滕漢卿，穆 然

（湖南鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖南 株洲 412001）

電磁軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于流體機(jī)械、航空航天、軍事裝備等領(lǐng)域，而在電磁軸承高速旋轉(zhuǎn)時(shí)，轉(zhuǎn)子的偏心量直接關(guān)系到系統(tǒng)運(yùn)行的平穩(wěn)性與可靠性[1-2]，因此,針對(duì)轉(zhuǎn)子不平衡量對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響分析就很有必要。劉桂珍等[3]研究了偏心量影響下的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)行為；張文超[4]等利用解析法分析電機(jī)輸出性能與轉(zhuǎn)子偏心程度的關(guān)系；徐學(xué)平等[5]分析了動(dòng)靜復(fù)合偏心情形下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡和位移頻譜,討論了靜偏心方向、初始靜偏心量對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響。

本研究通過分析磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)偏心量和轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速雙參數(shù)共同變化時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，從中尋找偏心量變化對(duì)系統(tǒng)非線性特性的影響規(guī)律，為此類轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)選擇及匹配提供借鑒。

1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)簡(jiǎn)化力學(xué)模型見圖1，其中：m1為軸頸質(zhì)量；m2為轉(zhuǎn)盤質(zhì)量；δ 為轉(zhuǎn)子與緩沖環(huán)間隙；u 為轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心距；k為轉(zhuǎn)軸剛度；c 為轉(zhuǎn)子阻尼；w 為轉(zhuǎn)子角速度；γ 為電磁軸承空氣間隙；O 為緩沖環(huán)中心；O'為轉(zhuǎn)子中心。

圖1 力學(xué)模型

本研究基于以下假設(shè)：

（1） 忽略緩沖環(huán)的質(zhì)量及緩沖環(huán)的阻尼效應(yīng)。

（2） 忽略了緩沖環(huán)與轉(zhuǎn)子之間的摩擦力。建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

緩沖環(huán)與轉(zhuǎn)子之間的碰撞力Pn主要由剛度為kf的緩沖環(huán)支撐彈簧提供，它在x、y 方向的分量可表示為

其中：

在式（4）-式（6）中：γ 為磁浮軸承空氣間隙；α 為幾何耦合參數(shù)；μ0為空氣磁導(dǎo)率；N 為線圈匝數(shù)；Ag為磁極有效磁通面積；ib為偏置電流；P 為反饋增益比例因數(shù)；D 微分反饋增益因數(shù)。引入以下無量綱參數(shù)：

基于以上無量綱參數(shù)，則轉(zhuǎn)子與緩沖環(huán)間歇碰撞力無量綱化后的形式為

無量綱化后的電磁力方程為

綜上所述，系統(tǒng)無量綱化后的運(yùn)動(dòng)方程為

2 數(shù)值仿真

選取基準(zhǔn)參數(shù)：ζ=0.1，α=0.28，P^=1.1，D^=0.03，K=4.0，f=2.0，M=5.0，η=0.017，W=0.07，λ=0.1，利用四階龍格-庫塔法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算。如圖2 所示為平面雙參數(shù)圖，它表示系統(tǒng)在二維參數(shù)平面[U∈（5-15），Ω∈（1.5-3.5）]內(nèi)各點(diǎn)處，系統(tǒng)響應(yīng)所呈現(xiàn)出的周期、混沌及概周期運(yùn)動(dòng)類型分布規(guī)律，圖中不同深度色區(qū)代表不同運(yùn)動(dòng)類型的分布區(qū)域，從圖中可以看出在整個(gè)參數(shù)域內(nèi)主要以1 倍周期、2 倍周期運(yùn)動(dòng)為主，同時(shí)在高低轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)存在著一定范圍的混沌及概周期運(yùn)動(dòng)。隨著轉(zhuǎn)子偏心量增加，當(dāng)偏心量U＞10.2 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)在Ω∈（3.0-3.5）的范圍內(nèi)出現(xiàn)了周期性運(yùn)動(dòng)與混沌、概周期運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)的島狀區(qū)域，同時(shí)在5 倍周期運(yùn)動(dòng)的區(qū)域邊緣存在運(yùn)動(dòng)特性突變的情況。

圖2 基于基準(zhǔn)參數(shù)的U-K 雙參數(shù)平面圖

雙參數(shù)平面圖能從多參數(shù)角度及系統(tǒng)層面描述系統(tǒng)不同類型運(yùn)動(dòng)的分布區(qū)域與規(guī)律[6]，而對(duì)于分岔特征及運(yùn)動(dòng)形態(tài)分析還需借助分岔圖等做進(jìn)一步分析，圖3 為不同偏心參數(shù)下的分岔圖，當(dāng)U=5.0 時(shí)，系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速區(qū)間Ω∈（1.5-2.5）的范圍內(nèi)，經(jīng)歷了同步運(yùn)動(dòng)-倍周期運(yùn)動(dòng)-概周期運(yùn)動(dòng)-倍周期運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)遷過程；U=7.0 時(shí)，系統(tǒng)在Ω∈（1.5-1.8）范圍內(nèi)除了倍周期運(yùn)動(dòng)外，還以倍化分岔的形式進(jìn)入到混沌運(yùn)動(dòng)，U=9.0 時(shí)，Ω∈（1.5-1.8）的范圍內(nèi)以混沌運(yùn)動(dòng)為主，周期性運(yùn)動(dòng)窗口消失，同時(shí)在Ω∈（2.0-2.25）范圍內(nèi)的概周期運(yùn)動(dòng)中出現(xiàn)了較寬的6 倍周期運(yùn)動(dòng)區(qū)間，這與圖2 中6T 分布區(qū)域相一致。

圖3 不同偏心量參數(shù)下的分岔圖

如圖4 所示，當(dāng)Ω 取2.1 時(shí)不同偏心量所對(duì)應(yīng)的軸心軌跡圖，如圖4（a）所示為U=5.0 時(shí)的軸心軌跡圖，此時(shí)軸心軌跡相對(duì)較混亂，龐加萊截面映射圖表現(xiàn)為隨機(jī)分布的離散點(diǎn)，如圖5（a）所示，但隨機(jī)分布的離散點(diǎn)中還具有一定的規(guī)律性，這些離散點(diǎn)聚集在兩個(gè)邊界相對(duì)清晰的不規(guī)則區(qū)域內(nèi)，表現(xiàn)為混沌吸引子；如圖4（b）所示當(dāng)U=7.0 時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為2 倍概周期運(yùn)動(dòng)，此時(shí)軸心軌跡為網(wǎng)狀交織的輪胎形，龐家萊截面映射如圖5（b）所示為兩個(gè)封閉的極限環(huán)，此時(shí)系統(tǒng)處于極限穩(wěn)定狀態(tài)；如圖4（c）所示當(dāng)U=9.0 時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為6 倍周期運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的龐加萊截面映射圖為6 個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。結(jié)合圖4 與圖5 信息發(fā)現(xiàn)，在高轉(zhuǎn)速區(qū)內(nèi)（以Ω=2.1 為例）隨著偏心量的增大，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)由混沌運(yùn)動(dòng)-2 倍概周期運(yùn)動(dòng)-周期6 運(yùn)動(dòng)變化。

圖4 Ω=2.1 時(shí)不同偏心量參數(shù)下的軸心軌跡圖

圖5 Ω=2.1 時(shí)不同偏心量參數(shù)下的龐加萊截面映射圖

3 結(jié)論

本研究以U-K 雙參數(shù)平面圖為基礎(chǔ)，結(jié)合分岔圖、軸心軌跡圖及龐加萊截面映射圖分析了磁浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)偏心量參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)振動(dòng)特性影響規(guī)律，得出以下結(jié)論：（1） 在雙參數(shù)域內(nèi)，當(dāng)偏心量U＞10.2 時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)在Ω∈（3-3.5）的范圍內(nèi)出現(xiàn)了周期性運(yùn)動(dòng)與混沌、概周期運(yùn)動(dòng)交替出現(xiàn)的島狀區(qū)域，島狀區(qū)尖端（U=10.2）出現(xiàn)了突變，說明在U=10.2 附近系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)由于偏心量變化容易引起運(yùn)動(dòng)特性突變，在實(shí)際選取參數(shù)時(shí)應(yīng)盡量避開U=10.2 附近參數(shù)域。（2） 在Ω∈（1.98-2.25）轉(zhuǎn)速點(diǎn)附近，隨著偏心量取5.0、7.0及9.0 時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)分別出現(xiàn)了混沌、概周期、6 倍周期運(yùn)動(dòng)，這說明在此轉(zhuǎn)速區(qū)間內(nèi)偏心量適當(dāng)增加反而有利于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)獲得更寬的周期性運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)速區(qū)間。