王曉娜

(山東省平度經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)高級(jí)中學(xué))

圍繞同一中心天體在不同軌道做圓周運(yùn)動(dòng)的天體(或衛(wèi)星),由于運(yùn)動(dòng)周期的不同,會(huì)出現(xiàn)相距最近或相距最遠(yuǎn)的情況,這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)為天體運(yùn)動(dòng)中的“追及相遇”問(wèn)題.最近或最遠(yuǎn)外在表現(xiàn)為天體共線,其內(nèi)在規(guī)律體現(xiàn)為天體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的角度關(guān)系或圈數(shù)關(guān)系.該類(lèi)問(wèn)題由于涉及兩個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)情境的構(gòu)建和角度關(guān)系的尋找,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn).本文嘗試從相對(duì)運(yùn)動(dòng)的角度,通過(guò)構(gòu)建“圓周相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型”,化多體運(yùn)動(dòng)為單一物體的運(yùn)動(dòng),從而幫助學(xué)生有效突破這一難點(diǎn),實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的快速求解.

1 引入圓參考系,構(gòu)建“圓周相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型”

如圖1所示,物體A、B繞O點(diǎn)做同向(逆時(shí)針?lè)较?勻速圓周運(yùn)動(dòng),它們做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度、周期分別為ω1、ω2和T1、T2.某一時(shí)刻,O、A、B共線,經(jīng)時(shí)間t轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別為θ1、θ2.

圖1

假設(shè)ω2＞ω1,則以O(shè)A連線為參考系,此參考系可稱(chēng)為圓參考系,在該參考系中,A可認(rèn)為靜止不動(dòng).則物體B相對(duì)角速度

相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)周期

相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)的角度

若物體A、B繞O點(diǎn)做方向相反的勻速圓周運(yùn)動(dòng),如圖2所示,則有

圖2

相互關(guān)系有

2 模型在天體“追及相遇”問(wèn)題中的應(yīng)用

2.1 同向運(yùn)動(dòng)星體的“追及相遇”問(wèn)題

例1如圖3 所示,天體a、b在萬(wàn)有引力作用下,繞中心天體c沿逆時(shí)針?lè)较蜃鰟蛩賵A周運(yùn)動(dòng),已知a、b軌道半徑之比為ra∶rb＝1∶4,則下列說(shuō)法正確的是().

圖3

A.a、b運(yùn)動(dòng)的角速度之比為ωa∶ωb＝8∶1

B.a、b運(yùn)動(dòng)的周期之比為T(mén)a∶Tb＝8∶1

C.從圖示位置開(kāi)始在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中,a、b相距最近7次

D.從圖示位置開(kāi)始,在b轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中,a、b、c共線12次

解析由萬(wàn)有引力提供向心力,有

2.2 反向運(yùn)動(dòng)衛(wèi)星的“追及相遇”問(wèn)題

例2如圖4所示,A、B兩顆衛(wèi)星繞地心O做勻速圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方向相反.A衛(wèi)星的周期為T(mén)1,B衛(wèi)星的周期為T(mén)2,在某一時(shí)刻兩衛(wèi)星相距最近,引力常量為G,則().

圖4

若已知A、B兩衛(wèi)星相距最近時(shí)的距離,結(jié)合兩衛(wèi)星的軌道半徑之比可以求出A、B兩衛(wèi)星的軌道半徑,根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力,有則可求出地球的質(zhì)量M,由于不知道地球的半徑,故無(wú)法求出地球的密度,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤.

例3太陽(yáng)系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽(yáng)做圓周運(yùn)動(dòng).當(dāng)?shù)厍蚯『眠\(yùn)行到某地外行星和太陽(yáng)之間,且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象,天文學(xué)稱(chēng)為“行星沖日”.據(jù)報(bào)道,2014年各行星沖日時(shí)間分別是:1月6日木星沖日;4月9日火星沖日;5月11日土星沖日;8月29日海王星沖日;10月8日天王星沖日.已知地球及各地外行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道半徑如表1所示.則下列判斷正確的是().

表1

A.各地外行星每年都會(huì)出現(xiàn)沖日現(xiàn)象

B.在2015年內(nèi)一定會(huì)出現(xiàn)木星沖日

C.天王星相鄰兩次沖日的時(shí)間間隔為土星的一半

D.地外行星中,海王星相鄰兩次沖日的時(shí)間間隔最短

在天體運(yùn)動(dòng)中,涉及相距最近或最遠(yuǎn)的時(shí)間問(wèn)題和最近(最遠(yuǎn))或共線的次數(shù)問(wèn)題時(shí),從相對(duì)運(yùn)動(dòng)的角度分析,通過(guò)建構(gòu)“圓周相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型”,可簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)情境和減少運(yùn)算量,有效突破學(xué)生的認(rèn)知難點(diǎn),切實(shí)提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力.

(完)