俞 鵬

(清華大學(xué)附屬中學(xué))

多數(shù)人都有這樣的經(jīng)驗(yàn):蕩秋千時(shí),無(wú)須借助外力,只需通過(guò)重心位置的變化,就可以讓秋千越擺越高.這一現(xiàn)象背后的原因是什么呢? 為了研究其中的原因,首先對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化,做如下假設(shè):1)忽略人的寬度,將人當(dāng)作質(zhì)量分布均勻的長(zhǎng)條形(高度可變);2)人控制身體與秋千的擺線始終平行,且擺線始終不會(huì)彎折;3)人的高度可以任意變化(從0到最大身高h(yuǎn)),但始終保證質(zhì)量均勻分布;4)忽略繩子和秋千底板的質(zhì)量,整個(gè)系統(tǒng)只考慮人的質(zhì)量即可.

如圖1 所示,以逆時(shí)針為轉(zhuǎn)動(dòng)的正方向,擺長(zhǎng)記為L(zhǎng),人的質(zhì)量為m,人的重心到轉(zhuǎn)軸的距離記作r,在角度為θ時(shí),人受到重力與繩子拉力FT的作用,將人相對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量記作I,則該瞬間有

圖1

根據(jù)平行軸定理,可以寫(xiě)出

將式②對(duì)r求導(dǎo)可得

考慮實(shí)際情況,人身高不超過(guò)秋千繩長(zhǎng),即

將式④代入式③可知

式⑤說(shuō)明,正常情況下,人站起會(huì)使得I變小,人蹲下則會(huì)使得I變大.

下面對(duì)式①做定性分析(取0＜θ＜).

若人的形態(tài)不變,即dI＝0,則有dω＜0,此時(shí)秋千正在減速上擺.為了方便后續(xù)討論,不妨設(shè)人形態(tài)不變情況下,在dt時(shí)間內(nèi)角速度變化為

若人發(fā)生形態(tài)變化,則在dt時(shí)間內(nèi)角速度變化為

情況1ω＞0,秋千正在逆時(shí)針上擺,此時(shí)式①左側(cè)小于0.

若人的形態(tài)不變,即dI＝0,則有dω＝dω0＜0,此時(shí)秋千正在減速上擺.

若人發(fā)生形態(tài)變化:如果dI＞0(人正在下蹲),則dω1＜dω0＜0,即由于人的下蹲會(huì)使得秋千上擺時(shí)減速得更快,并且ω的絕對(duì)值越大,該影響越大;如果dI＜0(人正在站起),則dω0＜dω1＜0,即由于人的站起會(huì)使得秋千上擺時(shí)減速得更慢,并且ω的絕對(duì)值越大,該影響越大.

情況2ω＜0,秋千正在順時(shí)針下擺,此時(shí)式①左側(cè)小于0.

若人的形態(tài)不變,即dI＝0,則有dω＝dω0＜0,此時(shí)秋千正在加速下擺.

若人發(fā)生形態(tài)變化:如果dI＞0(人正在下蹲),則角速度變化dω1滿足dω0＜dω1＜0,即由于人的下蹲會(huì)使得秋千下擺時(shí)加速得更慢,并且ω的絕對(duì)值越大,該影響越大;如果dI＜0(人正在站起),則角速度變化dω1滿足dω1＜dω0＜0,即由于人的站起會(huì)使得秋千下擺時(shí)加速得更快,并且ω的絕對(duì)值越大,該影響越大.

綜上所述,站起過(guò)程有利于秋千越蕩越高,而下蹲過(guò)程則會(huì)讓秋千蕩得更低.但蕩秋千時(shí)我們必須不斷交替地站起和蹲下,所以如何增加站起過(guò)程對(duì)秋千的影響同時(shí)削弱下蹲過(guò)程對(duì)秋千的影響就成了關(guān)鍵.

可見(jiàn),任意時(shí)刻由人的形態(tài)變化產(chǎn)生的角速度變化都是隨ω的絕對(duì)值的增大而增大的,所以如果能在角速度較大的地方(較低處)站起,且在角速度較小的地方(較高處)蹲下,就可以讓秋千越蕩越高.

為了幫助大家更好地理解,下面來(lái)討論一種最理想的蕩秋千方式:即讓站起的動(dòng)作全部發(fā)生在角速度最大的最低點(diǎn),而讓蹲下的動(dòng)作全部發(fā)生在角速度最小的最高點(diǎn).此時(shí)可以假設(shè)人每次的重心變化(蹲下或站起)都非常迅速,以至于每次蹲下或站起時(shí)秋千的位置都來(lái)不及變化,這樣每次人在蹲下或站起時(shí)和對(duì)秋千的作用力以及身體各部分之間的作用力都遠(yuǎn)大于重力,也就是人和秋千之間、人身體各部分之間的內(nèi)力矩都遠(yuǎn)大于重力矩,于是可以認(rèn)為每次蹲下或站起的瞬間人相對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量守恒.即

進(jìn)一步將式⑦寫(xiě)成

對(duì)式⑧進(jìn)一步討論.

情況1人突然蹲下,ΔI＞0,則Δω與ω異號(hào),即秋千會(huì)突然減速,為了將這種減速的效應(yīng)降到最低,我們可以在ω＝0的位置蹲下,即在最高點(diǎn)蹲下,此時(shí)Δω＝0,不會(huì)因?yàn)橄露锥鴾p速.

情況2人突然站起,ΔI＜0,且因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)慣量不會(huì)變?yōu)樨?fù)數(shù),所以一定有－ΔI＜I,則＋1＜0,于是Δω與ω同號(hào),即秋千會(huì)突然加速,為了將這種加速的效應(yīng)發(fā)揮到最大,應(yīng)選擇ω最大的時(shí)刻站起,即在最低點(diǎn)站起,此時(shí)可以獲得最大的Δω.

綜上所述,將秋千蕩高的最高效方式是:在最高點(diǎn)突然蹲下,在最低點(diǎn)突然站起.

有人提出過(guò)一個(gè)有趣的問(wèn)題:秋千越蕩越高的過(guò)程中,某次人在最低點(diǎn)突然站起,有沒(méi)有可能使得秋千能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)呢? 顯然,為了讓人能夠完成這個(gè)高難度動(dòng)作,就得讓人在最低點(diǎn)突然站起后具有盡量大的機(jī)械能,這就要求突然站起前人的機(jī)械能也得盡量大,而在之前的擺動(dòng)中繩子最多能到達(dá)水平狀態(tài)(再高則繩會(huì)松弛),所以我們考慮最可能完成這個(gè)動(dòng)作的方案:如圖2所示,假設(shè)之前一次秋千擺角剛好到達(dá)90°,且人蜷縮成一團(tuán)(質(zhì)量全部集中在距離軸心L處的秋千底板),即圖中A狀態(tài).然后人自然下擺到最低點(diǎn)B,并獲得動(dòng)能Ek0＝mgL,接下來(lái)人突然站起,使得重心到軸的距離變?yōu)閞,并假設(shè)之后人可以運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn).人站起前相對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0＝mL2,人站起后相對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量已經(jīng)由式②得出,即

圖2

設(shè)在B點(diǎn)突然站起后的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能變?yōu)镋k1,由于站起瞬間角動(dòng)量守恒,所以有

不妨令r＝Lx,則式○10變形為

設(shè)到最高點(diǎn)C的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為Ek2,并設(shè)C點(diǎn)處人的質(zhì)心速度為vC2,則根據(jù)機(jī)械能守恒定律得

若要人能夠通過(guò)最高點(diǎn)C,則需要

根據(jù)式④的假設(shè)可知0.5≤x≤1.所以可以保證式兩邊的分子和分母都大于0,于是式可化為

畫(huà)出y＝f(x)的函數(shù)圖像,如圖3所示.

圖3

由圖像可知f(x)＜0的解為

也就是說(shuō),要想完成在最低點(diǎn)突然站起使得秋千能夠做完整圓周運(yùn)動(dòng)的動(dòng)作,人的身高h(yuǎn)需要滿足條件為

上式給出了要完成這個(gè)高難度動(dòng)作對(duì)人的身高的限制條件,h的下限0.5544L比較好理解,而h的上限實(shí)際上是對(duì)應(yīng)了人站起來(lái)比秋千還高的情況.如果要考慮式④的限制,則須寫(xiě)成0.5544L≤h≤L.

(完)