李青竹，李志寧，石志勇，范紅波

（陸軍工程大學 車輛與電氣工程系，河北 石家莊 050003）

1 引言

多個磁目標同步探測是極具挑戰(zhàn)的工作。作為磁法勘探領(lǐng)域的研究熱點，目前多目標磁定位研究已在山脈礦產(chǎn)勘探［1］、腦磁圖定位［2］、航天器 磁 特 征 檢 測［3］和 未 爆 彈（Unexploded Ordnance，UXO）探測［4］等領(lǐng)域中具有重要應用。一般地，目標定位和識別（Positioning and Recognition，PR）即是利用測量磁場數(shù)據(jù)對區(qū)域內(nèi)磁性目標的位置和磁矩進行估算的問題。當磁化均勻且源中心與觀測點間距大于目標最大尺寸的2.5倍時，磁源通常被認為是磁偶極子［5］。磁偶極子物性參數(shù)可用六個自由度進行描述，即空間位置（x，y，z）和磁矩（mx，my，mz），故多個緊湊源PR檢測即對多個磁偶極子的位置和磁矩共六個參數(shù)進行估計。磁梯度張量（Magnetic Gradient Tensor，MGT）［6］是磁場在空間正交方向上的變化率，也是磁標勢的二次偏微分，其信息度更高，受磁化方向影響小，已成為磁探測領(lǐng)域研究前沿。此外，MGT特征值和不變量等信息能減少系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)誤差和背景磁場干擾，對于磁源PR更具優(yōu)勢。目前基于MGT測量的磁偶極子單點定位算法已較成熟，如張量衍生不變關(guān)系定位法［7］和二階磁張量歐拉反褶積定位法［8］，通過磁梯度張量系統(tǒng)（Magnetic Gradient Tensor System，MGTS）［5］進行航線測量，可對測區(qū)內(nèi)孤立磁源具有較高的單點定位精度。然而，當多個目標出現(xiàn)在不同埋深，且其分布和磁矩均不相同時，弱磁性目標常因多個磁異常場相互疊加被淹沒，這使得僅利用單點方法進行磁源PR探測陷入瓶頸。

針對多磁源PR問題，1993年Hansen等［9］提出利用Werner反褶積方法對多源磁目標進行二維反演；此 后Hansen［10］又 將 多 源Werner反 褶 積方法拓展到了三維并進行了盆地復雜數(shù)據(jù)測量。這些算法的一個主要缺點是需要在實際計算之前定義磁性目標的數(shù)量，可實際應用中目標數(shù)目是很難提前知曉的。王林飛等人［11］通過歸一化磁場垂向?qū)?shù)與z方向解析信號的比值得到MGT解析信號來識別目標最佳范圍和深度，李金朋等人［12］也提出利用歸一化磁源強度和同質(zhì)性方程對測區(qū)平面進行邊界識別以估計平面下方目標的位置和埋深，但這些方法需要人為對等高線圖進行鑒別，以確定目標的水平分布和數(shù)目，探測效率低、虛警率高且結(jié)果受噪聲干擾較大。

由此可見，對測區(qū)內(nèi)目標數(shù)目進行自適應識別以適用于更成熟的定位方法并提高位置估計精度是必要的。Ugalde等［13］曾使用核密度分布算法過濾不相關(guān)目標位置解，通過模糊c-means聚類（Fuzzy c-means Clustering，F(xiàn)CM）［14］算法的聚類質(zhì)心來估計異常源的地質(zhì)分布和走向，這種解決方法可能為磁偶極子的多目標檢測和識別提供思路。此外，Davis［15］開發(fā)了一種基于希爾伯特變換的擴展歐拉反褶積方法用于多個UXO目標的自動檢測，Davis使用不同滑動窗口內(nèi)的反演結(jié)果來估計目標位置。參考劃分方窗區(qū)域的思路，我們嘗試對目標分布區(qū)域進行預先識別，以提高多目標PR檢測精度。然而，經(jīng)典FCM算法需要預設初始聚類質(zhì)心數(shù)目，但僅靠經(jīng)驗法預設數(shù)目無法保證FCM收斂到最優(yōu)解，也不能為多目標的自適應PR檢測提供幫助。目前已有一些自適應模糊c-means（Adaptive Fuzzy c-means Clustering，AFCM）聚類算法［16-17］，通過評價聚類效果的有效性函數(shù)（Clustering Validity Function，CVF）和試錯迭代來確定最優(yōu)聚類數(shù)。本文中，我們設計了適用于目標初始位置點云的AFCM聚類有效性函數(shù)，為實現(xiàn)多目標自適應PR檢測提供可能。

本文方法為基于AFCM聚類和張量不變量的目標多源定位方法。首先，利用MGT不變量中對磁化方向相對不敏感的歸一化磁源強度和張量縮并［18］來對MGTS網(wǎng)格內(nèi)測量節(jié)點進行目標預識別和區(qū)域劃分。接著利用張量衍生不變關(guān)系定位方法對識別區(qū)域內(nèi)的網(wǎng)格節(jié)點進行單點定位計算，獲得一定數(shù)量的目標初始位置解集。最后，利用AFCM算法對這些解集形成的稠密點云進行三維聚類并自動估計簇質(zhì)心數(shù)目和質(zhì)心位置。目標正上方處的MGT矩陣和位置坐標可用以計算磁矩矢量。該方法具備如下優(yōu)勢：（1）分布區(qū)域的預識別能極大提高AFCM的聚類自適應識別精度；（2）由于MGT隨目標距離四次方衰減［18］，處于源正上方區(qū)域的節(jié)點處定位結(jié)果更加可靠，且該過程能排除大部分虛假解；（3）自適應算法的目標識別過程不需要人為對測區(qū)等高線特征進行鑒別和判斷。

2 張量不變量用于目標區(qū)域識別

2.1 MGT的不變量

無源靜磁場中，MGT矩陣可對角化且僅五個張量分量相對獨立［5］。以G表 示MGT矩 陣，λ1、λ2和λ3表示G的特征值，v1、v2、v3分別為特征值λ1、λ2、λ3對 應 的 特 征 向 量，且 滿 足λ3-I0λ2+I1λ-I2=0 及 |λ1|≥|λ3|、|λ2|≥|λ3|、λ2≥λ3≥λ1，λ3稱中間特征值，λ1和λ2分別稱最小和最大特征值。若gij（i，j=x，y，z）為MGT分量，則G及其部分MGT不變量可由以下方程表示：

其中：不變量I0和I2分別為G的跡和行列式；u即為歸一化磁源強度（Normalized Source Strength，NSS）［18］；c為G的Frobenius范數(shù)，又稱張量縮并（Contraction of Tensor，CT）。

2.2 不變量改進傾斜角的目標區(qū)域識別

平面網(wǎng)格測量的優(yōu)勢是測區(qū)內(nèi)觀測點多，相比單點或航線測量信息量更大。網(wǎng)格測量可利用磁場特征量計算，獲取測區(qū)下方目標的水平分布信息，并極大提高多磁性目標定位的效率和精度。由于待測物體間磁異常場相互疊加，弱磁物體常被強磁物體磁場所掩蓋，一些常規(guī)特征量，如磁異?？倛鰪姸龋═otal Magnetic Intensity，TMI）［6］、MGT分量、NSS、CT等，很難通過設置區(qū)域閾值等高線來圈定目標區(qū)域。當閾值設置過大對弱磁性和過埋深目標發(fā)現(xiàn)率低，而閾值設置過小會使得目標虛警率高，這為磁異常的自動檢測帶來困難。

傾斜角（θTilt）［19］是位場標勢的總水平導數(shù)和垂向?qū)?shù)之比的反正切函數(shù)的角度值，表達式為：

其中：U為位場標勢，?U?x、?U?y和?U?z分別表示U在三軸正交方向上的偏導數(shù)。在磁場中，U為磁標勢，其偏導數(shù)即為磁場矢量。磁場傾斜角對源埋深和磁化強度不敏感，且為固定閾值的無量綱特征量，可同時描述區(qū)域內(nèi)不同深度和強度的磁源，特別適合用于多目標數(shù)目和分布區(qū)域的自動檢測。

傾斜角的缺點是容易受到磁化方向的影響，因此傾斜角能一定程度識別測區(qū)中埋深和磁矩不同的多個目標的數(shù)目和大致分布，但是分布區(qū)域受磁化方向影響將出現(xiàn)偏差。一般而言，MGT不變量中NSS和CT對磁化方向最不敏感［18］。在此基礎上，本文將NSS、CT引入傾斜角公式，得到兩個由不變量改進的傾斜角，表達式為：

其中：u為NSS，c為CT，其水平導數(shù)可利用空間域差分法估計得到；?u?z和?c?z不服從Laplace方程，故其不是NSS和CT的垂向?qū)?shù)［18］，但可利用頻率域Fourier變換計算得到；θNSSTilt即為NSS不變量改進傾斜角，θCTTilt即為CT不變量改進傾斜角。θNSSTilt和θCTTilt無量綱，其取值范圍為-π/4到π/4，致密源正上方處取值為π/4，且當觀測點遠離源上方區(qū)域后將迅速衰減至-π/4。θNSSTilt和θCTTilt對磁化方向、源距離均不敏感，當選定一固定等高線閾值時，該值能在區(qū)域MGTS檢測極限范圍內(nèi)［5］快速圈定目標數(shù)目和分布位置，實現(xiàn)多目標預識別。

3 AFCM聚類算法用于多目標位置估計

航線測量中，目標單點定位算法可對孤立磁源進行連續(xù)追蹤定位，連續(xù)計算的位置解將在目標空間區(qū)域附近形成稠密點云。將航線測量離散化，并將數(shù)條航線并列排開，即形成網(wǎng)格測量。相較于航線測量，網(wǎng)格測量觀測點雖不連續(xù)，但在目標區(qū)域預識別基礎上，仍能利用單點定位算法計算目標位置正上方識別區(qū)域內(nèi)的節(jié)點的位置點云，這為多目標解集的AFCM聚類估計提供依據(jù)，如圖1所示。

圖1 識別區(qū)域內(nèi)磁偶極子定位結(jié)果形成的稠密點云Fig.1 Dense point cloud formed by magnetic dipole positioning results in the recognition area

3.1 張量衍生不變關(guān)系的目標單點定位

尹等［20］提出了MGT幾何不變量的概念，李青竹等［7］針對MGTS測量過程將這種量歸納為MGT衍生不變關(guān)系。若磁偶極子用六個未知量描述：位置矢量r=（x，y，z）T和磁矩矢量m=（mx，my，mz）T，其中r為偶極子到MGTS觀測點間的相對坐標，則有如下關(guān)系。

3.1.1 磁矩夾角不變關(guān)系

其中，‖·‖是2范數(shù)，即m與r間夾角θ是不變的，且等于中間特征值λ3與歸一化磁源強度u之比的反余弦函數(shù)。

3.1.2 特征向量不變關(guān)系

即中間特征值對應特征向量v3與m、r所在平面是垂直的，而最大、最小特征值對應特征向量v1、v2與m、r所在平面是共面的。

利用衍生不變關(guān)系可對區(qū)域內(nèi)孤立磁偶極子進行定位，該方法對每個觀測點提供了四種可能的坐標解，這些位置解關(guān)于觀測點空間象限對稱，且只有一個是真實解［7］：

3.2 磁源定位初始位置點云的AFCM聚類分析

當檢測區(qū)域存在多個磁源時，衍生不變關(guān)系定位方法估計位置將近似聚集在磁源附近，圖1中每個點云簇的質(zhì)心可用于估計源的位置。聚類分析在解決許多問題中一直發(fā)揮著重要作用，而聚類數(shù)［16］是最重要的參數(shù)。計算的磁偶極子初始位置向量在目標真實位置附近聚集程度很高，而零散的虛假解和失敗解可能極度偏離目標區(qū)域，這使得根據(jù)經(jīng)驗法則隨機選擇聚類質(zhì)心時會出現(xiàn)虛假質(zhì)心和位置偏移的可能。如果預定義的聚類數(shù)不正確，聚類結(jié)果可能會偏離給定數(shù)據(jù)集的真實結(jié)構(gòu)。因此，實際應用中多目標自適應PR檢測的關(guān)鍵即是利用算法自動找到的最優(yōu)聚類數(shù)。

首先給出FCM聚類的計算過程。假定R=｛r1，r2，…，rn｝為總數(shù)為n的有限目標初始位置向量數(shù)據(jù)集，其中ri為第i個三維坐標向量；V=｛v1，v2，…，vc｝為總數(shù)為c的聚類簇質(zhì)心，其中vi為第i個三維聚類中心；U=（uik）（n×c）為模糊劃分矩陣，uik表示第i個樣本屬于第k簇的隸屬（緊湊）程度。uik和vk的初始化及更新過程［17］遵循：

其中：ri-vk表示第i個向量到第k個簇質(zhì)心之間的相對距離向量，m（m∈［1，∞））是模糊加權(quán)指數(shù)，控制成員的模糊性。m值越大由此產(chǎn)生的成員隸屬便更加模糊，Pal等人［21］建議m應該在1.5和2.5之間，若無特殊要求通常m=2。FCM算法通過更新U和V，實現(xiàn)如式（9）所示目標函數(shù)的最小化迭代過程：

FCM聚類的具體步驟如下：

（1）初始化聚類的簇質(zhì)心數(shù)c、模糊指數(shù)m、最大迭代次數(shù)itermax和閾值ξ；

（2）根據(jù)隸屬度的約束隨機初始化模糊分區(qū)U（0）；

（3）在第t步迭代，根據(jù)式（8）計算全部c簇質(zhì)心V（t）；

（5）根據(jù)式（8）計算U（t+1），并返回步驟（3）；

（6）將當前對象按照最大隸屬度原則排列進簇，并完成迭代。

FCM聚類需要預設聚類數(shù)c，AFCM算法可通過設置聚類數(shù)的搜索范圍運行FCM生成不同聚類數(shù)的聚類結(jié)果，選擇合適的聚類有效性函數(shù)評價聚類結(jié)果，最終確定FCM最優(yōu)聚類數(shù)。1991年，Xie和Beni設計了一種基于模糊緊湊度和分 離度的CVF［22］。隨后，Bensaid對其進行 改進，設計了對集群范圍不敏感的CVF［23］，這種方法十分適用于磁源定位中初始位置點云集群分布不規(guī)律且集群容積大小不一的情形。然而，Bensaid方法在聚類數(shù)與真實對象數(shù)量接近時，聚類有效性函數(shù)值單調(diào)遞減且接近于零，使簇質(zhì)心數(shù)尋優(yōu)過程會過早失去魯棒性和決策功能。因此，我們在Bensaid方法基礎上，通過引入懲罰函數(shù)消除簇數(shù)尋優(yōu)過程的單調(diào)遞減趨勢，設計了一種新的基于模糊緊湊度和分離度的模糊聚類有效性函數(shù)實現(xiàn)AFCM聚類：

式（10）中的分子代表了第k簇的緊湊性，而分母代表了第k簇質(zhì)心到其他簇質(zhì)心的平均距離，用于分離性的度量。則此時分子分母之比代表了第k簇的聚類效果，L（U，V）即為全部聚類簇的聚類效果（比率）之和。顯然L值隨c的增長先變小后增大，而L取最小時對應的c值即為最優(yōu)聚類數(shù)，這種決策模式能極大程度地排除磁偶極 子 定 位 的 虛 假 解 和 偏 差 解。Bensaid［23］和Sun［16］描述的迭代試錯方法可以用于估計AFCM的最優(yōu)聚類數(shù)量。

3.3 多目標磁矩矢量估計

AFCM聚類算法可以同步估計區(qū)域內(nèi)多個磁偶極子的三維位置坐標。由于MGT分量隨源的相對距離四次方衰減［18］，對于一切致密源上方的張量場受區(qū)域其他源和地磁場的影響可以忽略，即各磁偶極子正上方處測得MGT可認為僅由該源產(chǎn)生。設估計的源坐標rc=（xc，yc，zc），則源正上方處MGTS與源間相對矢量r0=（0，0，-zc），MGTS測得該點處張量矩陣為Gc，則根據(jù)磁偶極子正演方程和歐蘭反褶積公式［24］可得

綜上，基于AFCM聚類的多目標自適應PR檢測方法技術(shù)路線如圖2所示。

圖2 磁偶極子多目標自適應PR檢測技術(shù)路線Fig.2 Technical route of multi-target adaptive PR detection for magnetic dipoles

4 磁偶極子多目標的網(wǎng)格測量仿真

仿真環(huán)境為Matlab。在10 m×10 m的測區(qū)中，總共包含了20個磁偶極子，編號分別為1至20，其水平分布隨機，埋深范圍為-0.40 m至-0.95 m、磁矩強度為6 Am2至20 Am2，磁化傾角和偏角分別在［-90°，90°］和［-180°，180°］隨機取值。圖3顯示了20個磁偶極子的分布情況，預設的物性參數(shù)列于表1中。

表1 預設和估計的20個磁偶極子目標的物性參數(shù)Tab.1 Preset and estimated physical parameters of the 20 magnetic dipoles

圖3 多源磁偶極子目標示意圖Fig.3 Schematic diagram of multi-target magnetic dipoles

其中r0=（x0，y0，z0）為位置坐標，M、Im和Dm分別為磁矩模、磁化傾角和偏角，磁矩m=（Mcos（Im）cos（Dm），Mcos（Im）sin（Dm），Msin（Im））。設置地磁場TMI為57 000 nT，設置測量平面z=0，坐標軸x正向向東，y正向向北，z正向向上，此時地磁傾角和偏角分別為-55°和-5°。利用平面十字形MGTS［7］在網(wǎng)格各節(jié)點處差分測量MGT分量，系統(tǒng)基線距離為0.3 m，網(wǎng)格間隔為0.1 m。該平 面MGT分量、MMA、NSS和CT如圖4所示，其中（a）至（f）為測得MGT分量：（g）至（i）分別為計算的MMA、NSS、CT值?？梢?，由MMA、NSS和CT僅能發(fā)現(xiàn)部分強磁異常區(qū)域；磁梯度張量具有更高的分辨率，其中g(shù)zz分量識別效果最好但受磁化方向影響較大。此外，上述各參量無法找到有效等高線閾值判斷磁性體是否存在。

圖4 10 m×10 m測區(qū)平面內(nèi)MGT、MMA、NSS和CT的識別結(jié)果Fig.4 Recognition results of MGT，MMA，NSS and CT in the 10 m×10 m survey area

提出的兩個不變量改進傾斜角θNSSTilt和θCTTilt識別結(jié)果分別如圖5（a）、（b）所示，圖5（c）、（d）為設置等高線閾值為0時圈定的目標識別區(qū)域，圖中用白圈標注了磁偶極子的真實位置。由圖5可知，θNSSTilt和θCTTilt有效增強了測區(qū)平面內(nèi)的較弱磁異常和深層磁異常目標。識別區(qū)域剛好處于磁源位置正上方處，且區(qū)域內(nèi)節(jié)點數(shù)目充分，這為提高目標定位精度和實現(xiàn)位置點云AFCM聚類提供了可能。

圖5 不變量改進傾斜角θNSSTilt和θCTTilt圈定的磁偶極子識別區(qū)域（等高線閾值0）Fig.5 Magnetic dipole identification area delineated by improved tilt angles θNSSTilt and θCTTilt（contour threshold 0）

選擇θCTTilt識別結(jié)果作為目標區(qū)域，式（7）可計算出識別區(qū)域內(nèi)各網(wǎng)格點對應的目標四組位置解。利用θCTTilt區(qū)域水平坐標和埋深坐標正負號篩選這些解，獲得的初始位置解集的點云如圖6所示，圖6（a）為估計的磁性目標初始位置示意圖，6（b）為其俯視圖。可見，篩選后的解集二、三懸浮在源上方構(gòu)成了大部分被遺漏虛假解，而篩選后的解集一、四更傾向于真實解，并位于在目標真實位置附近。但實際測量中目標真實位置是未知的，我們無法再繼續(xù)篩選解集了，這導致了目標埋深的估計值可能總體性地偏小。

圖6 識別區(qū)域內(nèi)目標初始位置解集形成的稠密點云Fig.6 Dense point cloud formed by the solution set of the initial position of the target in the recognition area

提出的AFCM聚類算法對初始位置點云的聚類結(jié)果如圖7所示，圖中給出了估計的簇質(zhì)心位置和目標真實位置。算法精確地估算了磁偶極子的數(shù)目，繼而獲得了各簇質(zhì)心處估計的目標位置。表1中對比了估計的各目標三維坐標、磁矩強度和磁化方向，并統(tǒng)計了坐標值和磁矩強度的總體估計精度（Total Estimation Accuracy，PTEA）作為性能指標，表示參數(shù)真實值減去估計偏差量后與自身百分比的最小值：

其中：Pr（Pr≠0）為參數(shù)真實值；Pei為該參數(shù)第i（i=1，2，…，N）個估計值，N為目標數(shù)量。為更真實模擬實際測量場景，在相同條件下給每個MGT分量加入了相互獨立的均值為0 nT/m、方差分別為2 nT/m和5 nT/m的高斯白噪聲。兩次測試的TEA分別記為TEAd1、TEAd2，見表1，同時給出了計算的目標磁矩和坐標估計偏差。結(jié)果顯示在題設噪聲環(huán)境下的目標數(shù)目識別仍然準確，該聚類結(jié)果仍具有較好的穩(wěn)定性和魯棒性。

5 多目標小型磁鐵的網(wǎng)格測量實驗

5.1 2.1 m×2.1 m測區(qū)五磁體定位

在中國石家莊某地平坦的地面進行實驗，測量區(qū)域為2.1 m×2.1 m，x軸正向向北，y軸正向向東，z軸正向向上。實驗時間為夏季某日18：00，環(huán)境溫度28℃，系統(tǒng)為基線距離0.5 m的平面十字形MGTS［5-7］，傳感器型號Mag-03（英國Bartington），采集卡NI-6281，采樣率500 Hz。實驗如圖8所示，在測區(qū)內(nèi)共放置序號為1～5的五個小型磁源，其磁矩強度和方向未知，采樣間隔為0.1 m，各網(wǎng)格點采樣時間不少于2 s。由于設備電磁噪聲頻段主要集中在50 Hz、200 Hz等頻段（國內(nèi)交流電場頻率），為盡量避免電磁場影響和保留真實磁異常信號，利用零相位低通濾波器進行降噪，并將截止頻率保守地設置為5 Hz［5］。預先測得該區(qū)域內(nèi)地磁場TMI均值為53 394.36 nT，地磁傾角和偏角分別為56.33°（向下）和-20.17°（自北偏西）。

圖8 實驗一：五個磁鐵的網(wǎng)格定位實驗Fig.8 Experiment 1：grid positioning of five magnets

測得該平面處的MGT分量和常規(guī)特征量如圖9所示。圖9（a）至（f）為測得MGT分量；圖9（g）至（i）分別為計算的MMA、NSS、CT值。圖10為θNSSTilt和θCTTilt的區(qū)域識別效果，白圈標注了磁體的真實位置?？梢?，五號磁鐵相對于其他目標有更大的磁矩，導致1～4號的異常場幾乎被悉數(shù)淹沒。MGT和常規(guī)特征量已無法對全部磁鐵進行有效識別，而設定閾值為0的兩個改進傾斜角能準確圈定出五個磁體的分布位置，其中θCTTilt識別效果更佳。

圖9 五個小型磁鐵的MGT、MMA、NSS和CT識別結(jié)果Fig.9 MGT，MMA，NSS and CT recognition results of five small magnets

圖10 θNSSTilt和θCTTilt圈定的5個磁鐵目標的識別區(qū)域（等高線閾值0）Fig.10 Recognition area of 5 magnet objects delineated by θNSSTilt and θCTTilt（contour threshold 0）

而后，用張量衍生不變關(guān)系方法估計識別區(qū)域內(nèi)各網(wǎng)格節(jié)點處的目標單點定位結(jié)果，對得到的四組解集進行區(qū)域和象限篩選。為了獲得更高的聚類精度，在利用θCTTilt區(qū)域篩選定位解集時，將θCTTilt閾值上調(diào)至0.5，此時各區(qū)域內(nèi)單點定位解集形成的稠密點云如圖11（a）和（b）所示，AFCM聚類的結(jié)果如圖11（c）和（d）。由結(jié)果可知，經(jīng)區(qū)域識別、定位篩選的目標解集聚集在真實位置附近，AFCM準確估計了磁體數(shù)目為5，簇質(zhì)心的位置估計列于表2中，并給出了計算的目標坐標估計偏差。該實驗對區(qū)域內(nèi)的五個小型磁體的位置坐標估計偏差小于0.061 m，獲得了令人滿意的結(jié)果。

表2 定位實驗中對九個磁性體的真實位置和估計的物性參數(shù)Tab.2 Real positions and estimated physical parameters of the nine magnets in the positioning experiment

圖11 識別區(qū)域內(nèi)的單點定位密集點云與AFCM聚類結(jié)果Fig.11 Single-point positioning dense point cloud and AFCM clustering results in the recognition area

5.2 1.2 m×1.2 m測區(qū)四磁體定位

在同地域進行第二次實驗，測量區(qū)域大小為1.2 m×1.2 m，時間為春季某日16：00，環(huán)境溫度17℃，測量儀器更換為五個HSF-112型（中國Huashun）磁通門傳感器搭建的平面十字形MGTS，采集卡為NI-9239，采樣率為1 kHz。實驗如圖12所示，測器內(nèi)共放置序號6～9的四個小型磁源（6～9號磁鐵磁矩強度、方向和形狀均不相同［5］），磁矩強度和方向未知，預設坐標列于表3中。采樣間隔為0.05 m，各節(jié)點采樣時間和降噪方法不變。測得該區(qū)域內(nèi)地磁總場強度 均 值53 407.02 nT，磁 傾 角-56.17°，磁 偏角-19.98°。

圖12 實驗二：四個磁體的網(wǎng)格定位實驗Fig.12 Experiment 2：grid positioning of four magnets

為了獲得更加清晰分明的區(qū)域識別結(jié)果，對張量數(shù)據(jù)網(wǎng)格進行0.01 m間隔的三次樣條插值處理，因磁源埋深增加且各目標間磁矩有明顯差異，將傾斜角閾值設定為0.3，MGT分量及其特征量如圖13所示，θNSSTilt和θCTTilt的區(qū)域識別如圖14所示。

圖13表明6和9號磁鐵的磁矩強度明顯弱于7和8號，且6和9號的磁張量場已完全被強磁場淹沒；7和8號的磁矩方向具有明顯差異。此時傳統(tǒng)方法已經(jīng)失去識別目標邊界的能力，而圖14中的θNSSTilt和θCTTilt仍能清晰地識別出四個磁體的大致分布區(qū)域。根據(jù)識別結(jié)果，將等高線上調(diào)至0.4并選擇θNSSTilt識別區(qū)域篩選定位解集。各區(qū)域內(nèi)單點定位解集的AFCM聚類結(jié)果如圖15所示。

圖15 識別區(qū)域內(nèi)4個磁鐵的AFCM聚類結(jié)果Fig.15 AFCM clustering results of four magents in the recognition area

結(jié)果顯示在較弱磁性體磁場被淹沒情況下，兩種不變量改進傾斜角仍能對磁體進行區(qū)域預識別；盡管4個磁體磁矩、形狀差距較為明顯，經(jīng)區(qū)域識別、定位篩選的目標解集仍聚集在磁體真實位置附近，AFCM準確估計了磁體數(shù)目為4，估計的簇質(zhì)心位置和磁矩列于表2中；磁體8的估計磁矩強度數(shù)倍強于磁體6和9，且磁體間磁化方向差距較大，此時實驗對區(qū)域內(nèi)的四個小型磁體的位置坐標估計偏差仍小于0.091 m，同樣令人滿意。

6 結(jié)論

本文提出了一種利用AFCM聚類算法和張量不變量改進傾斜角定位多目標磁偶極子的方法。通過引入懲罰函數(shù)消除簇數(shù)尋優(yōu)過程的單調(diào)遞減趨勢，設計了一種新的基于模糊緊湊度和分離度的模糊聚類有效性函數(shù)實現(xiàn)AFCM聚類。由歸一化磁源強度和張量縮并兩個張量不變量改進的傾斜角可用于目標分布區(qū)域識別和初始位置坐標篩選，而張量衍生不變關(guān)系定位方法用于計算識別區(qū)域內(nèi)的各網(wǎng)格節(jié)點處對應的四組位置解集，這些解集將在目標真實位置附近形成稠密點云。設計的AFCM算法對這些點云進行三維聚類并自動估計簇質(zhì)心數(shù)目和質(zhì)心位置。

仿真結(jié)果證明了該方法的有效性和魯棒性；在2.1 m×2.1 m和1.2 m×1.2 m的網(wǎng)格測量實驗中，該方法對埋深不超過1 m、磁矩強度和方向差異較大的九個小型磁鐵的坐標估計偏差小于0.091 m。然而，由于衍生不變關(guān)系單點定位算法的虛假解不能完全篩除，目標估計精度受到了一定的限制，發(fā)展更具優(yōu)勢和更高精度的磁偶極子單點定位方法將進一步提高本文方法的定位性能和適用性。