齒修形量等因素對裂紋擴展壽命的影響。通常疲勞裂紋的擴展由裂紋萌生、裂紋穩(wěn)定擴展和裂紋失穩(wěn)擴展這3個階段組成。當(dāng)裂紋處于失穩(wěn)擴展階段時，齒輪即將產(chǎn)生輪齒斷裂行為[13]。

通?；诮?jīng)典的Paris公式來計算齒根裂紋的擴展壽命：

(1)

式中:a為裂紋長度；C，m為材料常數(shù)；ΔK為應(yīng)力強度因子應(yīng)力幅度，ΔK=Kmax-Kmin;N為載荷循環(huán)次數(shù)。

圖9為式(2)計算的裂紋擴展壽命變化曲線?？梢姡涸邶X根裂紋初始擴展階段，裂紋擴展速率較低；當(dāng)沿齒寬方向的裂紋擴展達(dá)到2.4 mm左右，裂紋擴展速率逐漸加快，與理論裂紋擴展速率曲線[12]相符合。通過計算可知，當(dāng)裂紋擴展達(dá)到18.14 mm，此時KⅠmax值已經(jīng)超過斷裂韌性極限值KIC，隨即進(jìn)入裂紋失穩(wěn)擴展階段，齒輪將發(fā)生斷齒。由于失穩(wěn)階段的擴展速率很高，時間極短，所以此階段的壽命可忽略不計，故只計算穩(wěn)定擴展階段的壽命，即預(yù)測齒根裂紋擴展的循環(huán)壽命約為2.6×106次。

圖9 裂紋擴展壽命曲線

圖10a的橫坐標(biāo)軸采用歸一化裂紋前緣長度描述裂紋因子所在的位置，即半橢圓裂紋前緣節(jié)點到起始點的弧長與整個弧長的比值[15]。圖10a為初始裂紋、第15步以及第25步裂紋的KⅠ變化曲線，圖10b為裂紋擴展過程中裂紋前緣3點的KⅠ值。

(a)裂紋前緣KⅠ分布曲線

(b)第1、2和3點圖10 裂紋擴展過程KⅠ應(yīng)力強度因子變化曲線

如圖10b所示，裂紋擴展過程中，初始裂紋、第15步以及第25步的裂紋第1、3點KⅠ值均高于第2點值，故圖10a中KⅠ值曲線表現(xiàn)中間小兩端大的分布規(guī)律。綜上所述，裂紋擴展過程中裂紋前緣兩端KⅠ值遠(yuǎn)大于中點值，故沿齒寬方向的擴展速率大于沿齒厚方向的擴展速率，因此KⅠ曲線呈現(xiàn)中間小兩端大的變化趨勢。

3 齒根裂紋前緣應(yīng)力強度因子分析

觀察裂紋擴展軌跡可知：齒根裂紋擴展過程中主要是以張開型為主導(dǎo)的復(fù)合型裂紋，故本文只針對Ⅰ裂紋應(yīng)力強度因子的變化進(jìn)行研究。

為了方便計算，將計算KⅠ(Ⅰ型裂紋應(yīng)力強度因子)的公式[1簡化為

(2)

式中：σ為外加的名義應(yīng)力，MPa；a為裂紋尺寸，mm。

3.1 載荷大小

為了研究載荷大小對初始裂紋Ⅰ型應(yīng)力強度因子的影響，從動輪轉(zhuǎn)速始終保持不變，主動輪中心施加不同轉(zhuǎn)矩(即800、1000、1200、1500 N ·m)，其變化曲線如圖11所示。

圖11 不同載荷下初始裂紋前緣KⅠ分布曲線

由圖11a可知：載荷與KⅠ之間呈現(xiàn)近似正比的線性關(guān)系，即隨著載荷的增大，KⅠ值隨之增加；隨著扭矩的不斷加大，KⅠ拋物線形式的曲線由平緩變得越來越陡峭。如圖11b所示：第1、2和3點的KⅠ值隨載荷的增加而增加，當(dāng)扭矩小于1500 N ·m時，第3點的應(yīng)力強度因子略大于第1點，說明第3點的擴展速率大于第1點；當(dāng)扭矩高于1500 N ·m，第1點的擴展速率大于第3點的擴展速率。第1和3點的KⅠ值趨于相同，遠(yuǎn)大于第2點的KⅠ值，故不同載荷的KⅠ曲線仍保持兩端大中間小的分布規(guī)律。

3.2 初始裂紋角度

齒根裂紋初始角度為90°時，KⅠ值最大[3]，而文獻(xiàn)[5]、[7]分別研究了齒根裂紋初始角度為45°、60°裂紋的擴展特性。為了研究齒根初始裂紋不同擴展方向?qū)Β裥蛻?yīng)力強度因子的影響，主動輪施加扭矩1000 N·m，分別選取初始裂紋角度為45°、60°、90°進(jìn)行分析，其變化曲線如圖12所示。

圖12 不同初始裂紋角度下KⅠ的變化曲線

由圖12可得:初始裂紋角度為90°(即沿水平方向擴展)時，KⅠ值最大；隨著初始裂紋角度增大，KⅠ值隨之增加，此變化規(guī)律與文獻(xiàn)[3]相同；初始裂紋角度的變化不會影響裂紋沿齒寬方向以及齒厚方向的擴展速率，應(yīng)力強度因子曲線仍保持兩端小中間大的分布規(guī)律。

當(dāng)初始裂紋角度為60°和63.7°時，兩者的KⅠ變化曲線基本重合，說明以齒根最大主應(yīng)力提取的裂紋萌生位置，與齒根彎曲應(yīng)力30°切線法確定的初始裂紋萌生位置趨于相同，驗證了初始裂紋角度為63.7°的正確性。

3.3 裂紋形狀

主動輪扭矩保持1000 N·m不變，保持初始裂紋a=0.4 mm固定不變，分別取b=0.2、0.3、0.4、0.5、0.6 mm，研究不同形狀的半橢圓裂紋對初始裂紋前緣KⅠ的變化規(guī)律(圖13)。

(a)裂紋前緣

(b)第1、2和3點圖13 不同長軸半徑b時初始裂紋前緣KⅠ分布曲線

由圖13b可得:同一載荷下，隨著長半軸b的增大，裂紋的第1、3點的值緩慢減小，而第2點的值卻持續(xù)變大，說明裂紋長半軸b與裂紋前緣尖端的KⅠ值成正比關(guān)系，而與裂紋兩端的KⅠ值成反比關(guān)系。當(dāng)長半軸b為0.6 mm時，第2點的KⅠ值略大于第1和3點的值，因此圖13a的曲線趨勢發(fā)生了變化，由兩端大中間小的分布規(guī)律變化為兩端小中間大的分布規(guī)律，即裂紋沿齒厚方向的擴展速率大于沿齒寬方向的擴展速率。

4 結(jié)論

1)通過齒輪接觸分析提取齒根最大應(yīng)力節(jié)點位置，確定了裂紋萌生位置以及初始裂紋角度。

2)研究初始齒根裂紋的擴展軌跡可知：初始裂紋沿齒寬方向擴展到一定長度時，擴展方向發(fā)生改變，即沿著齒頂方向繼續(xù)擴展，直到裂紋達(dá)到失穩(wěn)擴展階段；由此可預(yù)測齒輪材料為42CrMo，工況為1000 N·m下，裂紋擴展的循壞壽命約為2.6×106次。

3)觀察裂紋擴展軌跡可知：齒根裂紋從其擴展過程看主要是以張開型為主導(dǎo)的復(fù)合型裂紋；KⅠ曲線表現(xiàn)為兩端大中間小的變化規(guī)律，說明沿齒寬方向的裂紋擴展速率大于沿齒厚方向的速率。

4)載荷與KⅠ值呈現(xiàn)近似正比的線性的關(guān)系，即載荷越大KⅠ值越大；KⅠ值隨著裂紋初始角度的增加而增加，但不會影響裂紋擴展速率的變化規(guī)律；當(dāng)裂紋深度a固定，裂紋寬度b與裂紋前緣尖端的KⅠ值成正比關(guān)系，與裂紋兩端的KⅠ值成反比關(guān)系，即裂紋前緣尖端KⅠ值隨著的b增加而增加，裂紋兩端的KⅠ值隨著的b增加而減小，因此裂紋尖端擴展速率發(fā)生變化，故KⅠ曲線逐漸呈中間大兩端小的變化趨勢。