李冠群，蘇玉亮，董奇，王飛，孫慶豪，王文東

(1.中國石油大學(xué)(華東) 非常規(guī)油氣開發(fā)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島，266580；2.中國石油大學(xué)(華東) 石油工程學(xué)院，山東 青島，266580；3.長慶油田分公司油氣工藝研究院，陜西 西安，710018；4.低滲透油氣田勘探開發(fā)國家工程實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安，710018)

中國非常規(guī)油藏儲量豐富，是未來國內(nèi)原油穩(wěn)產(chǎn)增產(chǎn)的重要領(lǐng)域[1]。在大規(guī)模水力壓裂作業(yè)后的頁巖油藏中，自發(fā)滲吸是提高采收率(EOR)的最重要機(jī)制之一[2]。頁巖儲層孔隙結(jié)構(gòu)復(fù)雜，孔徑極小[3]，并且天然裂縫較發(fā)育[4]，基質(zhì)孔隙和微裂縫中油水界面的毛細(xì)管力非常大，定量表征壓裂液在多孔介質(zhì)中的滲吸至關(guān)重要[5]。

流體向多孔介質(zhì)中的滲吸是一種普遍存在的自然現(xiàn)象[6]，早在20世紀(jì)初，國外學(xué)者就開始了滲吸驅(qū)油的理論和實(shí)驗(yàn)研究。LUCAS[7]在計(jì)算中將多孔介質(zhì)簡化為毛管束，建立了滲吸的毛管束模型。隨后，WASHBURN[8]改進(jìn)了該模型，形成了沿用至今的LUCAS-WASHBURN(L-W)模型，其描述了滲吸前緣和時(shí)間的關(guān)系。在L-W 模型基礎(chǔ)上，人們考慮了黏性力、重力[9]、慣性力[10]對滲吸的影響，對模型中的流體動力和參數(shù)進(jìn)行了修正。為了簡化計(jì)算過程，很多情況下忽略了非潤濕相的影響，尤其是油相的重力和黏性力。但是在頁巖油藏中，由于油相和水相的黏度不同，黏性力對滲吸的影響不可以忽略。同時(shí)，需要考慮重力對滲吸的影響。CAI等[11]通過考慮不同尺寸和形狀的孔隙、多孔介質(zhì)中自吸流線的迂曲度和初始潤濕相飽和度，建立了廣義自吸模型。王付勇等[12]基于毛管束模型，考慮束縛水和殘余油飽和度，構(gòu)建巖心尺度基質(zhì)滲吸驅(qū)油數(shù)學(xué)模型，并通過滲吸實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證。WU等[13]推導(dǎo)了油水兩相滲吸的隱式解析解，利用分形理論建立了自發(fā)滲吸和驅(qū)替對致密儲層開發(fā)影響的定量評價(jià)模型。但是，微裂縫中的自發(fā)滲吸機(jī)理與頁巖基質(zhì)中的自發(fā)滲吸存在明顯差異，他們沒有考慮微裂縫中飽和油的自發(fā)滲吸。CHENG等[14]首次提出了重力作用下自吸水進(jìn)入單個(gè)飽和油裂縫的隱式解析解，并提出了飽和油壓裂多孔介質(zhì)自吸的巖心尺度數(shù)學(xué)模型。研究認(rèn)為有/無重力的滲吸速度差異隨著裂縫孔徑的增加而增大，并且單條飽和油裂縫存在自發(fā)滲吸臨界裂縫長度。WANG 等[15]推導(dǎo)了潤濕相自發(fā)滲入氣體飽和裂縫多孔介質(zhì)的半解析模型，對裂縫中有無重力影響的解析解進(jìn)行了研究，并提供了重力效應(yīng)評估診斷圖。但是，定量表征在天然裂縫發(fā)育的頁巖儲層中的滲吸研究依然較少。

目前尚缺乏同時(shí)考慮基質(zhì)孔隙和微裂縫中自發(fā)滲吸的定量表征方法，無法明確頁巖油藏體積壓裂后悶井滲吸機(jī)理。因此，構(gòu)建考慮基質(zhì)孔隙和微裂縫的自發(fā)滲吸隱式解析解，推導(dǎo)巖心尺度不同孔隙孔徑、裂縫開度分布、裂縫形態(tài)的滲吸數(shù)學(xué)模型，定量評價(jià)不同影響因素對滲吸的影響，對明確頁巖油藏滲吸驅(qū)油規(guī)律及提高采收率具有重要意義。

1 圓形毛細(xì)管和板狀管中的滲吸模型

針對頁巖儲層體積壓裂后采取的悶井增產(chǎn)技術(shù)，目前已進(jìn)行了許多試驗(yàn)和宏觀數(shù)值模擬，并取得較好效果。但是，在天然裂縫發(fā)育的多孔介質(zhì)中的悶井滲吸增產(chǎn)機(jī)理尚不清楚，需進(jìn)一步研究。

基于孔隙和微裂縫分布，將滲吸流動通道分為連通孔隙通道和微裂縫通道，分別等效成平行毛管束和板狀管束，建立物理模型，如圖1所示。

圖1 巖心中毛管束和板狀管束的滲吸示意圖Fig.1 Schematic diagram of imbibition of capillary tube bundle and plate tube bundle in rock core

1.1 毛細(xì)管中的滲吸模型

首先，分析單一毛細(xì)管情況下的滲吸動力學(xué)模型是后續(xù)研究多孔介質(zhì)滲吸特征的基礎(chǔ)工作之一。建立毛細(xì)管滲吸流動力學(xué)模型，假設(shè)：

1) 毛細(xì)管為水濕孔隙；

2) 忽略入口效應(yīng)和損失；

3) 慣性力和滲透壓忽略不計(jì)；

4) 毛細(xì)管力是恒定的，采用靜態(tài)接觸角。

毛細(xì)管中的水-油分布如圖2所示。圖中，L為毛細(xì)管長度；v為滲吸速度，m/s；θ為接觸角，(°)；r為毛細(xì)管半徑，m；x為滲吸距離，m。

圖2 毛細(xì)管滲吸流動模型Fig.2 Capillary imbibition flow model

根據(jù)牛頓第二定律，自發(fā)滲吸動力學(xué)方程為

式中：Fc為毛細(xì)管力，N；Fv為黏性力，N；Fg為重力，N；m為毛管中流體質(zhì)量，kg；a為加速度，m/s2。

根據(jù)Young-Laplace 方程，圓形毛細(xì)管的毛細(xì)壓力pc為

式中：σ為界面張力，N/m。毛細(xì)管力Fc為

根據(jù)牛頓流體內(nèi)摩擦定律，毛管壁上的剪切力τv為

式中：μv為流體黏度，Pa·s；vmax為直毛細(xì)管橫截面的最大滲吸速度，m/s。滲吸過程為不可壓縮牛頓流體在毛細(xì)管內(nèi)的緩慢流動，流體流動更趨向于穩(wěn)定的Poiseuille 流動，流動阻力遵循Hagen-Poiseuille規(guī)則，最大滲吸速度vmax和平均速度vˉ符合如下關(guān)系[16]：

因此，黏性力表達(dá)式如下：

式中：Fvw為水相黏性力，N；Fvo為油相黏性力，N；τvw為水相剪切力，N/m2；τvo為油相剪切力，N/m2；μw為水相黏度，Pa·s；μo為油相黏度，Pa·s；dx/dt為滲吸速度，m/s，可表示為

毛細(xì)管中水和油總質(zhì)量m為

重力的表達(dá)式如下：

式中：ρw和ρo分別為水相和油相流體密度，kg/m3；g為重力加速度，取9.8 m/s2。

將式(3)、式(6)、式(7)和式(8)代入式(1)，微分后得

在毛細(xì)管中流速較小，因此，慣性力項(xiàng)很小，此處可以忽略不計(jì)，式(10)簡化為

對式(11)進(jìn)行變形、積分后可得毛細(xì)管中自發(fā)滲吸的隱式解析解tp為

式中：A=(ρo-ρw)r2g；B=2rσcosθ-r2ρogL。當(dāng)dt足夠小時(shí)，誤差可以忽略，式(11)差分并積分后，可得毛細(xì)管自發(fā)滲吸的數(shù)值解xpi為

第i根毛細(xì)管的滲吸量(產(chǎn)油量)qpi為

1.2 板狀管中的滲吸模型

在本文模型中，將連通微裂縫等效為截面為長方形的彎曲板狀管，分析單一板狀管情況下的滲吸動力學(xué)模型，與毛細(xì)管滲吸模型共同研究多孔介質(zhì)的滲吸特征。建立單一板狀管的滲吸流動力學(xué)模型，假設(shè)：1) 板狀管為水濕；2) 忽略入口效應(yīng)和損失；3) 慣性力和滲透壓忽略不計(jì)；4) 采用靜態(tài)接觸角。單一板狀管中的油-水分布如圖3所示。

圖3 單一板狀管中自發(fā)滲吸示意圖Fig.3 Schematic diagram of spontaneous imbibition in a single plate tube

根據(jù)Young-Laplace 方程，裂縫中油水界面的毛細(xì)力Fc為

式中：w為板狀管開度，m；l為寬度，m。

根據(jù)式(6)計(jì)算，黏性力Fv為

重力的表達(dá)式如下：

將式(15)、式(16)和式(17)代入式(1)，微分后得

慣性力忽略不計(jì)，式(18)簡化為

對式(19)變形、積分后，可得板狀管中自發(fā)滲吸的隱式解析解tf為

令M=(ρo-ρw)w2gsinα，N=2wσcosθ-ρoLw2gsinα。當(dāng)x=L時(shí)，油水界面到達(dá)樣品頂端，則單一板狀管中滲吸結(jié)束的時(shí)間tef為

當(dāng)dt足夠小時(shí)，誤差可以忽略，對式(19)進(jìn)行差分并積分后，可得板狀管中自發(fā)滲吸的數(shù)值解為

第i根單一板狀管的滲吸量(產(chǎn)油量)qfi為

2 多孔介質(zhì)滲吸數(shù)學(xué)模型

基于圖1巖心尺度滲吸物理模型，連通孔隙空間看作一束曲折的毛細(xì)管束，連通微裂縫看作曲折的板狀管束，這些曲折毛細(xì)管束和板狀管束的數(shù)目與大小均遵循分形標(biāo)度規(guī)律。基于分形理論[12-15]，對上述滲吸模型進(jìn)行尺度升級。

2.1 毛細(xì)管束模型

根據(jù)分形理論，孔隙數(shù)與孔徑之間的關(guān)系為

式中：Np為毛細(xì)管半徑大于r的孔隙總數(shù)；ξ為半徑大于r的孔隙半徑，m；rmax為最大孔隙半徑；Dfp為毛細(xì)管的分形維數(shù)。

將單元體中巖石樣品中半徑大于r的毛細(xì)管數(shù)量按比例放大，得出巖石樣品的毛細(xì)管數(shù)。由YU等[17]推導(dǎo)的表面孔隙度、孔隙面積和橫截面的關(guān)系，可得巖心樣品毛細(xì)管數(shù)：

式中：d為孔隙直徑，m；φp為孔隙所占的孔隙度；τp為毛細(xì)管迂曲度[18]，由計(jì)算得到，因此毛管長度L=τpH。對式(25)進(jìn)行微分，計(jì)算半徑從r到r+dr范圍的毛細(xì)管數(shù)增量：

毛管束中的總流量表達(dá)式為[19]

2.2 板狀管束模型

板狀管開度分布可用分布函數(shù)f(w)描述，總管數(shù)Nf與分布函數(shù)的關(guān)系為[20]

根據(jù)分形理論，板狀管數(shù)與開度的關(guān)系為

式中：Nf( ≥w)為開度大于w的板狀管數(shù)量；wmax為最大開度，m；Dff為板狀管分形維數(shù)。板狀管數(shù)增量n(w)為

假設(shè)所有板狀管的迂曲度τp都相同，符合如下關(guān)系：

式中：LB為板狀管長度，m；H為巖心長度，m。α為板狀管的傾斜角。則板狀管空間的總體積Vf為

式中：γ為板狀管寬度與開度之比，wmin為最小開度，m。同時(shí)，微裂縫空間體積占巖心流動空間的關(guān)系如下：

式中：D為巖心直徑，m。

則由上述公式計(jì)算板狀管總數(shù)Nf為

板狀管的概率密度函數(shù)為

則板狀管總數(shù)為

根據(jù)分形理論和上述公式，對單條板狀管產(chǎn)量進(jìn)行積分，可以得到巖心尺度微裂縫中自發(fā)滲吸的總產(chǎn)油量隨孔徑分形分布的表達(dá)式：

2.3 裂縫性多孔介質(zhì)滲吸模型

巖心尺度多孔介質(zhì)包括孔隙和微裂縫2 部分，毛細(xì)管和板狀管中的自發(fā)滲吸存在差別，如圖1所示。由上述章節(jié)中的公式，可以計(jì)算巖心尺度自發(fā)滲吸的總產(chǎn)油量，其表達(dá)式為

式(38)是考慮孔隙和微裂縫自發(fā)滲吸的最終半解析解。圖4所示為計(jì)算第i個(gè)時(shí)間步的總滲吸量Q的計(jì)算程序，圖中下標(biāo)p 和f 分別表示孔隙和裂縫。利用MATLAB 實(shí)現(xiàn)了這個(gè)過程。計(jì)算孔徑范圍從rmin到rmax的毛細(xì)管數(shù)，以及不同開度板狀管的概率密度函數(shù)。對每個(gè)時(shí)間步的界面位移距離x進(jìn)行驗(yàn)證，與巖心長度H進(jìn)行比較，計(jì)算毛管、板狀管中油水界面達(dá)到巖樣頂端時(shí)的滲吸量。然后，利用式(27)和式(37)計(jì)算特定時(shí)間步毛細(xì)管束、板狀管束的滲吸量。最后，通過將所有滲吸量相加，計(jì)算第i個(gè)時(shí)間步的總滲吸量。根據(jù)上述流程計(jì)算巖心尺度滲吸量與時(shí)間的關(guān)系，并對影響因素進(jìn)行分析。

圖4 裂縫性多孔介質(zhì)自發(fā)滲吸總產(chǎn)油量計(jì)算流程圖Fig.4 Flow chart for calculating total oil production by SI of fractured porous media

3 實(shí)例應(yīng)用與敏感性分析

本節(jié)將對上述數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證與應(yīng)用，參照研究區(qū)的實(shí)際儲層參數(shù)，開展不同因素對滲吸驅(qū)油速度和采出程度的影響研究。利用標(biāo)度律對巖心尺度滲吸進(jìn)行尺度升級后，可以結(jié)合油藏?cái)?shù)值模擬方法提出合理的壓后悶井時(shí)間建議，對頁巖油藏高效開發(fā)提供參考。

3.1 巖心尺度滲吸模型應(yīng)用

頁巖油藏儲集空間分為孔隙和微裂縫，孔隙以微孔、小孔為主，孔徑大都小于1 μm，構(gòu)成納米級孔隙系統(tǒng)[21]。根據(jù)研究區(qū)塊的巖心樣品，微裂縫較為發(fā)育，主要為頁理縫和構(gòu)造微裂縫，成為頁巖主要的儲集空間和滲流通道[22]。利用掃描電鏡對大港油田頁巖油藏研究區(qū)塊的樣品進(jìn)行掃描，頁巖儲層基質(zhì)孔隙和微裂縫如圖5所示，聯(lián)合核磁共振技術(shù)得到頁巖孔徑分布特征，其孔隙尺寸和微裂縫開度范圍如表1所示。

圖5 頁巖掃描電鏡圖Fig.5 SEM of shale

用于模擬和室內(nèi)實(shí)驗(yàn)的巖心與流體參數(shù)如表1所示，計(jì)算悶井時(shí)間與滲吸產(chǎn)油量的關(guān)系，開展不同因素對悶井滲吸的影響研究。

表1 巖心與流體物性參數(shù)Table 1 Physical parameters of core and fluid

毛細(xì)管和板狀管的分布對巖心尺度多孔介質(zhì)中的滲吸速度影響很大。本文利用分形分布理論，進(jìn)行流體流動空間的敏感性分析。在對巖石流動空間大小進(jìn)行測定時(shí)，常采用壓汞法和毛管力曲線研究其微觀結(jié)構(gòu)。利用分形定律和計(jì)盒法，對像素N(r)所占盒數(shù)進(jìn)行測算：

根據(jù)現(xiàn)有的模型[23]，N(r)表達(dá)式如下：

式中：VHg為汞侵入巖心的體積。由式(40)可得

根據(jù)式(2)，結(jié)合式(41)可得

汞飽和度SHg計(jì)算公式如下：

由式(42)和式(43)可得

式中：e為常數(shù)，結(jié)合汞飽和度和毛管對數(shù)圖可以得到分形維數(shù)Df。分形維數(shù)可以準(zhǔn)確描述儲層孔隙結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性，反映了毛細(xì)管和板狀管的數(shù)量分布。分形維數(shù)越大，孔隙半徑和微裂縫開度越小，巖心的流通通道越復(fù)雜。

根據(jù)表1數(shù)據(jù)和計(jì)算流程圖(圖4)，對不同分形維數(shù)模型進(jìn)行了模擬，圖6所示為具有不同分形分布的巖心尺度多孔介質(zhì)中自發(fā)滲吸隨時(shí)間的產(chǎn)油量。由圖6可知：在103s 之前不同分形維數(shù)多孔介質(zhì)的滲吸速度差異不明顯，并且速度都很小。在103s 之后，毛細(xì)管分形維數(shù)和板狀管分形維數(shù)從1.2增加到1.8，半徑小的毛細(xì)管和開度小的板狀管比例增加，圖中3條曲線的斜率依次變小，則頁巖儲層巖心尺度的滲吸速度顯著降低。雖然滲吸速度隨分形維數(shù)增加而降低，但由于巖心尺度的滲吸結(jié)束時(shí)間由小孔徑流動空間決定，在107s 巖心尺度產(chǎn)油量幾乎同時(shí)達(dá)到平衡。

圖6 不同分形分布時(shí)巖心滲吸產(chǎn)油量隨時(shí)間的關(guān)系Fig.6 Relationship between oil production of core and time by imbibition with different fractal distributions

圖7所示為不同油水黏度比時(shí)巖心滲吸產(chǎn)油量隨時(shí)間的關(guān)系。由圖7可知：隨油水黏度比的增加，滲吸速度降低。圖8所示為不同界面張力時(shí)巖心滲吸產(chǎn)油量隨時(shí)間的關(guān)系，由圖8可知：多孔介質(zhì)中的滲吸速度隨界面張力的增大而增大。本文毛管束和板狀管束模型采用分形分布，通過模擬可知油水黏度比和界面張力對巖心尺度滲吸結(jié)束時(shí)間的影響不明顯。

圖7 不同油水黏度比時(shí)巖心滲吸產(chǎn)油量隨時(shí)間的關(guān)系Fig.7 Relationship between oil production of core and time by SI with different oil-water viscosity ratios

圖8 不同界面張力(TIF)時(shí)巖心滲吸產(chǎn)油量隨時(shí)間的關(guān)系Fig.8 Relationship between oil production of core and time by SI with different interfacial tension(TIF)

3.2 滲吸實(shí)驗(yàn)與模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證裂縫性頁巖油藏多孔介質(zhì)中累計(jì)產(chǎn)油量計(jì)算式(38)的有效性，利用真實(shí)巖心對理論預(yù)測進(jìn)行了檢驗(yàn)。針對典型巖心樣品開展了滲吸實(shí)驗(yàn)，如圖9所示，利用核磁共振儀定量表征了孔隙和微裂縫中的滲吸情況，識別了不同滲吸階段滲流特征。實(shí)驗(yàn)與模擬數(shù)據(jù)如表1所示，其中水相質(zhì)量分?jǐn)?shù)為8%的KCl水溶液，油相為正十二烷，在室溫、大氣壓下進(jìn)行的自發(fā)滲吸室內(nèi)實(shí)驗(yàn)。同時(shí)，根據(jù)圖4流程圖和表1實(shí)驗(yàn)參數(shù)，進(jìn)行孔隙和微裂縫分形分布、流動空間內(nèi)油水界面運(yùn)移及產(chǎn)油量的計(jì)算和表征。

圖9 自發(fā)滲吸實(shí)驗(yàn)示意圖與核磁共振儀Fig.9 Schematic diagram of SI experiment and NMR

基于核磁共振T2譜結(jié)果，得到了自發(fā)滲吸實(shí)驗(yàn)巖心產(chǎn)油量隨時(shí)間的變化關(guān)系，如圖10所示。同時(shí)，圖中比較了本文多孔介質(zhì)滲吸半解析解表達(dá)式計(jì)算值與滲吸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，由圖10可見：滲吸實(shí)驗(yàn)觀察和理論計(jì)算的滲吸產(chǎn)油量與時(shí)間幾乎匹配一致。

圖10 多孔介質(zhì)滲吸半解析解與滲吸實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比圖Fig.10 Comparison of semi-analytical solution of SI and SI experimental results in porous media

2種方法均顯示：在滲吸前期產(chǎn)油速度相對較高，毛細(xì)管和板狀管中的自吸作用是滲吸驅(qū)油的最主要作用，尤其是半徑小的毛管和開度小的微裂縫對滲吸驅(qū)油的速度起重要作用。滲吸中、晚期的產(chǎn)油速度逐漸變小，水相前緣推進(jìn)到樣品端面后驅(qū)油速度趨于0。

因此，對于微裂縫發(fā)育的頁巖油藏，其流動空間相對較小，孔喉連通性一般，悶井過程中的滲吸驅(qū)油具有一定的效果，同時(shí)較大的微米級孔隙和微裂縫也對滲吸驅(qū)油起到了很大的作用。滲吸驅(qū)油主要作用力為毛管力，其驅(qū)油效率有限，需要通過增加滲吸時(shí)間、調(diào)整儲層壓力場等手段提高原油采收率。

4 結(jié)論

1) 建立了同時(shí)考慮孔隙和微裂縫分形分布的多孔介質(zhì)滲吸模型，更精確地表征了悶井滲吸產(chǎn)油量隨時(shí)間的關(guān)系。

2) 利用半解析解定量評價(jià)了孔隙分布、微裂縫分布和油水黏度等因素對滲吸規(guī)律的影響。隨油水黏度比減小，界面張力增大，多孔介質(zhì)中的滲吸速度增大。由數(shù)值分析和實(shí)驗(yàn)可知自發(fā)滲吸的采出程度為17%左右。在頁巖油藏壓后悶井過程中，增大儲層的親水性，保持一定的油水黏度比和界面張力可以有效發(fā)揮滲吸驅(qū)油潛力。

3) 滲吸早期產(chǎn)油速度較快，中、后期產(chǎn)油速度逐漸降低，毛管力驅(qū)動的自吸采油具有一定的局限性，可通過增加滲吸時(shí)間、調(diào)整儲層壓力場、添加表面活性劑等手段控制滲吸效率，達(dá)到提高采收率的目的。