朱國強,徐 進,楊偉濤

(煙臺大學(xué)土木工程學(xué)院,山東 煙臺 264005)

地下水資源的過度開采和地下工程施工會導(dǎo)致土層內(nèi)水位發(fā)生變化,進而誘發(fā)區(qū)域性的地面沉降[1]。地面沉降是一種嚴(yán)重的環(huán)境地質(zhì)災(zāi)害,這種現(xiàn)象會對地面建筑、市政管線等設(shè)施和周圍生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生不利影響[2-4],因此,通過客觀有效的方法計算和預(yù)測水位變化引發(fā)的地面沉降是十分必要的。

對于土體在荷載作用下發(fā)生固結(jié)沉降的問題,國內(nèi)外學(xué)者已有較深入的研究。馮健雪等[5]在連續(xù)排水邊界條件下得出線性加載的地基土一維固結(jié)解析解。謝康和等[6]討論了在變荷載的條件下多層飽和均質(zhì)地基的一維固結(jié)解析解。閻澍旺[7]在一維Terzaghi方程解答的基礎(chǔ)上,通過疊加法推廣出一定邊界條件下多維固結(jié)的解,同時也給出多維固結(jié)時固結(jié)度及沉降量的計算方法。AI等[8]結(jié)合積分變換和解析層元等方法,解答了層狀土體在不對稱荷載下的固結(jié)問題,并獲取了土體內(nèi)部任一點的位移及應(yīng)力的積分表達式。ZHANG等[9]利用積分轉(zhuǎn)換及矩陣傳遞等方法討論了對稱荷載作用下均質(zhì)和不均質(zhì)土體的多維固結(jié)沉降規(guī)律,并給出土體內(nèi)位移和孔壓的解析表達式。

水位變化引起土體滲流固結(jié)的原理與荷載作用下土體固結(jié)的原理有所不同。在承壓條件下,當(dāng)土層內(nèi)水位發(fā)生變化時,土體內(nèi)部的總應(yīng)力不變,而有效應(yīng)力發(fā)生相應(yīng)調(diào)整,從而使土體發(fā)生固結(jié)變形[10]。駱冠勇等[11]在Terzaghi一維固結(jié)理論的基礎(chǔ)上,得出含水層排水時上覆土層的沉降和固結(jié)度的計算方法。CONTE等[12]討論了一維情況下土體邊界孔隙水壓力改變導(dǎo)致的瞬態(tài)效應(yīng),并計算了抽水導(dǎo)致的軟土層沉降。YANG等[13]利用Galerkin有限元法計算水位變化誘發(fā)的土層沉降的數(shù)值解,并使用移動網(wǎng)格法提升數(shù)值分析的精度。

目前滲流條件下土層固結(jié)的解析研究多集中于一維問題,對于多維情形,主要采用數(shù)值方法進行研究。因此,本文建立承壓含水層水位變化的條件下弱透水層的二維滲流固結(jié)數(shù)學(xué)模型,并利用Laplace-Fourier變換及相應(yīng)的數(shù)值反演,得出滲流固結(jié)模型在時域內(nèi)的半解析解答。通過與一維固結(jié)解析解、有限元數(shù)值解及工程實例進行對比,驗證該方法的正確性及實用價值。最后,結(jié)合算例進一步分析弱透水層參數(shù)對固結(jié)的影響。

1 問題描述

圖1為承壓含水層-弱透水層系統(tǒng)中承壓含水層的水位變化,設(shè)弱透水層和承壓含水層均為飽和的各向同性土,土體中滲流規(guī)律符合Darcy定律。弱透水層上部潛水補給充足,頂部水頭保持恒定,承壓含水層底部為隔水邊界。弱透水層和承壓含水層的厚度分別為M1和M2,滲透系數(shù)分別為k1和k2,初始水頭均為h,t時刻承壓含水層中水位變化為Δh(x,t)。

圖1 承壓含水層水位變化

1.1 控制方程

根據(jù)Terzaghi-Rendulic的二維固結(jié)理論[14],可得弱透水層固結(jié)的控制方程

(1)

式中,u是弱透水層中的超靜孔隙水壓力,z和x分別是距弱透水層頂面的垂直距離和距計算原點的水平距離,t為固結(jié)發(fā)生的時間,C是弱透水層土的固結(jié)系數(shù)。C的計算公式為

式中，γw是水的重度,取10 kN/m3,E是土體的彈性模量,v是土體的泊松比。

1.2 定解條件

(2)

(3)

式中,Δh(x,t)是承壓含水層因井點降水、滲渠排水或地下管道滲漏等因素造成的承壓含水層水位變化值。

2 問題解答

對于上述問題的求解,將采用積分變換法,通過對控制方程和邊界條件進行Fourier和Laplace變換,將其中的變量x和t轉(zhuǎn)換為Fourier-Laplace域內(nèi)的參數(shù)s和w,根據(jù)變換后的邊界條件,求得變換域內(nèi)的方程解答,最后通過數(shù)值逆變換的方法,解得固結(jié)方程在時域內(nèi)的解答。

對式(1)—(3)分別作Fourier和Laplace變換，得到

(4)

(5)

(6)

對式(4)求解得

(7)

式中，C1和C2為根據(jù)邊界條件求解的常數(shù),

將式(5)和式(6)代入式(7),并整理成矩陣形式可得

求解可得

(8)

對式(8)中的變換參數(shù)w和s進行逆變換,可解出弱透水層超靜孔隙水壓力時域內(nèi)的解答

(9)

固結(jié)時弱透水層t時刻其頂部計算原點處的沉降量可用下式計算:

式中,Sc為弱透水層沉降量,εs是單元土體體積應(yīng)變。

根據(jù)沉降量可以定義t時刻土體平均固結(jié)度的計算公式:

3 算例對比驗證

式(9)給出了固結(jié)方程在時域內(nèi)的解答,但其直接給出顯示表達式存在數(shù)學(xué)上的困難,因此,將使用構(gòu)造正則算子法、Stehfest法對Fourier-Laplace域內(nèi)的解答進行數(shù)值逆變換,并用MATLAB編寫逆變換程序?qū)崿F(xiàn)數(shù)值計算,下面將通過算例,分別與一維解析解、二維有限元數(shù)值解以及現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)進行對比。

3.1 與一維解析解的對比

假設(shè)承壓含水層頂部水頭瞬時均勻下降10 m,此時弱透水層底部應(yīng)力分布情況沿水平方向相同,本文解可以與YAO等[15]提出的一維滲流固結(jié)的解析解進行對比,算例中的參數(shù)見表1。對比結(jié)果見圖2,可以看出,在承壓含水層水位均勻降低相同數(shù)值的情況下,兩種解法具有較好的一致性,只在固結(jié)初期有少量偏差,主要由于數(shù)值逆變換中,t偏小時計算結(jié)果存在一些溢出,導(dǎo)致計算精度降低。

表1 算例計算參數(shù)

圖2 本文解與一維解析解的對比

3.2 與二維有限元解的對比

(10)

(11)

(12)

式中，H是承壓含水層中距降水中心x處的總水頭,L是含水層中的越流因子,可用式(13)計算:

(13)

結(jié)合式(11)和式(12)對式(10)求解可得

此時承壓含水層的頂部水位降深可用式(14)計算:

(14)

此時弱透水層的固結(jié)可以看做是二維軸對稱固結(jié)問題,采用ABAQUS有限元軟件[17]對滲漏處右側(cè)0 m至15 m的弱透水層土體進行建模,土層使用線彈性本構(gòu)模型,限制底面的豎向位移和左側(cè)面的水平位移,其頂面和底面均為自由透水邊界,采用四邊形單元劃分網(wǎng)格。算例計算參數(shù)見表2,計算結(jié)果見圖3和圖4,從結(jié)果中可以看出, 兩種解法符合良好,在固結(jié)發(fā)生400 d時固結(jié)度接近100%,固結(jié)發(fā)展基本完成。在滲漏中心處弱透水層頂部發(fā)生最大沉降,隨著距滲漏中心水平距離x的增加,弱透水層的沉降量逐漸減小,這與弱透水層沿水平方向的有限元結(jié)果保持良好的吻合性。

表2 土層參數(shù)

3.3 工程實例應(yīng)用

寧波地鐵站臺為地下二層島式車站[18],基坑建設(shè)過程中,富含孔隙水的承壓含水層距基坑坑底距離較近,為防止基坑發(fā)生突涌對坑底產(chǎn)生破壞,在基坑內(nèi)布設(shè)多處管井井點對承壓水采取減壓降水措施。在基坑中設(shè)置中標(biāo)準(zhǔn)段管井18口,井深36 m,設(shè)計降深為13.6 m,基坑?xùn)|段頂部井2口,井深38 m,設(shè)計降深16.7 m,在基坑北部距基坑開挖邊線7 m處設(shè)有一座觀測井,基坑降水井及觀測井的平面布設(shè)圖見圖5。將該長條形基坑近似成平面問題,對觀測井處承壓水減壓造成的地面沉降進行計算,并與實際監(jiān)測結(jié)果進行對比。

圖3 固結(jié)度的對比

圖4 弱透水層頂部0～15 m沉降分布對比

圖5 基坑井點平面布設(shè)

基坑底部埋深16 m,采用地下連續(xù)墻的方式進行支護,根據(jù)現(xiàn)場地質(zhì)勘測資料,施工區(qū)域內(nèi)土層分布從上到下分別為人工填土、細(xì)砂、黏土、淤泥質(zhì)黏土、粉質(zhì)黏土、砂質(zhì)粉土和粉質(zhì)黏土,承壓水主要賦存于砂質(zhì)粉土層中,承壓水位平均埋深為2.5 m。在下面計算時,對基坑及土層分布的地質(zhì)模型進行簡化,將砂質(zhì)粉土視為承壓層,其上覆的黏土、淤泥質(zhì)黏土和粉質(zhì)黏土層視為弱透水層,人工填土及細(xì)砂層視為潛水層,簡化后的地質(zhì)模型剖面見圖6,計算時使用的土層參數(shù)見表3,對觀測井處的地面沉降進行計算,并與實際監(jiān)測的結(jié)果進行對比,結(jié)果見圖7。結(jié)果表明,計算值與工程實測數(shù)據(jù)在沉降規(guī)律上體現(xiàn)了較好的吻合性,由于計算過程中對土層及參數(shù)進行了簡化,在沉降值的計算中出現(xiàn)了一定的誤差,最終沉降值的計算誤差約為2.5 mm左右?？梢钥闯?在確定合理地層模型和力學(xué)參數(shù)的基礎(chǔ)上,本文建立的半解析解對水位變化下的地面沉降問題可以進行較精確的計算,同時相比于數(shù)值方法,在實際應(yīng)用中也更加方便高效。

圖6 地質(zhì)模型

表3 弱透水層參數(shù)

圖7 觀測井處沉降值的對比

4 影響因素分析

4.1 弱透水層的彈性模量對固結(jié)的影響

弱透水層的彈性模量能夠反映滲流固結(jié)時土體的應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系,為了探究其對固結(jié)的具體影響,對彈性模量的取值逐漸增大,其余的參數(shù)與情況同“3.2”,對弱透水層計算原點處的沉降量進行計算。從圖8可以看出,隨著土體彈性模量增大,最終的沉降量分別減少33%和60%,說明土體彈性模量的增加,使一定應(yīng)力條件下其抵抗變形的能力逐漸增加,沉降量就會相應(yīng)地減小,其減小幅度與彈性模量的改變具有線性對應(yīng)關(guān)系,符合線彈性應(yīng)變的規(guī)律。

圖8 不同彈性模量下的沉降量

4.2 弱透水層滲透性對固結(jié)的影響

弱透水層的滲透性是影響弱透水層內(nèi)部滲流和排水固結(jié)的一個重要因素,滲透系數(shù)的大小反映土體滲透性的強弱。對弱透水層取不同的滲透系數(shù),其余參數(shù)和情況同“3.2”,分析其對固結(jié)過程的影響。從圖9可以看出,隨著弱透水層滲透系數(shù)由8×10-4m·d-1增大至3.2×10-3m·d-1,其滲流固結(jié)完成時間分別減少280 d和413.3 d。這說明弱透水層的滲透系數(shù)增大時,土層內(nèi)固結(jié)時的超靜孔隙水壓力的消散速度就越快,土層完成滲流固結(jié)所需要的時間就越短。

4.3 弱透水層厚度對固結(jié)的影響

弱透水層的厚度會在滲流固結(jié)時對土層內(nèi)應(yīng)力和應(yīng)變的分布產(chǎn)生影響,進而影響總體的沉降量。為探討這種因素對固結(jié)的影響,改變?nèi)跬杆畬雍穸?其余參數(shù)和情況同“3.2”,對弱透水層計算原點處沉降量進行計算。從圖10可以看出,隨著土層厚度由10 m增大至25 m,其最終的沉降量分別增加43.8%和116%,固結(jié)完成的時間分別增加150 d和350 d,說明弱透水層厚度的增加會使土體在固結(jié)完成時的總體沉降量也增加,且固結(jié)時土體內(nèi)超靜孔隙水壓力消散的速率變慢,進而使土層完成固結(jié)的時間變長。

圖10 不同土體厚度下的沉降量

5 結(jié) 語

(1) 根據(jù)Terzaghi-Rendulic固結(jié)理論,結(jié)合弱透水層在承壓含水層水位發(fā)生變化時的邊界條件,建立弱透水層的二維滲流固結(jié)模型。使用積分變換與逆變換的方法得出固結(jié)模型在時域內(nèi)的廣義積分解答,并利用相應(yīng)的數(shù)值反演方法及MATLAB編程得到數(shù)值解答。

(2) 將得到的數(shù)值解答通過具體的算例,與一維解析解和有限元數(shù)值解進行對比,驗證解答的正確性。在此基礎(chǔ)上,將該解法代入到工程實例中,從結(jié)果可以看出,理論解與實測數(shù)據(jù)吻合較好,并且實際應(yīng)用中更為方便。

(3) 結(jié)合算例進一步地討論弱透水層參數(shù)對固結(jié)的影響。結(jié)果表明: 弱透水層的彈性模量越大,土層完成固結(jié)最終的沉降就越小,而層厚增加會使其最終沉降量和固結(jié)完成的時間增加,弱透水層的滲透性增加會使土層內(nèi)超靜孔隙水壓力的消散速度加快,從而減少土體固結(jié)完成的時間。