高云峰

(清華大學航天航空學院，北京 100084)

科學研究離不開系統(tǒng)與模型。系統(tǒng)是根據(jù)研究目的而人為界定，由一些有關(guān)聯(lián)的物體或成份組成的有序整體。簡單地說，系統(tǒng)就是我們關(guān)注或研究的對象，包含邊界、成份和相互作用。模型是經(jīng)過處理的簡化系統(tǒng)，能體現(xiàn)原系統(tǒng)的本質(zhì)特征，是描述和理解系統(tǒng)的有效工具。真實世界很復雜，但可以用簡化的模型來描述。模型超越了我們可觀察的范圍，將不可見的、抽象的現(xiàn)象或特征形象化，有利于理解和研究。

模型可以直觀反映系統(tǒng)的特征，特別是系統(tǒng)的內(nèi)在特征，因此有時模型比實物更能展示出系統(tǒng)的特點，利用模型也更容易進行溝通和交流。模型與系統(tǒng)之間存在著某種相似性，除了可以解釋一部分系統(tǒng)的現(xiàn)象，還可以通過模型預測系統(tǒng)更多的現(xiàn)象，甚至是還沒有被發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，從而在驗證模型可靠性的同時，增加對系統(tǒng)的認識。例如，利用太陽系模型預測海王星的位置是模型預測的典型案例。

建立簡化的模型來研究復雜的系統(tǒng)是一種科學研究的方法。模型包括物理模型（通常是實物或示意圖）、數(shù)學模型（通常是數(shù)學公式）和概念模型（通常是相關(guān)理論）。

在目前的力學教學中，平時的習題或作業(yè)可以認為是已經(jīng)簡化好的模型，學生缺乏如何從真實系統(tǒng)簡化為模型的訓練（在本系列文章（2）中，從“工程問題”到“物理模型”，實際也是建模的過程）。

在教學過程中，筆者會把少量傳統(tǒng)的習題進行改造，從實際問題或現(xiàn)象出發(fā)，給學生展示如何簡化建模，如何分析得到結(jié)果并最終解釋所關(guān)心的問題。這樣的內(nèi)容不用多，給學生開一個窗口，讓學生了解一種重要的科學研究的方法和思路，而不僅僅是會做作業(yè)。

1 琴弦振動問題

吉他、小提琴能演奏出優(yōu)美的旋律，本質(zhì)是琴弦振動的頻率和幅度通過空氣傳到耳中（我們聽到的旋律與振動頻率相關(guān)，聲音的強弱與振動幅度相關(guān)）。

以吉他為例，吉他由共鳴箱、琴頸、琴頭及琴弦等部件組成，每根琴弦粗細不同，固定在琴橋與琴頭之間，琴頸上有19根長品柱，第i個品柱與琴橋的距離為li(i=0,1,...,18) ，可以注意到這些距離從密到稀排列著（圖1）。

圖1 吉他照片

可以對琴弦振動進行建模，通過分析來解釋與吉他相關(guān)的一些問題，包括上述現(xiàn)象。

首先將某根琴弦簡化為無質(zhì)量的彈簧，將琴弦質(zhì)量簡化為質(zhì)點集中在彈簧中點，靜止時琴弦已繃緊，設(shè)張力為T0。當質(zhì)點有位移x時，單側(cè)琴弦長度為d，張力為T（圖2）。

圖2 琴弦振動的簡化模型

下面尋找系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系。單側(cè)琴弦長度為

通常彈撥吉他時，琴弦的位移很小，因此設(shè)x是一階小量。式（1）級數(shù)展開后保留一階量，有

即琴弦振動時在忽略高階小量的前提下長度不變。由于張力與琴弦伸長量有關(guān)，因此在振動過程中有

忽略重力（張力遠大于琴弦重量），列寫質(zhì)點振動的動力學方程，有

由于位移x是小量，角度θ也是小量，有

將式（3）和式（5）代入式（4），有

設(shè)琴弦截面積為S，單位長度質(zhì)量為ρ，則振動的固有頻率為

下面利用式（7）來解釋一些現(xiàn)象。

（1）琴頭上有調(diào)緊琴弦的旋鈕，有經(jīng)驗的吉他手演奏前要調(diào)整一下旋鈕，通過改變琴弦的張力調(diào)整頻率（圖3）。式（7）表明頻率ω與成正比，合理。

圖3 琴頭中的琴弦及旋鈕

（2）琴弦有粗細之分（圖3），粗弦用于演奏低音（低頻），細弦用于演奏高音（高頻）。式（7）表明頻率與成反比，合理。相反如果6根琴弦一樣粗細，高音對應的琴弦張力就明顯增加，容易導致高音琴弦疲勞損壞。

（3）手按住琴弦某處，相當于琴頭處的固定端移到手指處的品柱，改變了琴弦的長度，從而改變了振動頻率。我們知道世界上把一組音（八度）分成十二個半音音程的律制，各相鄰兩音的振動頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”。式（7）表明頻率與l成反比，因此圖1中距離的比值也應該滿足“十二等程律”，即前后距離之比為實際品柱與琴橋的距離見表1，相鄰的距離比值見圖4，合理。

表1 吉他各品柱的距離（根據(jù)實際照片測量）

圖4 相鄰品柱距離的比值

對音樂熟悉的讀者可能會注意到，國際標準音的頻率（表2）與表1中的部分品柱距離（黑體）竟然十分接近，我自己也感到有些不可思議（該吉他34寸（1寸 = 3.333 33 cm），全長866 mm，如果是其他品牌，品柱距離會變化，但比值不變）。

表2 C大調(diào)國際標準音頻率

（4）實際吉他彈起來音色很豐富，而模型只有一個頻率。原因是模型把質(zhì)量集中為一個質(zhì)點，這與實際不同。如果采用連續(xù)質(zhì)量的模型，就更為接近實際的了。

2 雨滴的速度

大家可能注意到下雨時毛毛細雨與暴雨有一個明顯區(qū)別：毛毛細雨是“飄”下來的（速度很小），而暴雨是“砸”下來的（速度很大）。如何用相關(guān)的力學知識，建立模型簡要地解釋這一現(xiàn)象呢？

建立坐標系，確定廣義坐標y，分析運動和受力，畫出受力圖（圖5）。

圖5 雨滴受力分析

根據(jù)一般的經(jīng)驗，物體在空氣中阻力為

其中CD為阻力系數(shù)（常數(shù)），S為物體橫截面積，ρa為空氣密度。

如果假設(shè)雨滴是球形，半徑為r，水的密度為ρw，則有

根據(jù)圖5，速度逐漸增加導致阻力增加，當滿足阻力等于重力后，雨滴就一直以勻速運動（嚴格說是趨近于勻速運動）。由式（8）和式（9）獲得雨滴的極限速度為

式（10）表明雨滴的速度與其半徑有關(guān)，這就解釋了暴雨速度大，毛毛雨速度小的現(xiàn)象。當然上述模型假設(shè)雨滴半徑不變化，這不太合理，如果要更精細，可以修正模型。

考慮雨滴在下降過程中不斷吸收周圍的水汽，設(shè)周圍大氣相對地面靜止，采用變質(zhì)量模型[1]，有

雨滴在單位時間內(nèi)經(jīng)過的空間是一個圓柱體，該圓柱內(nèi)的水汽有部分被雨滴吸收（圖6），設(shè)吸收率ζ為常數(shù)（ζ = 1表示全部吸收，ζ = 0表示不吸收；吸收率ζ通常會很小，否則幾滴雨就把運動路徑上的水汽全吸收了），則

圖6 考慮雨滴的變質(zhì)量問題

將式（12）取極限后與式（11）聯(lián)立，有

將式（9）改寫，有

設(shè)y1=y，y2=y˙，y3=r，由式（13）和式（14）得到標準的一階微分方程組，為

方程（15）耦合在一起，給出參數(shù)及初始條件 (ρw=1000kg/m3，ρa=1kg/m3，r(0)=0.02mm ，H=2000m ，CD=1 ， 估 計 暴 雨 時ζ=0.005 ，中 雨 時ζ=0.001 ， 小 雨時ζ=0.0006 )， 可 以 算出相關(guān)的數(shù)值解。

與前面雨滴質(zhì)量和半徑為常數(shù)的模型相比，變質(zhì)量模型中雨滴不存在極限速度，而是隨著高度減低，速度不斷增加（圖7）。雨滴變質(zhì)量模型的計算結(jié)果與網(wǎng)上查到的數(shù)據(jù)很接近[2]：一般而言，毛毛雨的雨滴直徑為0.5 mm, 而暴雨雨滴最大直徑約為5.5 mm；毛毛雨的收尾速度為2 m/s，而暴雨最大收尾速度為8～9 m/s（圖8）。且同一高度落下的雨滴沿相同的“速度-直徑”曲線變化，這一點還有待深入研究。

圖7 雨滴高度與速度的關(guān)系

圖8 雨滴直徑與速度的關(guān)系

3 生物競爭問題

系統(tǒng)與模型是跨學科概念，可以應用在很多學科，力學模型主要研究系統(tǒng)的受力與運動的關(guān)系，可以遷移到其他領(lǐng)域：任何系統(tǒng)都可以建立類似“力與運動”的關(guān)系，只不過這里的“力”和“運動”更為廣泛。例如在生物領(lǐng)域，“力”可以是生存壓力，“運動”可以是種群數(shù)量的變化。

實際上，通過食物鏈關(guān)系，不同生物之間存在著某種制約關(guān)系（相當于分析力學中的約束），導致種群數(shù)目保持動態(tài)平衡。為了更好地理解這種制約及平衡關(guān)系，設(shè)想在一個理想的封閉草原環(huán)境中，存在野兔與野狼兩種生物。很明顯，野兔多則野狼食物充分，導致野狼數(shù)量增加；而野狼數(shù)量太多，會通過捕食使野兔數(shù)量減少，反過來又導致部分野狼不容易找到食物而餓死，繁殖的數(shù)量也會下降。因此在這種生存競爭中，兩種生物要么最終滅亡，要么經(jīng)過一段時間后兩者數(shù)量達到穩(wěn)定的狀態(tài)。

這一現(xiàn)象可以用Lotka-Volterra模型來描述，也稱作獵食者-獵物（predator-prey）模型[3]。改寫后，設(shè)野兔數(shù)量為R（rabbit），野狼的數(shù)量為W（wolf）。上述競爭關(guān)系可以表示為

式中λ1是野兔的自然增長率（假定草場資源充沛），λ1R表示在單位時間出生的野兔；λ2表示單位時間內(nèi)野兔被野狼捕獲的比例，λ2RW表示在單位時間被吃掉的野兔；λ3是野狼的自然死亡率，λ3W表示在單位時間死亡的野狼；λ4表示轉(zhuǎn)換系數(shù)，表示平均吃λ4只野兔才生出1只小野狼。

給出適當參數(shù)和初始條件后，計算模擬發(fā)現(xiàn)野兔和野狼的數(shù)量的確呈現(xiàn)周期性的變化。其典型的情況是：從時間變化角度看，兩者的數(shù)量振蕩起伏（圖9(a)）。如果用水平軸和豎直軸分別表示它們的數(shù)量，會出現(xiàn)一個封閉的曲線（圖9(b)）；當然，如果參數(shù)不合適，會出現(xiàn)野狼把野兔全部吃完，（在封閉的環(huán)節(jié)下）野狼也會全部餓死的特殊“平衡”解。

圖9 野兔和野狼數(shù)量變化的關(guān)系

由此看出，在不同物種生存競爭這一問題中，不同物種的數(shù)目隨時間在變化著，但是由于存在食物鏈關(guān)系，每個物種對另外的物種生存都會產(chǎn)生影響，從而導致最終達到一種“穩(wěn)定”的狀態(tài)，或動態(tài)的平衡。實際生物界有著復雜的食物鏈關(guān)系，模型更為復雜，但是大致仍有簡單模型的特征：不同物種相互制約，長期趨于動態(tài)的平衡關(guān)系。

4 總結(jié)

系統(tǒng)和模型是重要跨學科概念，可以應用于不同的學科領(lǐng)域。一般科研都要對系統(tǒng)進行簡化，獲得模型后，再進行深入研究。很多學生總感到理論與實際有巨大的鴻溝，最主要原因是缺乏建模的訓練。有建模經(jīng)驗的學生可以將復雜問題（實際）簡化后得到相對容易的模型（理論），然后就可以用不同的手段進行處理。

從以上案例中可以得出幾點結(jié)論或啟示。

（1）對琴弦的建模及分析并不復雜，得到的結(jié)果卻可以解釋很多相關(guān)現(xiàn)象，并且意外地發(fā)現(xiàn)某種吉他（34寸）的品柱距離與國際標準音的頻率數(shù)值十分接近。因此簡單的建模就可以解決很多問題，同時注意到模型是簡化的系統(tǒng)，該模型解釋不了實際琴弦音色豐富的問題。

（2）雨滴問題可以簡單也可以復雜，均可以解釋雨滴速度與尺寸的關(guān)系，這表明模型的復雜程度可以根據(jù)情況而定。注意到分析過程中有大量假設(shè)，如形狀是球形、阻力與速度平方成比例、吸收率是常數(shù)等，這些可能與實際存在差距，也是模型的重要特點：模型是簡化的系統(tǒng)，在簡化時盡量有依據(jù)。對于變質(zhì)量雨滴，計算中的參數(shù)參考了網(wǎng)上的數(shù)據(jù)，如云層高度、初始雨滴大小等，最終得到的雨滴速度和直徑與網(wǎng)上資料十分接近。

（3）生物競爭的案例擴展了學生的視野，讓學生了解建模的思想可以用于各個領(lǐng)域。同時有利于學生了解更廣泛的約束概念，以及“力與運動”的關(guān)系。

如何根據(jù)系統(tǒng)的特點簡化建模，是大學生應該掌握的重要能力。目前教學中給學生的往往是簡化好的模型，學生缺少建模的訓練。對學生來說，很多知識在考試后不久就可能忘了，而處理問題的方法和思維模式則可以一輩子不忘記。因此在教學中少量介紹一些建模的方法，讓學生自行對一些有趣的現(xiàn)象進行簡化分析，將使學生受益終身。