張小俊,劉昊學(xué)

(河北工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，天津 300401)

1 引言

近幾年，在控制領(lǐng)域中，移動機器人的理論和應(yīng)用得到研究人員的廣泛關(guān)注[1-4]。起初的研究基于運動學(xué)模型，控制方法采用線性化反饋控制律，負載變化、參數(shù)測量不精確和摩擦等不確定性因素導(dǎo)致機器人不能實現(xiàn)完美的速度跟蹤[5]。于是研究人員通過反步法[6]引入動力學(xué)模型，將運動學(xué)控制器和動力學(xué)控制器相結(jié)合，解決了上述不確定性問題，但未考慮外界擾動的因素對機器人軌跡跟蹤的影響。

文獻[7]針對四輪驅(qū)動機器人軌跡跟蹤，設(shè)計反步自適應(yīng)模糊滑?？刂品椒?，以解決機器人參數(shù)不確定性問題。文獻[8-10]為減小非完整輪式移動機器人的運動和動態(tài)不確定性對軌跡跟蹤控制的影響，設(shè)計自適應(yīng)軌跡跟蹤控制方法，減小了軌跡跟蹤的誤差。文獻[11]針對非線性不確定系統(tǒng)的外界干擾問題，提出高增益擴張觀測器，使得跟蹤誤差在有外界干擾的情況下也能夠迅速收斂。文獻[12-14]針對具有擾動的輪式移動機器人跟蹤控制問題，設(shè)計了擾動觀測器和虛擬速度控制律。通過擾動觀測器對動態(tài)模型的外部擾動進行估計，通過前饋補償?shù)姆绞綄崿F(xiàn)精準(zhǔn)控制。上述研究的移動機器人軌跡跟蹤控制問題，多是根據(jù)移動機器人的運動學(xué)模型設(shè)計跟蹤控制器，未考慮動力學(xué)模型在受到外界干擾、參數(shù)攝動等不確定性因素時對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，難以達到預(yù)期效果。

因此，本文建立輪式移動機器人的運動學(xué)模型和動力學(xué)模型，將自適應(yīng)算法與滑模擴張狀態(tài)觀測器相結(jié)合，提出了一種面向輪式移動機器人的基于自適應(yīng)滑模擴張觀測器的軌跡跟蹤控制算法，并利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論對系統(tǒng)的穩(wěn)定性進行分析。其中，自適應(yīng)虛擬速度控制器用于估計系統(tǒng)的不確定參數(shù);滑模擴張觀測器觀測外界干擾，消除抖振現(xiàn)象，完成對期望軌跡的精確跟蹤任務(wù)，且跟蹤誤差能在有限時間內(nèi)收斂。最后，利用仿真軟件與自適應(yīng)反演滑?？刂扑惴ㄟM行對比，以驗證所提算法的有效性和優(yōu)越性。

2 移動機器人數(shù)學(xué)模型

2.1 運動學(xué)模型的建立

質(zhì)心和驅(qū)動輪軸線中心不重合的六輪移動機器人的基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。其中，O是機器人對稱軸與驅(qū)動輪軸線的交點，P是機器人質(zhì)心，d是O與P的距離，b是驅(qū)動輪到對稱軸的距離，r是車輪的半徑，θ是機器人前進方向與世界坐標(biāo)系中x軸的夾角。

在作業(yè)過程中，具有2個驅(qū)動輪的移動機器人無外界干擾的非完整約束方程如式(1)所示:

(1)

A(q)S(q)=0，

對移動機器人進行運動學(xué)分析，可得機器人的線速度v、角速度w與左右車輪速度的關(guān)系如式(2)所示：

(2)

進一步可獲得機器人位姿與各參數(shù)間關(guān)系如式(3)所示：

(3)

移動機器人純滾動的運動學(xué)方程如式(4)所示：

(4)

移動機器人在運動過程中經(jīng)常會出現(xiàn)滑轉(zhuǎn)、滑移等現(xiàn)象,因此不能夠滿足式(1)的約束條件[15,16]。為解決這類問題，本文將具有滑轉(zhuǎn)、滑移等擾動現(xiàn)象的非完整移動機器人的約束條件表示為式(5)所示:

(5)

結(jié)合機器人純滾動的運動學(xué)方程，可得發(fā)生側(cè)滑、滑移等擾動現(xiàn)象的機器人運動學(xué)方程如式(6)所示：

(6)

2.2 動力學(xué)模型的建立

由移動機器人的力學(xué)分析可知，機器人在x,y方向上的受力是平衡的，在電機軸和垂直x-o-y平面方向上的力矩也是平衡的。因此，建立機器人的動力學(xué)方程如式(7)所示：

(7)

其中，m表示機器人總質(zhì)量；FY表示總阻力；Iwh和I分別表示車輪和系統(tǒng)總的轉(zhuǎn)動慣量；FXl和FXr分別表示左、右輪的驅(qū)動力。簡化式(7)并將其轉(zhuǎn)化成拉格朗日動力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程,如式(8)所示[17]：

B(q)τ+(C(q))Tλ

(8)

將拉格朗日動力學(xué)標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)方程兩邊同時乘以(S(q))T，結(jié)合受擾動的運動學(xué)方程，可得受擾動的動力學(xué)方程,如式(9)所示：

(9)

3 機器人軌跡跟蹤控制器的設(shè)計

基于自適應(yīng)滑模擴張狀態(tài)觀測器的移動機器人軌跡跟蹤控制方案如圖2所示。機器人實際位姿與期望位姿之間的誤差作為運動學(xué)控制器的輸入，采用自適應(yīng)虛擬速度控制器，在線估計不確定性參數(shù)并進行調(diào)整，保證了位姿誤差穩(wěn)定收斂性。將自適應(yīng)虛擬速度控制器的虛擬速度與機器人實際速度之間的速度誤差作為動力學(xué)控制器的輸入，利用擴張觀測器觀測值設(shè)計滑?？刂破?，保證了速度的漸進收斂。針對系統(tǒng)存在的內(nèi)外部擾動，可通過擴張觀測器對其進行在線觀測估計并以前饋的方式進行補償，降低控制器的負擔(dān)。下面分別介紹設(shè)計的自適應(yīng)速度控制器、擴張狀態(tài)觀測器和滑?？刂破鳌?/p>

為達到控制目標(biāo)，首先作出如下假設(shè)：

假設(shè)2期望的線速度、角速度和其導(dǎo)數(shù)均有界。

3.1 自適應(yīng)虛擬速度控制器

由于機械磨損、質(zhì)心與幾何中心測量誤差等原因，機器人質(zhì)心與幾何中心的距離d往往是不精確的[18]。因此，本文采用自適應(yīng)控制方法設(shè)計軌跡跟蹤控制器，在線估計未知參數(shù)d,使軌跡誤差漸進收斂到零。

(10)

機器人的位姿誤差微分方程如式(11)所示：

(11)

定義Lyapunov函數(shù)V0如式(13)所示：

V0=[(xe+d(1-cosθe))2+(ye-dsinθe)2+

(12)

(13)

由Lyapunov函數(shù)設(shè)計自適應(yīng)虛擬速度控制器，如式(14)所示：

(14)

3.2 擴張狀態(tài)觀測器和滑模控制器

自適應(yīng)虛擬速度控制器能夠使機器人的運動學(xué)系統(tǒng)按照任意期望速度運行并估計機器人本體的不確定性參數(shù)，而機器人的實際速度是靠電機獲得的，無法直接獲得期望的速度，同時不可避免地存在外部擾動。為解決這個問題，本文將擴張狀態(tài)觀測器與滑?？刂破飨嘟Y(jié)合，設(shè)計基于擴張狀態(tài)觀測器的滑?？刂破?。利用擴張觀測器觀測未知干擾與系統(tǒng)狀態(tài)變量并將觀測值反饋給滑?？刂破鳎瑢C器人不確定性參數(shù)和擾動在線估計和反饋抑制，保證實際速度漸進收斂到虛擬速度[19]。

假設(shè)機器人非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程如式(15)所示：

(15)

其中，f(t)包含不確定性項和外部擾動項，A、B和C為非零矩陣，bm為非零常數(shù)。

聯(lián)合式(9)和式(15)，可獲得機器人非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程為如式(16)所示：

(16)

速度擴張觀測器和角速度擴張觀測器如式(17)所示:

(17)

然后，利用系統(tǒng)的實際輸出和期望輸出定義系統(tǒng)的跟蹤誤差e，將滑模面函數(shù)表示為式(18):

(18)

其中，c1>0,c2>0,e1=x1-x1r,e2=x3-x3r,x1r和x3r分別為期望位姿中的第1個和第3個分量。

根據(jù)滑模函數(shù)與擴張觀測器設(shè)計的控制系統(tǒng)驅(qū)動力矩方程如式(19)所示:

(19)

4 穩(wěn)定性分析

4.1 擴張狀態(tài)觀測器穩(wěn)定性分析

(20)

4.2 滑?？刂破鞣€(wěn)定性分析

(21)

(22)

□

5 仿真分析

(1)圓-直線軌跡跟蹤曲線如圖3所示，由圖3a可知，機器人能夠快速平緩地跟蹤上圓軌跡，并從圓軌跡平滑地過渡到直線軌跡，不受外界的擾動。由圖3b可知，機器人不能在短時間到達預(yù)期的軌跡，在圓軌跡到直線軌跡切換時，機器人易受外界的影響，不能迅速恢復(fù)預(yù)期軌跡。

(2)軌跡跟蹤誤差曲線如圖4所示，2種算法最終都能實現(xiàn)軌跡跟蹤誤差的漸進收斂。本文所提算法相比傳統(tǒng)算法穩(wěn)定性更好，收斂時間更短。尤其在15 s軌跡切換時，自適應(yīng)滑模擴張觀測算法能夠更平穩(wěn)迅速地收斂。

(3)線速度收斂曲線如圖5所示，初始時2種算法的速度變化都很大，但是自適應(yīng)滑模擴張觀測器算法最終都能收斂到期望的速度。自適應(yīng)反演滑模算法易受擾動的影響，在期望速度上來回波動，在軌跡切換時速度波動更大。

(4)驅(qū)動力矩收斂曲線如圖6所示，自適應(yīng)反演滑模算法不能消除滑?？刂浦械亩墩瘳F(xiàn)象，本文所提算法能夠有效地消除抖振現(xiàn)象，減小外界擾動對控制的影響。

(5)擾動曲線如圖7所示，從圖7中可以看出，自適應(yīng)反演滑模算法不能準(zhǔn)確觀測擾動現(xiàn)象，自適應(yīng)滑模擴張觀測器控制算法能夠在短時間內(nèi)準(zhǔn)確觀測擾動。

6 結(jié)束語

本文提出的基于自適應(yīng)滑模擴張觀測器軌跡跟蹤控制算法能夠減小參數(shù)攝動和擾動等不確定性因素對移動機器人軌跡跟蹤控制精度的影響。將自適應(yīng)控制律與擴張觀測器滑?？刂破飨嘟Y(jié)合用在移動機器人的軌跡跟蹤控制中，解決了機器人軌跡跟蹤控制精度低、穩(wěn)定性差的難題。本文利用Lyapunov函數(shù)證明了控制系統(tǒng)的穩(wěn)定收斂性；通過仿真軟件驗證自適應(yīng)虛擬速度控制器能夠調(diào)節(jié)機器人本體不確定性參數(shù)，使得軌跡跟蹤誤差快速收斂；擴張觀測器可以準(zhǔn)確觀測系統(tǒng)的擾動和參數(shù)攝動，與滑模控制器結(jié)合使用能抑制擾動。通過與自適應(yīng)反演滑?？刂扑惴▽Ρ确治隹芍?，新型軌跡跟蹤控制算法的穩(wěn)定性和收斂性優(yōu)于傳統(tǒng)控制算法。