華云松，戴紅陽，李宏澤，楊暉，李然

（1.上海理工大學(xué) 光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海 200093；2.上海理工大學(xué) 健康科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200093）

引言

顆粒物質(zhì)是由大量離散的固體顆粒組成的系統(tǒng)[1-4]。顆粒堆積結(jié)構(gòu)上的差異導(dǎo)致了顆粒系統(tǒng)復(fù)雜的動力學(xué)行為，例如非局域流變、應(yīng)力陡降以及塑性變形等現(xiàn)象[5-8]。因此，量化堆積顆粒的結(jié)構(gòu)有助于更好地理解顆粒物質(zhì)的力學(xué)行為。

Voronoi 圖作為傳統(tǒng)方法被廣泛應(yīng)用于量化顆粒系統(tǒng)的介觀結(jié)構(gòu)中[9]。Meyer等[10]使用Voronoi 圖對堆積顆粒的體積進(jìn)行劃分，并根據(jù)填料的配位數(shù)和緊實(shí)度來預(yù)測填料的極限密度。這一結(jié)果對于理解圓盤顆粒的無序態(tài)排列問題以及二維系統(tǒng)中假定的玻璃躍遷的存在問題具有重要意義。Zhao等[11]采用Voronoi 圖研究了三維單分散橢球顆粒堆積體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。他們利用離散單元法模擬了橢球顆粒的各向同性和三軸壓縮試驗(yàn)。結(jié)果表明，在剪切過程中，平均局部孔隙度、平均球度是關(guān)于整體孔隙度和平均配位數(shù)的函數(shù)，這證明了孔隙度與顆粒網(wǎng)絡(luò)之間存在一定的關(guān)系。Quadrons 作為一種新的方法用于測量局部堆積結(jié)構(gòu)[12]。Matsushima等[13]利用Quadrons詳細(xì)研究了顆粒間的摩擦和系統(tǒng)初始條件對二維堆積顆粒結(jié)構(gòu)特征的影響。他們利用離散單元法證明了結(jié)構(gòu)可以用Quadrons 進(jìn)行定量分析，并且發(fā)現(xiàn)了一種普遍性的結(jié)構(gòu)特征與系統(tǒng)的初始狀態(tài)和顆粒的摩擦系數(shù)無關(guān)。與Quadrons 密切相關(guān)的Cell 也常被用于描述堆積顆粒的結(jié)構(gòu)特征，將接觸顆粒的中心點(diǎn)沿著逆時針方向連接起來圍成的區(qū)域就是Cell，它保留了接觸顆粒的連通性信息，并在顆粒統(tǒng)計(jì)力學(xué)中發(fā)揮著重要作用[14]。Sun等[15]使用Cell 網(wǎng)格分析循環(huán)剪切驅(qū)動的二維顆粒系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，明確了摩擦系數(shù)不同的顆粒的結(jié)構(gòu)特征是力學(xué)穩(wěn)定性和熵之間競爭的結(jié)果，后者的影響會隨著摩擦的增大而增加。

本文采用Cell 網(wǎng)格研究二維體系中圓盤顆粒的堆積結(jié)構(gòu)特征。首先通過圖像法對顆粒進(jìn)行表征，再通過Cell 來描述二維筒倉內(nèi)圓盤顆粒系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征；然后探究系統(tǒng)尺寸的改變與堆積結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性之間的關(guān)系，最后通過施加振動進(jìn)一步研究外力驅(qū)動條件下圓盤顆粒的堆積結(jié)構(gòu)特性。

1 實(shí)驗(yàn)

1.1 實(shí)驗(yàn)裝置

實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng)由二維筒倉，高速相機(jī)和LED光源組成。實(shí)驗(yàn)裝置如圖1 所示。二維筒倉前后擋板由5 mm 鋼化玻璃制成，二維筒倉高50 cm，寬35 cm，厚5 mm，其中寬度可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)需求在20～35 cm 范圍內(nèi)調(diào)節(jié)。高速相機(jī)(型號為3F04M)能夠調(diào)節(jié)高度至恰好能拍攝到筒倉中心位置。高速相機(jī)分辨率為1 691 像素×1 489 像素，曝光時間設(shè)置為1 000 μs，采樣率為333 幀/s，通過比例近似法計(jì)算出高速相機(jī)捕獲圖像的空間分辨率為0.042 mm/px。LED 光源(型號為SL-200W)的輸出功率為200 W，光束直徑為160 mm。實(shí)驗(yàn)中選用的白色圓盤顆粒由有機(jī)玻璃材料制成，其直徑為10 mm，厚度為4.4 mm。

圖1 實(shí)驗(yàn)裝置圖Fig.1 Experimental set-up

實(shí)驗(yàn)中先確定筒倉的實(shí)驗(yàn)區(qū)域大小后將二維筒倉擺放好，采用“分布式填充”[16]將圓盤顆粒裝載進(jìn)筒倉中。為了避免光源與筒壁產(chǎn)生的反射光對拍攝圖片的干擾，光源與筒倉呈約60°夾角放置，使光束能夠均勻的打在顆粒上。最后調(diào)整高速相機(jī)的光圈和焦距，使得每個顆粒的中心點(diǎn)都能清晰地被高速相機(jī)捕捉到。

1.2 圖像法和Cell 構(gòu)建

圖2(a)為某次實(shí)驗(yàn)高速相機(jī)采集到的二維筒倉內(nèi)堆積顆粒的某一區(qū)域的圖像，采用全局閾值分割法對顆粒圖像二值化[17-18]，并采用中值濾波的方法對圖像進(jìn)行濾波。這種非線性濾波方法可以有效保持顆粒圖像的邊緣，使之不被模糊。然后對濾波后的圖像進(jìn)行先腐蝕后膨脹的開操作，再進(jìn)行先膨脹后腐蝕的閉操作。其中膨脹和腐蝕的操作過程如下：若結(jié)構(gòu)A 被結(jié)構(gòu)B 膨脹，則記為A ⊕ B，可以理解為：將結(jié)構(gòu)B 在結(jié)構(gòu)A 上進(jìn)行卷積操作，如果移動結(jié)構(gòu)B 的過程中，與結(jié)構(gòu)A 存在重疊區(qū)域，則記錄結(jié)構(gòu)B 的中心點(diǎn)所在的位置，所有移動結(jié)構(gòu)B 與結(jié)構(gòu)A 存在交集的位置的集合為結(jié)構(gòu)A 在結(jié)構(gòu)B 作用下的膨脹結(jié)果。若結(jié)構(gòu)A 被結(jié)構(gòu)B 腐蝕，則記為A⊕B，可以理解為：移動結(jié)構(gòu)B，如果結(jié)構(gòu)B 與結(jié)構(gòu)A 的交集完全屬于結(jié)構(gòu)A，則保存結(jié)構(gòu)B 的中心點(diǎn)所在的位置，所有滿足條件的點(diǎn)構(gòu)成結(jié)構(gòu)A 被結(jié)構(gòu)B 腐蝕的結(jié)果。其中開操作可以消除細(xì)小的突出物從而進(jìn)行輪廓光滑處理，閉操作可用于填補(bǔ)小的空洞和輪廓的斷裂從而進(jìn)行輪廓光滑處理，這一操作有利于后續(xù)對顆粒進(jìn)行有效識別。對開操作和閉操作后的圖像進(jìn)行連通域特征提取，以圖像左下角為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，以確保準(zhǔn)確無誤地對顆粒的中心點(diǎn)進(jìn)行定位，其中中心點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公式如下：

圖2 顆粒表征圖Fig.2 Particle characterization

式中：為中心點(diǎn)橫坐標(biāo)；為中心點(diǎn)縱坐標(biāo)；S為顆粒連通域的面積；M×N為連通域的大小，最終用坐標(biāo)點(diǎn)來代替顆粒。通過兩點(diǎn)間距離公式可以計(jì)算出顆粒與顆粒中心點(diǎn)間的距離d，通過判斷d與顆粒直徑D的大小關(guān)系，可以判斷顆粒是否接觸，計(jì)算公式如下：

式中：d為基準(zhǔn)顆粒和對照顆粒間的距離；D為顆粒直徑；(x1,y1)為基準(zhǔn)顆粒的坐標(biāo)；(x2,y2)為對照顆粒的坐標(biāo)。若判斷為接觸，則將兩個顆粒的中心點(diǎn)連接起來，基于以上算法可以較為精確地表征出如圖2(b)所示的堆積顆粒的Cell 分布圖。

由于二維筒倉內(nèi)形成的Cell 都是平面圖形，故通過單個Cell 含有的邊數(shù)n可以確定Cell 的形狀為幾邊形，如圖2(b)中的藍(lán)色陰影部分即為八邊形的Cell 示意圖。P(n)等于邊數(shù)為n的Cell 占總數(shù)的比值。對諸如圖2(b)表征的圖像中所有Cell 的周長進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)把圖像中的像素當(dāng)作點(diǎn)看待時，周長可用鏈碼表示，求周長也就是計(jì)算鏈碼的長度。此時，若鏈碼值為奇數(shù)，長度記作；鏈碼值為偶數(shù)，長度記作1。將計(jì)算得到的Cell 的周長和邊長進(jìn)行比較就可以判斷出此Cell 對應(yīng)的邊數(shù)n，其計(jì)算公式如下：

式中：No和Ne分別為8 連通邊界鏈碼中奇數(shù)碼和偶數(shù)碼的數(shù)目；l為Cell 邊長的鏈碼長度；p為所得Cell 的周長；n為Cell 對應(yīng)的邊數(shù)。對實(shí)驗(yàn)采集的所有圖像中出現(xiàn)的Cell 的形狀和數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，即可計(jì)算出邊數(shù)為n的Cell 對應(yīng)的P(n)值。

對比原始圖像可以發(fā)現(xiàn)，對于顆粒是否接觸的判斷仍會存在誤差。誤差主要來源于照片邊緣會存在不可避免的幾何失真，所以對處于照片邊緣的顆粒的表征會存在些許誤差。對此，實(shí)驗(yàn)中在保證照片清晰的情況下盡可能把高速相機(jī)放置得離二維筒倉遠(yuǎn)點(diǎn)來加以避免。

2 結(jié)果與討論

2.1 Cell 分布

圖3(a)為35 cm×30 cm 二維筒倉內(nèi)堆積顆粒的Cell 分布，不同顏色表示不同形狀的Cell?？梢钥闯?，在重力驅(qū)動下，形狀相同的Cell 分布比較集中，堆積顆粒的Cell 分布出現(xiàn)了若干大面積的結(jié)晶區(qū)域。

圖3 顆粒系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特征Fig.3 The structure characteristics of a particle system

重復(fù)50 次實(shí)驗(yàn)，對諸如圖3(a)所示的圖像中不同形狀的Cell 數(shù)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到二維筒倉內(nèi)堆積顆粒Cell 形狀的概率分布，如圖3(b)所示。可以看出，堆積顆粒的Cell 形狀的概率分布滿足指數(shù)函數(shù)分布，即堆積顆粒的Cell 形狀的概率分布曲線滿足：

式中a、b為擬合系數(shù)。擬合系數(shù)b可以用來描述堆積結(jié)構(gòu)的松散程度，b越大表示堆積顆粒的密集程度越低。采用最小二乘法對圖3(b)中數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合誤差小于5%，發(fā)現(xiàn)擬合函數(shù)為lnP(n)=3.095-1.155n，值得注意的是，顆粒系統(tǒng)中十三邊形的Cell 偏離了指數(shù)函數(shù)曲線。這是因?yàn)檩^大的Cell 出現(xiàn)概率具有隨機(jī)性，故而偏離曲線，這與自組織臨界模型的結(jié)果[19]是一致的。

2.2 尺寸效應(yīng)

圖4(a)為筒倉高度為30 cm 時，不同筒倉寬度下堆積顆粒的Cell 形狀概率分布?？梢园l(fā)現(xiàn)，改變筒倉寬度后，堆積顆粒Cell 形狀的概率分布仍然符合指數(shù)函數(shù)分布。但是增大筒倉寬度后，曲線的擬合系數(shù)b呈上升趨勢，如圖4(b)所示。圖中采用最小二乘法擬合，擬合誤差小于5%，求得擬合直線的斜率k1=2.9×10-3。在筒倉寬度為35 cm 時，改變筒倉的高度后，同樣可以發(fā)現(xiàn)堆積顆粒的Cell 形狀的概率分布始終符合指數(shù)函數(shù)分布，如圖4(c)所示。但是增大筒倉高度后，曲線的擬合系數(shù)b呈下降趨勢，如圖4(d)所示。圖中采用最小二乘法擬合，擬合誤差小于5%，求得擬合直線的斜率k2=-3.5×10-2。這揭示了在相同顆粒體系下，一定范圍內(nèi)，堆積系統(tǒng)寬度的增加會導(dǎo)致Cell 網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)變得松散，從而降低了顆粒系統(tǒng)的力學(xué)穩(wěn)定性。而堆積系統(tǒng)高度的增加，促使顆粒受到的應(yīng)力也隨之增加，因此Cell 網(wǎng)格的結(jié)構(gòu)變得更加緊密，從而增加了顆粒系統(tǒng)的力學(xué)穩(wěn)定性。但需要說明的是，這樣的規(guī)律可能不會隨著筒倉尺寸的繼續(xù)增加而一直持續(xù)。

圖4 不同大小的筒倉下Cell 形狀的概率分布及擬合參數(shù)b的變化Fig.4 Probability distribution of cell shapes with different silo size and the change of the fitting parameter b

2.3 振動對圓盤顆粒結(jié)構(gòu)特性的影響

為了探究振動對顆粒堆積結(jié)構(gòu)的影響，設(shè)置了不同的振動參數(shù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。在垂直振動頻率為10 Hz、加速度為6.7 m/s2的條件下，35 cm×30 cm 的二維筒倉內(nèi)堆積顆粒的體積分?jǐn)?shù)的變化經(jīng)歷了快速上升、平緩上升和趨于穩(wěn)定3 個階段，如圖5(a)所示。振動后的顆粒系統(tǒng)的體積分?jǐn)?shù)提升了3%左右，達(dá)到了85.7%，這表明振動后的顆粒堆積得更加緊密。圖5(b)為穩(wěn)定階段堆積顆粒Cell 形狀的概率分布，可以看出，振動后堆積顆粒的Cell 形狀的概率分布已經(jīng)不再滿足指數(shù)函數(shù)，其中形如三角形的Cell 的出現(xiàn)概率增大了約19%，而其他形狀的Cell 的出現(xiàn)概率都顯著降低了，這恰好與振動前后體積分?jǐn)?shù)的變化情況相互對應(yīng)。然而值得注意的是，除去形如三角形的Cell，采用最小二乘法對余下數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，擬合誤差小于5%，發(fā)現(xiàn)余下Cell 形狀的概率分布仍然滿足指數(shù)函數(shù)分布。這一現(xiàn)象揭示了外力驅(qū)動條件下，顆粒堆積系統(tǒng)的有序結(jié)構(gòu)特征。

圖5 振動對顆粒結(jié)構(gòu)特性的影響Fig.5 Influence of vibration on structural characteristics of particles

3 結(jié)論

研究了系統(tǒng)尺寸和振動對無序二維顆粒系統(tǒng)堆積結(jié)構(gòu)特征的影響。通過測量圓盤顆粒在二維筒倉內(nèi)的Cell 網(wǎng)格，發(fā)現(xiàn)了堆積顆粒的Cell 形狀是滿足指數(shù)函數(shù)分布的。進(jìn)一步觀察到，不同系統(tǒng)尺寸條件下，Cell 形狀的概率分布始終滿足指數(shù)函數(shù)分布，并且隨著筒倉寬度的增加，擬合系數(shù)b呈上升趨勢，這說明顆粒堆積系統(tǒng)寬度越寬，堆積結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性越差；而隨著筒倉高度的增加，擬合系數(shù)b呈下降趨勢，這說明顆粒堆積系統(tǒng)高度越高，堆積結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性越好。在振動驅(qū)動條件下，發(fā)現(xiàn)形如三角形的Cell 的出現(xiàn)概率增大了19%，值得注意的是，其他形狀的Cell 的概率分布仍符合指數(shù)函數(shù)分布。實(shí)驗(yàn)結(jié)果揭示了無序顆粒系統(tǒng)中介尺度條件下的有序堆積結(jié)構(gòu)特征，為完善工業(yè)生產(chǎn)中顆粒材料運(yùn)輸和加工技術(shù)提供了參考數(shù)據(jù)。