陳耀熙

(福建省福州超德中學)

以多選題為創(chuàng)新形式的不等式成立的判斷問題,是近年新高考數(shù)學試卷中的一類?？嫉臒狳c題型,難度中等及以上.此類問題背景簡潔、情境多變、創(chuàng)設(shè)新穎,合理交會、融合函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識,合理融入數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng),全面考查數(shù)學基本知識、數(shù)學思想方法和數(shù)學能力,備受各方關(guān)注.本文從不等式思維、整體思維、換元思維以及特殊思維等不同思維方式,對2022年數(shù)學新高考Ⅱ卷第12題進行分析與深入研究,歸納總結(jié)了不同的解題方法與技巧,展示思維方式與能力的要求,突出創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用,以期引領(lǐng)并指導高考數(shù)學備考與解題研究.

1 真題呈現(xiàn)

題目(2022年新高考Ⅱ卷12,多選題)若實數(shù)x,y滿足x2＋y2－xy＝1,則( ).

A.x＋y≤1

B.x＋y≥－2

C.x2＋y2≤2

D.x2＋y2≥1

分析此題是多選題,它以二元方程為問題背景,結(jié)合不等式成立的判斷來設(shè)置,主要考查函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識.

試題難度中等,屬于比較常見的題型,只是這里借助多選題的形式加以創(chuàng)新編制.解題時,可以巧妙地運用融入整體思維以及換元思維,實現(xiàn)問題的分析與判斷.

2 真題破解

2.1 不等式思維

方法1 (不等式性質(zhì)法)

由x2＋y2－xy＝1,可得(x＋y)2－3xy＝1,由不等式性質(zhì)可得,則

綜上,選BC.

點評根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及其對應(yīng)的展開式,對代數(shù)式進行配方與轉(zhuǎn)化,再結(jié)合不等式的相關(guān)知識來確定代數(shù)式x＋y,x2＋y2等的取值范圍,從而分析與判斷選項.不等式思維是分析與判斷此類問題中常用的思維,關(guān)鍵是把握不等式的性質(zhì),提升數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng),從而巧妙變形,正確判斷.

2.2 整體思維

方法2 (配方法)

由x2＋y2－xy＝1,配方可得

點評熟悉代數(shù)式x＋y,x－y,xy,x2＋y2等之間的關(guān)系,合理恒等變形與化歸,利用代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征確定對應(yīng)的不等式,為求解相應(yīng)代數(shù)式的取值范圍提供了條件.運用整體思維法處理此類問題時,對代數(shù)式的變形與轉(zhuǎn)化以及數(shù)學運算能力的要求比較高,要求學生有敏銳的洞察力與運算技巧.

2.3 換元思維

方法3 (對稱換元法)

點評引入雙變元進行對稱換元處理,將條件中的二元方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于新參數(shù)的關(guān)系式,進而確定對應(yīng)的取值范圍,從而得以分析與判斷.對稱換元法是破解復(fù)雜二次方程中比較常用的一種變換技巧,其以新參數(shù)代替原參數(shù),簡化關(guān)系式,優(yōu)化過程.

2.4 特殊思維

方法4 (特殊值法)

取特殊值令x＝y(tǒng)＝1,其滿足x2＋y2－xy＝1,則x＋y＝2≤1不成立,故選項A 錯誤;再取特殊值x＝－y＝,其滿足x2＋y2－xy＝1,則x2＋y2＝≥1不成立,故選項D 錯誤.再根據(jù)多選題的特征,故選BC.

點評通過選取二元方程滿足條件下的特殊值,合理排除選項.在多選題中,尤其是確定其中兩個選項錯誤時,則另外兩個肯定是正確答案.利用特殊值法破解相應(yīng)的綜合與創(chuàng)新問題,有一定的“秒殺”效果,但一般“可遇而不可求”,不具有可推廣性與普及性,如果一定要花大量時間去配湊特殊值,有可能會得不償失.

3 變式拓展

通過改變題目中變量的取值情況,賦予新的情境,對問題進行變式拓展,并通過問題的分析與求解鞏固解題方法.

變式(多選題)已知a＞0,b＞0,且a＋b＝2,則下列不等式對一切滿足條件的a,b恒成立的是( ).

4 小結(jié)

4.1 掌握“通技通法”,鞏固“四基”訓練

高考中涉及不等式成立的判定問題,主要融入函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識.常見解決問題的通性通法是不等式思維、整體思維、換元思維、特殊思維等,借助一些常見的方法(如配方法、特殊值法等),全面靈活應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學知識來分析與解決問題,鞏固數(shù)學“四基”訓練.

4.2 體驗思想方法,培養(yǎng)核心素養(yǎng)

高考中涉及不等式成立的判定問題,巧妙設(shè)置,創(chuàng)新應(yīng)用,融入函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化以及特殊與一般等數(shù)學思想方法,滲透相應(yīng)的數(shù)學能力及數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng),使學生在解題過程中掌握和領(lǐng)悟數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

(完)