劉蘭茵

(江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,225002)

函數(shù)描述了自然界中量與量之間的依存關(guān)系,反映了一個(gè)事物隨著另一個(gè)事物變化而變化的關(guān)系和規(guī)律．函數(shù)思想是指運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)去研究和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系,通過(guò)建立函數(shù)模型或構(gòu)造輔助函數(shù),運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題[1].在高考數(shù)學(xué)試題中,函數(shù)思想不僅是解決函數(shù)問(wèn)題的重要思想方法,而且在方程、不等式、數(shù)列、向量、幾何等方面應(yīng)用非常廣泛.

一、用函數(shù)思想解決方程問(wèn)題

方程的本質(zhì)是建立已知量與未知量之間的等量關(guān)系,是構(gòu)建由已知探索未知的橋梁.由于方程f(x)=0的根是函數(shù)y=f(x)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),因此靜態(tài)的方程問(wèn)題常?？梢赞D(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的函數(shù)問(wèn)題,運(yùn)用函數(shù)思想進(jìn)行解決.

解f(x)=g(x)有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)根等價(jià)于相應(yīng)兩個(gè)函數(shù)的圖象在(0,9]有8個(gè)交點(diǎn).由f(x)在(0,2]的圖象是以(1，0)為圓心、半徑為1的上半圓，結(jié)合f(x)是奇函數(shù)且周期為4，可畫(huà)出它在(0，9]上的草圖，如圖1.

評(píng)注本題借助函數(shù)圖象求參數(shù)的取值范圍,主要考查學(xué)生直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).其思維流程框圖如圖 3所示.

二、用函數(shù)思想解決不等式問(wèn)題

不等式與函數(shù)也有著密切聯(lián)系,不等式f(x)>0(f(x)<0)的解是函數(shù)y=f(x)在x軸上方(下方)圖象對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.因此,借助函數(shù)思想對(duì)不等式變形,構(gòu)造輔助函數(shù)解決不等式問(wèn)題也是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法.

例2(2016年全國(guó)高考題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(1)求a的取值范圍;

(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明:

x1+x2<2.

解(1)略.

(2)不妨設(shè)x1f(2-x2),即f(2-x2)<0.

因?yàn)閒(2-x2)=-x2e2-x2+a(x2-1)2,而f(x2)=(x2-2)ex2+a(x2-1)2=0,所以f(2-x2)=-x2e2-x2-(x2-2)ex2.設(shè)g(x)=-xe2-x-(x-2)ex,則g′(x)=(x-1)(e2-x-ex),當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0,有g(shù)(x)

評(píng)注本題借助函數(shù)證明不等式,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng).其思維流程框圖如圖 4所示.

(A)a

(C)b

綜上，選B.

評(píng)注本題設(shè)置的問(wèn)題是實(shí)數(shù)比大小問(wèn)題，通過(guò)觀察與分析特點(diǎn)，構(gòu)造輔助函數(shù)將其一般化，使問(wèn)題獲解，有效考查了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).

三、用函數(shù)思想處理數(shù)列問(wèn)題

數(shù)列是一種特殊的函數(shù).在數(shù)列問(wèn)題求解過(guò)程中,可通過(guò)一般化構(gòu)造輔助函數(shù),將數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)為函數(shù)問(wèn)題,借助函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解,再由特殊化回到原問(wèn)題,得到解答.

例4(2017年浙江高考題)已知數(shù)列{xn}滿足x1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1),證明：當(dāng)n∈N*時(shí)，

(1)0

解(1)略.

(3)略.

評(píng)注本題第(2)問(wèn)利用遞推關(guān)系消元轉(zhuǎn)化成一元不等式,為利用函數(shù)研究不等式鋪平了道路,能有效考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).其思維流程框圖如圖 5所示.

四、用函數(shù)思想解決向量問(wèn)題

向量具有數(shù)與形兩方面的特征,所以向量問(wèn)題兼具代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的雙重特性.由于函數(shù)具有解析式和圖象的表達(dá)方式,因此向量問(wèn)題可借助函數(shù)的數(shù)和形的性質(zhì)進(jìn)行解決,尤其是在向量的模長(zhǎng)求最值問(wèn)題中.

例5(2017年浙江高考題)已知a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是______,最大值是______.

評(píng)注本題主要考查學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).求解的關(guān)鍵是引入?yún)?shù)θ，將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問(wèn)題,其思維流程框圖如圖6所示.

五、用函數(shù)思想解決立體幾何問(wèn)題

在立體幾何的相關(guān)問(wèn)題中,對(duì)于求面面、線面、線線之間夾角的最值問(wèn)題,以及求立體圖形的表面積或體積的最值問(wèn)題,最終常借助函數(shù)的單調(diào)性和最值進(jìn)行解決.

例6(2016年浙江高考題)如圖7,在?ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD=DA，PB=AB，則四面體PBCD體積的最大值是______.

解依題意，?PBD可視為?ABD繞BD旋轉(zhuǎn)得到的.因此，當(dāng)四面體PBCD的體積最大時(shí)，平面PBD⊥平面ABC，此時(shí)高h(yuǎn)為點(diǎn)P到直線BD的距離，即點(diǎn)A到直線BD的距離.

評(píng)注本題形式上是幾何問(wèn)題,但對(duì)幾何直觀、數(shù)學(xué)抽象、代數(shù)運(yùn)算的要求較高.求解時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問(wèn)題,通過(guò)引入變量建立函數(shù)關(guān)系,利用換元法簡(jiǎn)化運(yùn)算,最后借助導(dǎo)數(shù)法使問(wèn)題獲解.其思維流程如圖8所示.

通過(guò)以上問(wèn)題的求解,可以看出函數(shù)思想是高考考查的重要數(shù)學(xué)思想方法,掌握函數(shù)思想有助于幫助學(xué)生找到解題思路,提高解題效率.正如日本數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏所言:“學(xué)生們?cè)诔踔谢蚋咧兴鶎W(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí),在進(jìn)入社會(huì)后,幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用,這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué),所以通常是出校門(mén)后不到一兩年,很快就忘掉了.然而,不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作,唯有深深銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神,數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推導(dǎo)方法和著取點(diǎn)等,卻隨時(shí)隨地發(fā)揮作用,使他們受益終生[2].”因此,教師在課堂教學(xué)中,在培養(yǎng)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的同時(shí),更應(yīng)該注重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用意識(shí)及應(yīng)用能力,發(fā)展學(xué)生思維與創(chuàng)造性,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成.