王垚 姜璐 周又和 薛存

1) (西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院工程力學(xué)系,西安 710072)

2) (西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院,西安 710072)

3) (蘭州大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)系,西部災(zāi)害與環(huán)境力學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,蘭州 730000)

常規(guī)導(dǎo)體的電磁本構(gòu)關(guān)系一般滿足線性歐姆定律,然而超導(dǎo)體的電磁本構(gòu)關(guān)系呈現(xiàn)很強(qiáng)的非線性特征,所以與常規(guī)導(dǎo)體相比,超導(dǎo)有截然不同的電磁特性.本文基于超導(dǎo)材料E-J 冪次律本構(gòu)關(guān)系,采用快速傅里葉變換方法(FFT),定量研究了不同環(huán)境溫度、磁場加載速率以及臨界電流密度條件下的超導(dǎo)薄膜磁-熱不穩(wěn)定性與非線性本構(gòu)的關(guān)聯(lián)性,揭示了強(qiáng)非線性電磁本構(gòu)是導(dǎo)致超導(dǎo)薄膜磁-熱不穩(wěn)定性(呈現(xiàn)樹狀、指狀磁通崩塌形貌)的重要因素,同時闡明了常規(guī)導(dǎo)體觀測不到類似的磁-熱不穩(wěn)定現(xiàn)象的原因.另外發(fā)現(xiàn)由于超導(dǎo)薄膜抗磁性的增強(qiáng)導(dǎo)致超導(dǎo)薄膜邊界磁場迅速增大,較大的磁壓極易誘發(fā)磁通崩塌,所以超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁通崩塌閾值隨冪指數(shù)的增加而降低.最后給出了 n0-jc0 和 n0-μ0 平面內(nèi)不同非線性程度下超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁熱不穩(wěn)定狀態(tài)的分界線.

1 引言

隨著超導(dǎo)薄膜制備技術(shù)的成熟,由超導(dǎo)薄膜制備的超導(dǎo)濾波器、超導(dǎo)量子計算機(jī)、超導(dǎo)量子干涉儀等器件顯示出更加優(yōu)越的性能[1—3].然而,在超導(dǎo)薄膜元件使用過程中,研究人員觀測到了磁熱不穩(wěn)定現(xiàn)象,這在常規(guī)導(dǎo)體中未曾出現(xiàn)過.無論是常規(guī)材料還是超導(dǎo)材料,均滿足麥克斯韋方程組,兩類材料的不同之處在于常規(guī)導(dǎo)體的電流-電壓關(guān)系滿足線性歐姆定律,而超導(dǎo)薄膜的電流-電壓關(guān)系比較復(fù)雜,具有高度非線性的特性,其中磁通蠕動指數(shù)n決定了超導(dǎo)材料電磁本構(gòu)非線性的程度[4].所以,超導(dǎo)薄膜高度非線性的電流-電壓關(guān)系可能與磁熱不穩(wěn)定性相關(guān),該特性降低了超導(dǎo)材料內(nèi)磁通運(yùn)動的穩(wěn)定性.極大地限制了超導(dǎo)材料的實(shí)際應(yīng)用[5].因此,超導(dǎo)薄膜的非線性特性及其內(nèi)部磁熱不穩(wěn)定性[6,7]引起了科研工作者的廣泛關(guān)注.

要得到超導(dǎo)材料的電流和磁場分布及其隨時間的演化規(guī)律,不僅需要 M axwell 方程組,還要有反映具體材料性質(zhì)的E-J關(guān)系.E-J關(guān)系稱為超導(dǎo)材料的電磁本構(gòu),其中的參數(shù)由具體材料和服役環(huán)境決定.一般超導(dǎo)材料的E-J電磁本構(gòu)具有復(fù)雜的強(qiáng)非線性特性.Bean[8]假設(shè)超導(dǎo)薄膜臨界電流為常數(shù),建立了著名的Bean 臨界態(tài)模型.Kim等[9]基于Bean 模型,考慮了臨界電流的磁場依賴性,給出了Kim 臨界態(tài)模型.許多學(xué)者利用該模型解析求解了超導(dǎo)圓柱、超導(dǎo)圓盤和超導(dǎo)薄帶內(nèi)的磁場和電流分布,以及交流損耗問題[10—12].此外,許多研究人員對不同材料的電流-電壓關(guān)系進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)測量[13—17],研究表明,當(dāng)溫度超過0 K時,超導(dǎo)內(nèi)部磁通渦旋就會受到熱激活作用,有一定概率脫離釘扎勢束縛,由于空間變化的磁場導(dǎo)致磁通渦旋運(yùn)動不對稱,從而整體上看磁通渦旋朝一個方向蠕動(flux creep).所以,超導(dǎo)非線性E-J關(guān)系與磁通蠕動有關(guān).為描述超導(dǎo)體中的磁通蠕動,Anderson[18]和Kim等[19]提出了Anderson-Kim 模型,該模型能很好地解釋低溫、低場狀態(tài)下的磁通弛豫數(shù)據(jù).Zeldov等[20]通過實(shí)驗(yàn)得出釘扎勢U和電流密度存在著對數(shù)關(guān)系(U=U0ln(Jc/J)),進(jìn)而提出了冪次律模型 (E=ρ0(J/Jc)n-1J/d).其中,n是與釘扎勢有關(guān)的磁通蠕動指數(shù),決定了E-J本構(gòu)的非線性程度.隨后,許多科學(xué)家測量了 B i2Sr2CaCu2O8+δ[21],YBa2Cu3O7[22,23],N b 和 V 等超導(dǎo)材料的V-I曲線,結(jié)果表明,采用冪次律模型能夠很好地與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合.因此,冪次律模型被廣泛用于磁通蠕動[24,25]、磁通滲透[26—30]、交流損耗[31—35]以及超導(dǎo)磁熱穩(wěn)定性[36—39]的理論和數(shù)值研究中.

磁熱不穩(wěn)定現(xiàn)象在第二類超導(dǎo)體中已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)觀察到[40],這一現(xiàn)象引起了人們開展相關(guān)實(shí)驗(yàn)和理論研究的極大興趣.磁熱不穩(wěn)定理論認(rèn)為,第二類超導(dǎo)體處于臨界狀態(tài)時,其中的磁通渦旋會同時受到洛倫茲力和釘扎力作用而保持平衡.然而,當(dāng)外磁場增大時,洛倫茲力會驅(qū)動磁通渦旋脫離釘扎而運(yùn)動,這種磁通運(yùn)動會產(chǎn)生大量焦耳熱,如果不能及時耗散,將會造成超導(dǎo)材料局部溫度的升高,而溫度的升高又會削弱磁通釘扎力,誘發(fā)更多的磁通渦旋運(yùn)動,正是這樣的一個正反饋,導(dǎo)致磁熱不穩(wěn)定性的發(fā)生.常見的磁通跳躍和磁通崩塌都是磁熱不穩(wěn)定性的表現(xiàn)形式,其中,磁通跳躍現(xiàn)象常發(fā)生在超導(dǎo)塊材和線材中,因?yàn)樵趬K狀或線材超導(dǎo)體中產(chǎn)生的焦耳熱只能通過溫度梯度緩慢地傳播到邊界處釋放,這使得超導(dǎo)材料的溫度需要更長的時間才能恢復(fù)到工作溫度.利用實(shí)驗(yàn)手段,科研工作者研究了磁通蠕動、正常狀態(tài)電阻率、工作溫度T0、磁場變化速率、樣品與外界環(huán)境的換熱條件以及溫度突變對磁通跳躍的影響[41,42].一些學(xué)者采用數(shù)值模擬方法,研究了平板和塊體中磁通跳躍對各種電磁和熱參數(shù)的敏感性[43—47].Wang等[48]提出了一種能夠數(shù)值模擬超導(dǎo)線圈中磁通跳躍的方案,定性地研究了 N b3Sn 線材中磁熱不穩(wěn)定的主要特征.超導(dǎo)薄膜中的磁熱不穩(wěn)定常以指狀或針狀的磁通崩塌形式出現(xiàn),因?yàn)槌瑢?dǎo)薄膜與基底之間存在良好的熱交換,使得薄膜中由于渦旋運(yùn)動產(chǎn)生的焦耳熱能夠快速釋放,減小了局部溫度向四周擴(kuò)散的可能.過去的幾十年中,研究人員利用磁光成像技術(shù)(MOI)和其他實(shí)驗(yàn)手段,在 M gB2[49,50],Nb[51—53],YBCO[54,55],Y Ni2B2C[56]等多種超導(dǎo)材料內(nèi)觀測到磁熱不穩(wěn)定現(xiàn)象.Wang等[57,58]采用實(shí)驗(yàn)手段研究了激光對超導(dǎo)薄膜磁通崩塌演化過程的影響.為了進(jìn)一步分析磁通崩塌的發(fā)生機(jī)制,研究人員采用理論和數(shù)值計算方法對磁通崩塌的產(chǎn)生及擴(kuò)展進(jìn)行了大量研究[37,39,59—62].Aranson等[63,64]采用線性攝動分析方法和快速傅里葉變換法(FFT)分別對磁通崩塌的觸發(fā)條件及演化過程進(jìn)行了理論數(shù)值研究.隨后,Vestg?rden等[36,37,59,60]對FFT 方法進(jìn)行改進(jìn),使其可以計算有限尺寸的超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁通動力學(xué)行為,并研究了不同形狀的超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁通崩塌從成核到擴(kuò)展至形成樹枝狀結(jié)構(gòu)的演化過程.結(jié)果表明,雖然在一定條件下可以預(yù)測磁通崩塌發(fā)生時的磁場閾值,但其發(fā)生位置具有隨機(jī)性,難以預(yù)測.因此,一般認(rèn)為引發(fā)渦旋成核的微小擾動來源于漲落效應(yīng).磁通崩塌發(fā)生期間,大量磁通穿透超導(dǎo)薄膜并迅速向其內(nèi)部運(yùn)動,通常伴隨著局部溫度、電場以及磁矩的跳躍.其發(fā)生規(guī)模及頻率與環(huán)境溫度、磁場加載速率以及熱擴(kuò)散系數(shù)等多種因素有關(guān)[65—67].此后,Vestg?rden等[36,37,59,60]采用冪次律模型數(shù)值研究了不同形狀的超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁通崩塌的產(chǎn)生及演化過程.Jiang等[68]給出了缺陷誘發(fā)薄膜磁通崩塌的新機(jī)制.Zhou等[62,65—67,69]研究表明磁通崩塌相關(guān)閾值與超導(dǎo)材料及大小、環(huán)境溫度、外加磁場及傳輸電流等有關(guān).然而,磁-熱不穩(wěn)定與強(qiáng)非線性電磁本構(gòu)的關(guān)聯(lián)性還不太清楚.本文采用快速傅里葉變換方法研究了具有不同磁通蠕動指數(shù)的超導(dǎo)薄膜內(nèi)的磁通運(yùn)動和磁熱不穩(wěn)定性,探討了超導(dǎo)薄膜的本構(gòu)非線性特性及其對超導(dǎo)薄膜磁熱不穩(wěn)定性的影響規(guī)律.本文其他內(nèi)容主要包括3 個部分: 首先介紹用于計算超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁通動力學(xué)行為及磁熱不穩(wěn)定性的數(shù)值模型及方法,其次討論不同參數(shù)情形下超導(dǎo)薄膜內(nèi)的非線性特性對磁通運(yùn)動和磁熱不穩(wěn)定性的影響規(guī)律,最后進(jìn)行總結(jié).

2 理論模型和方法

如圖1 所示,考慮一個寬度為w,厚度為d的正方形超導(dǎo)薄膜,并將該超導(dǎo)薄膜置于溫度始終保持為T0的基底上.當(dāng)外加磁場等于零時,超導(dǎo)薄膜從正常態(tài)冷卻到T0,隨后,外加磁場開始隨時間逐漸增加.

圖1 (a)超導(dǎo)薄膜-基底系統(tǒng)示意圖,外加磁場隨著時間線性增加并始終垂直于超導(dǎo)薄膜表面,其中超導(dǎo)薄膜大小為w×w,數(shù)值模擬區(qū)域大小為2Lx×2Ly;(b)超導(dǎo)材料E-J冪次本構(gòu)關(guān)系,n為磁通蠕動指數(shù),圖中黃色填充區(qū)域?qū)?yīng)常見超導(dǎo)材料的 E -J 本構(gòu)范圍,常規(guī)導(dǎo)體對應(yīng)n=1,即歐姆定律Fig.1.(a) Schematic diagram of the superconducting filmsubstrate system,where the applied magnetic field increases linearly with time and is always perpendicular to the surface of the superconducting film,where the superconducting film size is w × w and the numerical simulation region size is 2Lx × 2Ly;(b) E-J power instanton relationship for superconducting material,n is the flux creep index.The yellow filled area in the figure corresponds to the E-J instantonal range of common superconducting materials.The conventional conductor corresponds to n=1,denoting the Ohm’s law.

為了研究超導(dǎo)薄膜在上述零場冷卻情況下的磁熱不穩(wěn)定性,通過求解Maxwell 方程并聯(lián)立E-J本構(gòu)關(guān)系和熱擴(kuò)散方程,得到超導(dǎo)薄膜內(nèi)的磁場和溫度場分布.超導(dǎo)薄膜滿足Maxwell 方程:

其中,B=μ0H,?·J=0.假設(shè)超導(dǎo)薄膜厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于其邊長,可以認(rèn)為是無限薄情形,此時電流密度j的分布可以表示為j(x,y,z)=J(x,y)δ(z),其中J(x,y) 是面電流密度,δ(z)為德爾塔函數(shù).為了計算超導(dǎo)薄膜內(nèi)溫度場隨著時間的變化,數(shù)值求解如下形式的熱擴(kuò)散方程[36]:

式中,J ·E為焦耳熱,k和c分別為超導(dǎo)薄膜的熱擴(kuò)散系數(shù)和比熱,h是超導(dǎo)薄膜與基底之間的導(dǎo)熱系數(shù),d是超導(dǎo)薄膜的厚度.Schneider等[70]實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)低溫環(huán)境下 M gB2的熱傳導(dǎo)系數(shù)與T3成正比.Denisov等[49]假設(shè)c=c0(T/Tc)3,h=h0(T/Tc)3,κ=κ0(T/Tc)3,計算了超導(dǎo)薄膜的磁通崩塌閾值,計算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相符合.Vestg?rden等[36]基于這個假設(shè)對 M gB2薄膜和Nb 膜的磁通崩塌問題展開了數(shù)值研究,獲得了與磁光成像實(shí)驗(yàn)觀測一致的磁通崩塌演化過程.因此本文采用此模型對超導(dǎo)薄膜內(nèi)溫度分布進(jìn)行計算.對熱擴(kuò)散方程兩邊作傅里葉變換并整理,為提高求解穩(wěn)定性,取T˙(t)→(T(n+1)-T(n))/Δtn,T(t)→(T(n+1)+T(n))/2[37],這里T(n)=F[T(tn)],Δtn=t(n+1)-t(n),得到傅里葉空間的溫度場控制方程:

其中,α=κ/c,β=h/(dc),γ=1/(dc),計算完成后,對T(n+1)作傅里葉逆變換,即可求出溫度場.超導(dǎo)薄膜高度非線性的E-J本構(gòu)關(guān)系可表示為

其中,ρ0表示薄膜內(nèi)部所有被釘扎住的磁通受到洛倫茲力開始有磁通流動,但整體尚未失超時的電阻率;ρn為正常態(tài)時超導(dǎo)等效電阻率.一般情況下,在研究超導(dǎo)薄膜磁-熱不穩(wěn)定性時,常取ρ0和ρn相等[36].n表示磁通蠕動指數(shù),反映超導(dǎo)材料本構(gòu)非線性的強(qiáng)弱,與溫度和磁場相關(guān)n=-U0(T)[1-B/Bc2(T)]/(kT),U0(T) 表示釘扎勢.然而,本文研究的超導(dǎo)薄膜磁熱穩(wěn)定性主要與較小磁場(B ?Bc2(T))下的渦旋熱激活跳躍有關(guān),且該過程伴有劇烈的溫度升高,對于這里的n來說,溫度變化占據(jù)主導(dǎo)地位.因此,這里忽略了磁場依賴性,采用n=n0(Tc/T),其中,n0是一個與溫度無關(guān)的參數(shù).而且該模型可以捕捉非線性渦旋動力學(xué)的主要特征,并與大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符合[36,37].從數(shù)學(xué)方程角度,當(dāng)n較大時,超導(dǎo)體表現(xiàn)為強(qiáng)非線性;當(dāng)n較小時,表現(xiàn)為弱非線性;當(dāng)n=1,則退化到常規(guī)導(dǎo)體的線性本構(gòu)關(guān)系,即歐姆定律.如圖1(b)所示,常見超導(dǎo)材料的E-J本構(gòu)關(guān)系都在黃色背景區(qū)域內(nèi),其特征為電流密度J接近Jc時,電壓發(fā)生突變,且隨著n的增大,E-J本構(gòu)的非線性逐漸增強(qiáng),當(dāng)n=∞時,該E-J冪次模型退化為Bean臨界態(tài)模型.Tc表示超導(dǎo)薄膜的臨界溫度,Jc表示臨界電流密度,它們之間關(guān)系為[36]

在超導(dǎo)薄膜的磁熱穩(wěn)定性研究中,Jiang等[68]通過采用磁場相關(guān)的Jc(T,B) 模型數(shù)值研究了超導(dǎo)薄膜邊界裂紋選擇性誘發(fā)磁通崩塌的行為,并成功揭示了實(shí)驗(yàn)觀測到的缺口選擇性誘發(fā)磁通崩塌的機(jī)理.Wen等[71]分別采用磁場相關(guān)的Jc(T,B) 模型和磁場無關(guān)的Jc(T) 模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)做對照.結(jié)果表明,采用磁場相關(guān)的Jc(T,B) 模型與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)符合良好.由于本文考慮均勻的超導(dǎo)薄膜,且重點(diǎn)關(guān)注E-J非線性程度與磁熱穩(wěn)定性的關(guān)聯(lián),所以沒有改變更多的參數(shù).實(shí)際上磁場影響了臨界電流密度大小,本文也研究了不同的臨界電流密度對磁熱穩(wěn)定性的影響.

為方便問題求解,引入局部磁化函數(shù)g=g(x,y)來表示面電流密度,兩者之間滿足J=?×z?g,z?表示垂直于薄膜表面的單位向量.根據(jù)安培定律,超導(dǎo)薄膜內(nèi)的電流密度滿足

根據(jù)畢奧-薩伐爾定律,磁場分量Bz(r) 滿足

其中,Q(r,r′) 表示格林函數(shù);Ha表示外加磁場;Hz表示超導(dǎo)薄膜內(nèi)部總磁場,其傅里葉變換為F(Q)=k/2,k=|k|,該式可進(jìn)一步處理為

其中,F-1表示傅里葉逆變換.因此,超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁場演化模擬可由局部磁化函數(shù)得到

將該過程迭代求解s步后,薄膜外g˙(r,t) 變得很小(接近于零),此時 認(rèn)為(r,t) 就是真實(shí)的g˙(r,t).根據(jù)g(r,t+Δt)≈g(r,t)+Δtg˙(r,t) 可求得下一時刻的磁化g(r,t+Δt).將上述過程不斷迭代,得到關(guān)于局部磁化函數(shù)的演化過程.具體過程見參考文獻(xiàn)[36].數(shù)值模擬區(qū)(2Lx×2Ly)離散為256×256的網(wǎng)格.這里,Lx=Ly=1.3×a,其中a=1.0 mm,為超導(dǎo)薄膜寬度的一半;d=100 nm 表示超導(dǎo)薄膜的厚度.超導(dǎo)薄膜的材料參數(shù)為Tc=9.2 K,jc0=Jc0/d=1.2×1011A/m2,ρ0=ρn=5×10-9Ω·m[38].對于熱擴(kuò)散相關(guān)系數(shù),這里選擇κ0=20 W/K·m,h0=104W/K·m2,c0=3×104W/K·m3[38].

3 結(jié)果分析與討論

由于超導(dǎo)材料E-J本構(gòu)關(guān)系表現(xiàn)為高度非線性,其中與釘扎勢有關(guān)的磁通蠕動指數(shù)n決定了超導(dǎo)非線性的程度[4].因此,首先探究了磁通蠕動指數(shù)n對垂直外加磁場下超導(dǎo)薄膜的磁通運(yùn)動和磁熱不穩(wěn)定性的影響.圖2 給出了參數(shù)n0分別為3,15,26 情形下的超導(dǎo)薄膜在基底溫度為2.5 K,磁場加載速率為5 T/s 的環(huán)境中的磁通穿透及磁熱不穩(wěn)定性.初始時刻,薄膜處于邁斯納態(tài),隨著外加磁場的逐步增加,薄膜邊緣處的磁場逐步增大,當(dāng)外加磁場較小時(μ0Ha=1.8 mT),磁通從超導(dǎo)薄膜邊界平滑(smooth)地向薄膜內(nèi)部運(yùn)動,并且磁通穿透速度隨著磁通蠕動指數(shù)的增大而顯著減小.這是由于較小的磁通蠕動指數(shù)意味著較低的釘扎勢,磁通更容易脫離釘扎向薄膜內(nèi)部運(yùn)動,超導(dǎo)體抗磁能力越弱.當(dāng)n=1 時,(4)式即為描述常規(guī)導(dǎo)體的歐姆定律.在垂直外加磁場下,磁通會迅速穿透常規(guī)導(dǎo)體薄膜,并均勻地分布.當(dāng)外加磁場增加至一定值時,由圖2 可知,n0較小時,磁場平滑滲透(smooth penetration)進(jìn)入超導(dǎo)薄膜,直至接近完全穿透,系統(tǒng)始終處于磁熱穩(wěn)定狀態(tài).隨著n0增加到一定范圍,超導(dǎo)薄膜內(nèi)出現(xiàn)磁熱不穩(wěn)定行為,磁通在超導(dǎo)薄膜邊界成核,并迅速擴(kuò)展進(jìn)入薄膜內(nèi)部,形成樹枝狀圖案.此外,對比圖2(b),(d)和(f) 可以發(fā)現(xiàn),隨著n0的增大,磁通崩塌規(guī)模不斷減小,且發(fā)生頻率隨之增加.這是由于n0越大,超導(dǎo)薄膜抗磁性越強(qiáng),外部磁壓得不到釋放,很快達(dá)到臨界值,而且微小擾動對局部電場的影響越大,越容易發(fā)生磁通崩塌.在發(fā)生磁通崩塌時,n0越小,短時間內(nèi)磁擴(kuò)散速度越大,磁擴(kuò)散區(qū)域也就越大,表現(xiàn)為磁通崩塌規(guī)模越大.

圖2 通過數(shù)值模擬得到不同參數(shù) n0 下的超導(dǎo)薄膜分別在外加磁場為μ0Ha=1.8 mT ((a),(c),(e))和 μ0Ha=4.0 mT((b),(d),(f))時的磁場分布.背景溫度 T0=2.5 K,磁場變化率為5 T/sFig.2.Flux distributions of superconducting thin films with different parameter n0 at the applied magnetic fields ofμ0Ha=1.8 mT ((a),(c),(e)) and μ0Ha=4.0 mT ((b),(d),(f)).The substrate temperature is T0=2.5 K and the ramp rate is μ0 H˙a=5 T/s.

為了進(jìn)一步研究磁通蠕動指數(shù)對磁通崩塌閾值的影響,數(shù)值計算了不同參數(shù)n0下超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁通崩塌閾值.圖3(a)為磁通崩塌閾值隨參數(shù)n0的變化曲線,其中曲線下方區(qū)域?qū)?yīng)超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁通平滑穿透階段,曲線上方區(qū)域?qū)?yīng)磁熱不穩(wěn)定階段.在背景溫度場為2.5 K,磁場加載速率為5 T/s的環(huán)境下,當(dāng)磁通蠕動指數(shù)較小時(參數(shù)n0＜11),無論外加磁場有多大,超導(dǎo)薄膜內(nèi)始終沒有磁熱不穩(wěn)定現(xiàn)象發(fā)生.隨著磁通蠕動指數(shù)增大,薄膜內(nèi)開始有磁熱不穩(wěn)定行為發(fā)生,并且第一次出現(xiàn)磁通崩塌行為的磁場閾值會逐漸降低.這是由于當(dāng)磁通蠕動指數(shù)較大時,超導(dǎo)薄膜抗磁性增強(qiáng),在相同磁場環(huán)境下,該超導(dǎo)薄膜邊界處磁壓更強(qiáng).此外較大的n0意味著超導(dǎo)薄膜E-J非線性較強(qiáng),在較低磁場下,超導(dǎo)薄膜內(nèi)溫度、電場或電流等受到微小擾動時,電流-電壓突變更明顯,導(dǎo)致超導(dǎo)體內(nèi)的磁通狀態(tài)更加不穩(wěn)定.因此,當(dāng)磁通蠕動指數(shù)較大時,即使外加磁場較小,也會使得超導(dǎo)薄膜的磁通狀態(tài)容易發(fā)生突變,誘發(fā)磁通崩塌.圖3(b)和圖3(c)所示為不同磁通蠕動指數(shù)下的最大溫度曲線和磁化曲線,由于在磁通崩塌過程中,超導(dǎo)薄膜內(nèi)部溫度場的峰值出現(xiàn)在崩塌位置.因此,這里僅考慮超導(dǎo)薄膜內(nèi)部的最大溫度,磁通每發(fā)生一次崩塌就伴隨著磁化曲線的一次跳躍和溫度的急劇升高,磁通跳躍的頻率與溫度急劇升高的頻率基本一致.在磁通蠕動指數(shù)較小的時候(參數(shù)n0=3),沒有磁通崩塌行為發(fā)生,也就沒有溫度的突變,磁化曲線也較為平滑,所以磁通蠕動指數(shù)n必須足夠大(參數(shù)n0＞11)才能夠觀測到磁熱不穩(wěn)定性.隨著磁通蠕動指數(shù)增大,開始有磁通崩塌行為發(fā)生,而且磁通蠕動指數(shù)越大,磁通崩塌行為發(fā)生得越頻繁,磁化曲線表現(xiàn)為高頻次、小幅度跳動,發(fā)生磁通崩塌行為時的最大溫度相對較小,觸發(fā)第一次磁通崩塌行為時對應(yīng)的磁場閾值更小.

圖3 (a)磁通崩塌閾值隨著參數(shù) n0 的變化規(guī)律,曲線下方表示薄膜保持磁熱穩(wěn)定狀態(tài),曲線上方表示薄膜出現(xiàn)磁熱不穩(wěn)定;(b)不同 n0 下超導(dǎo)薄膜的最大溫度隨外加磁場的變化;(c)不同 n0 下的磁化曲線圖.數(shù)值模擬的背景溫度為T0=2.5 K,磁場變化率為5 T/sFig.3.(a) The threshold field for the onset of flux avalanches in superconducting films with different n0.The lower region indicates the film is in magneto-thermal stable state,while the upper region indicates the thermomagnetic instability.(b) Maximum temperature and (c) magnetic moment in superconducting films as a function of increasing applied field for three different n0.The substrate temperature is T0=2.5 K and the ramp rate is μ0 H˙a=5 T/s.

由于超導(dǎo)磁通蠕動指數(shù)n=n0(Tc/T) 是關(guān)于溫度的函數(shù),因此,薄膜的背景溫度會影響超導(dǎo)本構(gòu)關(guān)系的非線性程度,從而影響超導(dǎo)的磁熱穩(wěn)定性.圖4 給出了不同背景溫度下參數(shù)n0分別為3,18,29 時超導(dǎo)薄膜內(nèi)部的磁通分布.結(jié)果表明,當(dāng)背景溫度較低時(T=1.5 K),即使n0較小(n0=3),超導(dǎo)薄膜內(nèi)也發(fā)生磁通崩塌行為,但隨著背景溫度的升高,在較小的n0下,磁場從超導(dǎo)薄膜邊緣始終平滑地向薄膜內(nèi)部滲透,直至接近完全穿透超導(dǎo)薄膜.但n0增加到一定值時(如n0=18),在相同溫度和外加磁場下,超導(dǎo)薄膜內(nèi)部有磁通崩塌行為發(fā)生(見圖4(e),(f),(i)),當(dāng)n0相同時,可以發(fā)現(xiàn)在相同外加磁場下,超導(dǎo)薄膜內(nèi)的磁通崩塌數(shù)量隨著溫度的升高而減少,磁通崩塌由針狀逐漸變?yōu)闃渲罱Y(jié)構(gòu),其規(guī)模隨著溫度逐漸增大,該現(xiàn)象與實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致[72].

圖4 數(shù)值模擬了不同溫度場下(T0=1.5,2.5,3.0 K),參數(shù) n0 為3,18,29 時的超導(dǎo)薄膜在相同磁場 μ0Ha=3.1 mT 下的磁場分布Fig.4.Distribution of magnetic field Bz in superconducting fillms at the same applied field μ0Ha=3.1 mT with n0=3,18,29 and T0=1.5,2.5,3.0 K.

超導(dǎo)體的臨界電流密度是材料內(nèi)部釘扎勢強(qiáng)弱的表現(xiàn),而內(nèi)部釘扎勢必然會影響超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁通蠕動.因此,為了進(jìn)一步研究臨界電流密度對薄膜內(nèi)磁通崩塌的影響.計算了參數(shù)n0=20,零場臨界電流密度jc0分別取 6×1010,1 2×1010和24×1010A/m2情形下超導(dǎo)薄膜在外加磁場為1.6和6.2 mT 下的磁通分布.由圖5(a),(c),(e)可知,臨界電流密度的大小決定了超導(dǎo)薄膜抵抗磁通穿透的能力,在相同外加磁場下,臨界電流密度越大,超導(dǎo)薄膜內(nèi)的磁通穿透深度越小,意味著超導(dǎo)薄膜的抗磁能力越強(qiáng).此外,臨界電流密度也會影響超導(dǎo)薄膜的磁熱不穩(wěn)定性.如圖5(b),(d),(f)所示,相同磁場下,當(dāng)臨界電流密度較小時,磁場會平滑滲透進(jìn)入超導(dǎo)薄膜,直至接近完全穿透,薄膜始終處于磁熱穩(wěn)定狀態(tài).隨著臨界電流密度增大到一定值,薄膜內(nèi)出現(xiàn)磁通崩塌行為,且磁通崩塌的規(guī)模隨著臨界電流密度的增大而減小,崩塌頻率隨之升高.

圖5 通過數(shù)值模擬得到了外加垂直磁場分別為μ0Ha=1.6,6.2 mT 時,不同臨界電流密度下的超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁場分布Fig.5.Magnetic flux distribution in supercondeucting films with different critical current densities at μ0Ha=1.6,6.2 mT.

圖6 給出了超導(dǎo)薄膜磁通崩塌閾值隨臨界電流密度的變化曲線.可以看出,超導(dǎo)薄膜磁通崩塌閾值隨著臨界電流密度的增大呈指數(shù)降低,當(dāng)臨界電流密度增大到一定程度后,超導(dǎo)薄膜閾值變化逐漸減小,這與線性攝動分析結(jié)果一致[73].

圖6 超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁通崩塌閾值隨臨界電流密度 jc0 的變化.曲線上方表示超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁熱不穩(wěn)定區(qū)域,曲線下方表示超導(dǎo)薄膜內(nèi)保持磁熱穩(wěn)定狀態(tài)Fig.6.The threshold field μ0Ha for the onset of flux avalanches as a function of critical current density jc0 The lower region indicates the film is in magneto-thermal stable state,while the upper region indicates the thermomagnetic instability.

由前面的分析可知,磁通蠕動指數(shù)和臨界電流密度都會影響薄膜磁通崩塌行為.因此,通過計算多個不同臨界電流及n0的超導(dǎo)薄膜的磁通閾值,獲得了n0-jc0平面內(nèi)超導(dǎo)薄膜磁熱穩(wěn)定性范圍圖,圖7 給出了n0與臨界電流密度共同調(diào)控時超導(dǎo)薄膜保持磁熱穩(wěn)定狀態(tài)的界限.青色區(qū)域表示超導(dǎo)薄膜保持磁熱穩(wěn)定狀態(tài),磁通始終平滑穿透超導(dǎo)薄膜,直至接近完全穿透超導(dǎo)薄膜.黃色區(qū)域表示超導(dǎo)薄膜在勵磁過程中出現(xiàn)了磁熱不穩(wěn)定現(xiàn)象.結(jié)果表明,適當(dāng)降低臨界電流密度和減小磁通蠕動指數(shù)都能有效提高超導(dǎo)薄膜的磁熱穩(wěn)定性.在二者同時調(diào)控時,這兩個因素間有一定的關(guān)聯(lián),在磁通蠕動指數(shù)較大時,減小臨界電流密度有助于提高超導(dǎo)薄膜磁熱穩(wěn)定性.實(shí)質(zhì)上,臨界電流密度和磁通蠕動指數(shù)都反映著超導(dǎo)薄膜內(nèi)釘扎勢的大小.當(dāng)超導(dǎo)薄膜內(nèi)臨界電流密度較大或磁通蠕動指數(shù)較大時,超導(dǎo)薄膜退磁效應(yīng)較強(qiáng),相同外加磁場下超導(dǎo)薄膜外部磁壓較大,因此容易誘發(fā)磁通崩塌,對應(yīng)磁通崩塌閾值較低.

圖7 n0 -jc0 平面內(nèi)超導(dǎo)薄膜磁熱穩(wěn)定性/不穩(wěn)定性的范圍及分界線,圖中黃色區(qū)域表示薄膜磁熱不穩(wěn)定,青色區(qū)域表示薄膜保持磁熱穩(wěn)定狀態(tài),誤差棒表示分界線的精度Fig.7.Thermomagnetic stability/instability diagram in the n0-jc0planes.Yellow and green denote the regions of flux avalanches and smooth penetration.The error bars show the accuracy of the dividing lines.

圖8 分別給出了外加磁場以2,9,15 T/s 的加載速率增加至1.8 mT (圖8(a),(c),(e))和4.0 mT(圖8(b),(d),(f))時,超導(dǎo)薄膜內(nèi)的磁通分布.如圖8(a)和圖8(b)所示,在外磁場變化速率較低(2 T/s)時,超導(dǎo)薄膜具有良好的磁熱穩(wěn)定性,磁場能緩慢地滲透進(jìn)入超導(dǎo)薄膜,不會出現(xiàn)磁通崩塌現(xiàn)象.隨著外磁場變化率的增大,超導(dǎo)薄膜內(nèi)部開始出現(xiàn)磁熱不穩(wěn)定,而且磁通崩塌的形貌由開始的樹枝狀崩塌轉(zhuǎn)變?yōu)獒槧畋浪?崩塌頻率顯著升高,這是由于薄膜內(nèi)磁通崩塌行為的發(fā)生是磁擴(kuò)散和熱擴(kuò)散相互競爭的結(jié)果.在較大的磁場變化率下,磁擴(kuò)散速度大于熱擴(kuò)散速度,外磁場以渦旋的形式滲透進(jìn)入超導(dǎo)薄膜的過程中,由于渦旋運(yùn)動造成運(yùn)動路徑上局部溫度急劇升高,削弱了局部釘扎,使得外部磁場沿著前面渦旋運(yùn)動路徑迅速進(jìn)入超導(dǎo)薄膜,來不及向周圍擴(kuò)散,宏觀表現(xiàn)為磁通崩塌形貌分叉較少,呈針狀崩塌.

圖8 磁場變化率為μ0=2 T/s,μ0=9 T/s,μ0=15 T/s 情形下的薄膜內(nèi)磁場分布 (a),(c),(e) 表示外加磁場加載到1.8 mT 時的薄膜內(nèi)部磁場分布;(b),(d),(f)表示外加磁場加載到4.0 mT 時的薄膜內(nèi)部磁場分布.背景溫度場為T0=2.5 KFig.8.Magnetic field distribution in thin film at μ0Ha=1.8 mT ((a),(c),(e)) and 4.0 mT ((b),(d),(f)) for μ0=2,9 and 15 T/s.The substrate temperature is T0=2.5 K.

超導(dǎo)薄膜內(nèi)部磁通崩塌行為的發(fā)生,與磁通蠕動指數(shù)和外磁場變化率都是相關(guān)的.因此,本文數(shù)值計算了多個不同n0及μ0下超導(dǎo)薄膜內(nèi)的磁通運(yùn)動,獲得了n0-μ0平面內(nèi)超導(dǎo)薄膜磁熱穩(wěn)定性區(qū)域范圍(如圖9),給出了不同n0及μ0下超導(dǎo)薄膜保持磁熱穩(wěn)定狀態(tài)的界限.圖中青色區(qū)域表示薄膜內(nèi)始終保持磁熱穩(wěn)定狀態(tài),不會有磁通崩塌現(xiàn)象出現(xiàn),黃色部分表示薄膜內(nèi)發(fā)生了磁通崩塌行為.結(jié)果表明,減小磁通蠕動指數(shù)和降低外磁場變化速率都能有效提高超導(dǎo)薄膜磁熱穩(wěn)定性,在磁通蠕動指數(shù)較大的情況下,即使外磁場變化速率很小,也有可能誘發(fā)磁通崩塌行為,這是由于磁通蠕動指數(shù)越大,表示超導(dǎo)非線性越強(qiáng),由(4)式和(5)式及線性攝動分析可知,當(dāng)磁通蠕動指數(shù)較大時,即使受到很小的擾動,都有可能造成電流-電壓關(guān)系突變,從而誘發(fā)磁通崩塌.

圖9 n0-μ0 平面內(nèi)超導(dǎo)薄膜磁熱穩(wěn)定性/不穩(wěn)定性的范圍及分界線,黃色區(qū)域表示薄膜內(nèi)部磁熱不穩(wěn)定,青色區(qū)域表示薄膜保持磁熱穩(wěn)定狀態(tài),誤差棒表示分界線的精度Fig.9.Thermomagnetic stability/instability diagram in the n0-μ0planes.Yellow and green denote the regions of flux avalanches and smooth penetration,respectively.The error bars show the accuracy of the dividing lines.

4 結(jié)論

本文采用FFT 理論研究了超導(dǎo)薄膜電場-電流的非線性特性,以及具有不同非線性強(qiáng)度的超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁熱不穩(wěn)定性.考慮了不同溫度、磁場加載速率和臨界電流密度下,磁通蠕動指數(shù)n對超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁通運(yùn)動及磁熱不穩(wěn)定性的影響.與常規(guī)導(dǎo)體的線性歐姆定律不同,超導(dǎo)薄膜具有非線性E-J材料本構(gòu),且非線性程度隨著磁通蠕動指數(shù)n的增加而增強(qiáng).結(jié)果表明,當(dāng)n0較大時,超導(dǎo)薄膜內(nèi)磁通釘扎作用較強(qiáng),超導(dǎo)薄膜抗磁性強(qiáng),磁通較難穿透超導(dǎo)薄膜向其內(nèi)部運(yùn)動而導(dǎo)致邊界磁場較大.因此,超導(dǎo)薄膜內(nèi)的磁通崩塌閾值和崩塌規(guī)模隨著n0的增大而降低,崩塌頻率隨之升高.此外,在不同n0下,超導(dǎo)薄膜閾值及形貌等均受溫度、磁場加載速率以及臨界電流密度的影響.通過計算多個不同環(huán)境及材料參數(shù)下超導(dǎo)薄膜內(nèi)的磁通運(yùn)動演化過程,分別給出了n0-jc0和n0-μ0平面內(nèi)超導(dǎo)薄膜的磁熱不穩(wěn)定性范圍,得到了不同E-J材料本構(gòu)的非線性強(qiáng)度下超導(dǎo)薄膜磁熱穩(wěn)定/不穩(wěn)定狀態(tài)的分界線.