曾 慧，李寶毅，張永康

（天津師范大學數(shù)學科學學院，天津 300387）

1 引言與主要結(jié)果

Hamilton 向量場在擾動下的極限環(huán)個數(shù)的估計是常微分方程定性理論的研究熱點之一，該問題與Hilbert 第16 問題密切相關(guān)[1].在旋轉(zhuǎn)2π/q（q∈N+）角度下不變的平面向量場稱為Zq等變向量場，其在平面Hamilton 向量場中具有舉足輕重的地位[2-3]，相關(guān)學者對其擾動系統(tǒng)進行了大量研究[2-7].如，文獻[2]證明了Z2等變?nèi)蜗到y(tǒng)至少有13 個極限環(huán)；文獻[3]證明了Z2等變?nèi)蜗到y(tǒng)與Z2等變五次系統(tǒng)中心存在的同時性，并給出了相應(yīng)的充要條件.近年來，工程學等應(yīng)用科學涉及的模型中有很多都是非光滑的[8-9]，因而對于非光滑系統(tǒng)分支現(xiàn)象的研究也越來越受到重視[10-13].文獻[10]將平面分為左右2 個區(qū)域，證明了在分段n次多項式擾動下，具有S(2)和S(3)平面環(huán)的二次退化Hamilton 系統(tǒng)分別在以平面環(huán)S(2)和S(3)為邊界的周期解附近分支出的極限環(huán)個數(shù)不超過25n+149 和25n+115（計重數(shù)）.文獻[11]將平面等分為3 個扇形區(qū)域，證明了一類分段線性Hamilton 系統(tǒng)在n 次多項式擾動下至少有2n+2[（n+1）/2]+2 個極限環(huán).文獻[12]將平面分為左右2 個區(qū)域，證明了Bogdanov-Takens系統(tǒng)在非連續(xù)分段n 次多項式擾動下極限環(huán)個數(shù)的上確界不超過16n+[n/2]-10.文獻[13]研究了計算分段光滑近Hamilton 系統(tǒng)極限環(huán)個數(shù)的2 種方法：Melnikov函數(shù)法和平均法，證明了這2 種方法的等價性，并給出了平面分段近Hamilton 系統(tǒng)的二階Melnikov 函數(shù)的表示.

本文將平面分為左右2 個區(qū)域，考慮一類Z2等

2 一階Melnikov 函數(shù)

3 一階Melnikov 函數(shù)零點個數(shù)的估計