鄧 莉,孫 可,劉金梅,吳平頤，景培書，劉梓誼，李成淵

(1.華東師范大學(xué) 物理與電子科學(xué)學(xué)院，上海 200241；2.華東師范大學(xué) 教師教育實(shí)驗(yàn)教學(xué)中心，上海 200241)

2017年，LIGO團(tuán)隊(duì)利用類似于邁克爾遜干涉儀的精密裝置探測(cè)到引力波，獲得了諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)，展示了邁克爾遜干涉儀廣泛的前沿科學(xué)與實(shí)際應(yīng)用的廣泛性和相關(guān)研究的重要意義。目前，邁克爾遜干涉現(xiàn)象的研究主要分為以下三類：對(duì)邁克爾遜干涉儀實(shí)驗(yàn)進(jìn)行理論推導(dǎo)與誤差分析的理論研究，如對(duì)實(shí)驗(yàn)不確定度的分析、實(shí)驗(yàn)誤差的產(chǎn)生原因等[1-3]；將邁克爾遜干涉儀與其他實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)，如測(cè)量金屬楊氏模量、介質(zhì)折射率等[4-10]；實(shí)驗(yàn)與計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合，進(jìn)行虛擬仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)M，如使用Labview、Python等軟件模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果和數(shù)據(jù)等[11，12]。邁克爾遜干涉儀的干涉現(xiàn)象變化豐富，其干涉圖樣的形狀、強(qiáng)度分布、干涉相互轉(zhuǎn)化等都與干涉的物理原理息息相關(guān)。利用公式運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、可視化處理于一體的信息化技術(shù)直觀、準(zhǔn)確地演示等厚干涉與等傾干涉條紋的動(dòng)態(tài)變化，可以顯示出物理原理與實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象之間的聯(lián)系，進(jìn)一步加深對(duì)干涉原理的理解。傳統(tǒng)的Flash、Premiere等軟件，可以簡單模擬實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，但無法解釋其中的物理原理與形成機(jī)制。MATLAB軟件可以將物理圖像、數(shù)學(xué)計(jì)算、圖形模擬相結(jié)合，動(dòng)態(tài)地展示實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以準(zhǔn)確反映出光干涉實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象與物理原理之間的關(guān)系。

根據(jù)薄膜干涉理論，對(duì)等傾和等厚干涉現(xiàn)象的物理過程進(jìn)行分析，探究光程差與鏡面位置間的幾何關(guān)系，兩種干涉之間的轉(zhuǎn)換原理，以及白光等厚干涉條紋產(chǎn)生的原因，得到相應(yīng)的光強(qiáng)度數(shù)學(xué)表達(dá)式。在此基礎(chǔ)上，利用MATLAB編寫程序，通過改變起始條件，如波長大小、動(dòng)臂反射鏡位置等，實(shí)現(xiàn)干涉條紋變化的動(dòng)態(tài)模擬，根據(jù)兩種干涉條紋間轉(zhuǎn)換的條件，模擬出等傾干涉圓環(huán)到等厚干涉直條紋的變化。采用Unity設(shè)計(jì)邁克爾遜干涉儀虛擬仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，通過內(nèi)嵌MATLAB子程序，可以模擬等傾干涉條紋的吞吐，等傾干涉轉(zhuǎn)化為等厚干涉，不同波長光的干涉，白光干涉等一系列真實(shí)動(dòng)態(tài)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。仿真實(shí)驗(yàn)建立在三維空間內(nèi)，使用者可以自行搭建實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，該干涉變化的演示過程直觀、形象，使實(shí)驗(yàn)者具有沉浸式的實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)，增強(qiáng)了仿真實(shí)驗(yàn)的交互性，有利于加深對(duì)實(shí)驗(yàn)原理的理解。

1 邁克爾遜干涉儀干涉過程的理論推導(dǎo)

邁克爾遜干涉儀通過分振幅法，可以使一束入射光分為兩束光束。由于這兩束光束擁有相同的頻率、振幅，并且它們的相位差保持恒定，在經(jīng)過反射鏡反射后能夠?qū)崿F(xiàn)干涉，得到干涉條紋[13,15-19]。如圖1所示是自行研發(fā)的邁克爾遜干涉儀虛擬仿真實(shí)驗(yàn)的光路圖。通過改變M1鏡與M2鏡的位置和方向，可以在觀察屏上觀察到不同的干涉條紋圖樣。

圖1 自行研制的邁克爾遜干涉儀虛擬仿真實(shí)驗(yàn)光路

對(duì)于薄膜干涉，當(dāng)入射角為i時(shí)，有光程差關(guān)系[14]：

(1)

當(dāng)M1鏡與M2鏡準(zhǔn)確地相互垂直時(shí)，可以利用相干光得到等傾干涉條紋。此時(shí)兩鏡偏見厚度一致，有光程差大小為

Δ=2d·cosi+λ/2

(2)

根據(jù)得到的光程差，可以計(jì)算出相應(yīng)的相位差和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的光強(qiáng)，即：

φ=2πΔ/λ；I=4cos2(φ/2)

(3)

當(dāng)M1鏡與M2鏡不是十分垂直，兩個(gè)平面將會(huì)形成一個(gè)楔形，入射光線垂直時(shí)，可以在觀察屏上獲得等厚干涉條紋，此時(shí)有光程差大小為：

Δ=2nh+λ/2

(4)

其中n=1。根據(jù)得到的光程差，可以計(jì)算出相應(yīng)的相位差和對(duì)應(yīng)點(diǎn)的光強(qiáng)，即：

φ=2πΔ/λ；I=4cos2(φ/2)

(5)

在M1鏡與M2鏡由相互垂直變?yōu)榉谴怪蔽恢玫倪^程中，觀察屏上的條紋會(huì)由等傾干涉條紋變?yōu)榈群窀缮鏃l紋。該過程經(jīng)歷了入射角逐漸減小為0，以及兩鏡間傾角由0開始增加的兩個(gè)子過程。

2 虛擬仿真實(shí)驗(yàn)與干涉條紋模擬

2.1 仿真實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)思路

將邁克爾遜干涉儀與虛擬仿真實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的設(shè)計(jì)思路如下圖2所示。

圖2 設(shè)計(jì)思路圖

首先在Unity中搭建出能夠合理擺放實(shí)驗(yàn)儀器的場景，作為模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果的載體，接著使用Matlab軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行模擬。從等傾干涉條紋與等厚干涉條紋的模擬出發(fā)，得到這兩個(gè)基礎(chǔ)結(jié)果后再進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)等傾干涉變?yōu)榈群窀缮孢@一動(dòng)態(tài)過程的模擬。完成上述工作后，將光源更換為白光，模擬對(duì)應(yīng)的等厚干涉條紋。最后，將所有結(jié)果導(dǎo)出為.exe文件格式，實(shí)現(xiàn)在unity中的引用。

2.2 Unity搭建實(shí)驗(yàn)場景

利用Unity軟件進(jìn)行虛擬仿真實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，得到如圖3(a)所示的場景與導(dǎo)軌。在界面左側(cè)顯示儀器庫，用來存放實(shí)驗(yàn)中可能用到的實(shí)驗(yàn)裝置。調(diào)用儀器庫中的儀器，搭建出如圖3(b)所示的邁克爾遜干涉實(shí)驗(yàn)的儀器圖。

(a) 仿真實(shí)驗(yàn)場景布局

其中，每個(gè)儀器都可以點(diǎn)擊放大，達(dá)到方便觀察儀器以及調(diào)節(jié)儀器參數(shù)的目的。點(diǎn)擊激光器，使用者可以調(diào)節(jié)不同的射出激光顏色，并且在此過程中可以閱讀激光產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的不同材料，如選用YAG晶體加倍頻晶體時(shí)可以獲得綠色激光；選用砷化鎵晶體可以獲得紅色激光；氮化鎵作為增益介質(zhì)則可以產(chǎn)生藍(lán)色激光。改變反射鏡的位置和方向，通過CCD可以在電腦顯示器上觀察干涉條紋。

2.3 干涉條紋的實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果

為了使結(jié)果更具有真實(shí)感，能夠準(zhǔn)確的描述實(shí)驗(yàn)過程中人眼觀察到的現(xiàn)象，為后續(xù)與虛擬仿真實(shí)驗(yàn)的使用相結(jié)合做準(zhǔn)備，模擬結(jié)果需要將圖案的顏色與真實(shí)情景相對(duì)應(yīng)。

2.3.1 等傾干涉條紋與動(dòng)態(tài)變化

首先利用MATLAB中的linspace()函數(shù)創(chuàng)建一定數(shù)量的數(shù)據(jù)采集點(diǎn)，得到一個(gè)二維的矩陣平面。設(shè)置入射光波長為633 nm，模擬紅色入射光。根據(jù)等傾干涉條紋產(chǎn)生的原理，結(jié)合sqrt()、sin()等函數(shù)，計(jì)算二維矩陣上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的光強(qiáng)度。再經(jīng)歷figure()、size()、image()等函數(shù)，使光強(qiáng)度以圖片的形式顯示出來，如圖4(a)所示為亮暗相間的等傾干涉條紋。

在對(duì)波長為633 μm的光干涉模擬過程中，結(jié)果應(yīng)與實(shí)際中該波長的光顯示的顏色相對(duì)應(yīng)，即亮條紋應(yīng)顯示為紅色。將入射光波長更改為543 μm和488 μm，對(duì)應(yīng)改變程序中亮條紋區(qū)域的RGB值，使其只顯示綠色或藍(lán)色成分，完成模擬綠色入射光和藍(lán)色入射光條件下的干涉圓環(huán)效果。同樣的，改變?nèi)肷涔獠ㄩL為543 nm和488 nm，分別模擬綠色入射光和藍(lán)色入射光，得到如圖4(b)(c)所示的圖案。由等傾干涉原理的分析可知，當(dāng)入射光波長減小時(shí)，干涉圓環(huán)的半徑也會(huì)減小，同時(shí)干涉條紋間隔減小，即圖4所示的模擬結(jié)果與理論分析相一致。

(a) 630 nm入射光干涉圓環(huán)

計(jì)算等傾干涉條紋間距得到：

(6)

可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)光源到觀察屏的距離f遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于干涉圓環(huán)半徑r時(shí)，隨著半徑增加，條紋間距在不斷減小，圖4中三幅結(jié)果圖都表現(xiàn)出中間稀疏邊緣密集的特點(diǎn)，也能證明這一結(jié)論。對(duì)比圖4(a)、(b)、(c)三幅圖，還可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)入射光波長減小時(shí)，干涉圓環(huán)的半徑也會(huì)減小，這與實(shí)際的理論分析也是保持一致的，驗(yàn)證了模擬結(jié)果的準(zhǔn)確性。

(a)

若想得到“吐出”條的紋變化現(xiàn)象，只需改變動(dòng)臂移動(dòng)的方向，而其余條件保持不變，同樣采用for循環(huán)語句進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。最后，為了方便對(duì)結(jié)果圖的保存與在后續(xù)研究中的使用，結(jié)合MATLAB軟件中動(dòng)態(tài)圖像輸出命令將結(jié)果保存輸出為“.gif”格式的動(dòng)態(tài)圖片。

2.3.2 等厚干涉條紋模擬

(a) M1鏡與鏡不相交時(shí)的干涉條紋

根據(jù)等傾干涉變?yōu)榈群窀缮鏃l紋這兩個(gè)子過程的模擬以及薄膜干涉的理論分析，利用一定的MATLAB語句函數(shù)對(duì)這兩個(gè)過程進(jìn)行處理，得到等傾干涉變?yōu)榈群窀缮嫱暾膭?dòng)態(tài)變化過程。如圖7所示，圖像展示了邁克爾遜干涉儀由等傾干涉變?yōu)榈群窀缮孢@一過程中條紋形態(tài)動(dòng)態(tài)變化的部分時(shí)刻。

(a)

2.3.3 白光條件下的等厚干涉條紋模擬

圖8 白光光源條件下的等厚干涉條紋

3 利用Unity內(nèi)嵌Matlab子程序?qū)崿F(xiàn)動(dòng)態(tài)干涉條紋在虛擬實(shí)驗(yàn)場景中的演示

通過Unity軟件應(yīng)用MATLAB程序的過程如圖9所示。

(a) MATLAB導(dǎo)出可執(zhí)行性文件流程圖

在MATLAB軟件的APP欄中選擇“Application Compiler”選項(xiàng)，導(dǎo)入需要轉(zhuǎn)換的主程序“.m”文件，選擇“Runtime download from web”后點(diǎn)擊Package按鍵導(dǎo)出可執(zhí)行性文件，以備在unity中的使用，具體過程如圖10(a)所示。在unity中首先通過using語句引入命名空間，接著在場景中創(chuàng)建按鈕，使得仿真場景中的按鈕被點(diǎn)擊后能對(duì)應(yīng)顯示MATLAB程序運(yùn)行結(jié)果，最后創(chuàng)建路徑，引入可執(zhí)行性文件，完成MATLAB結(jié)果在unity中的使用。在Matlab中將文件導(dǎo)出為.exe格式，得到unity可執(zhí)行的文件。在虛擬仿真實(shí)驗(yàn)場景中，選擇顯示CCD采集結(jié)果的軟件，得到如圖10(a)、(b)、(c)所示的干涉圖像，改變動(dòng)臂長和反光鏡方向，干涉圖像也會(huì)隨之變化。進(jìn)一步測(cè)量不同位置的等厚干涉光強(qiáng)分布圖，如圖10(b)所示，與實(shí)際實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，證明仿真實(shí)驗(yàn)的可行性與準(zhǔn)確性。

調(diào)節(jié)M1鏡與M2鏡準(zhǔn)確地相互垂直，在屏幕上獲得等傾干涉條紋，如圖10(a)所示；而M1鏡與M2鏡不相互垂直時(shí)，在屏幕上會(huì)獲得等厚干涉條紋，如10(b)所示，更換光源，屏幕上獲得白光干涉條紋，虛擬仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果均與實(shí)際實(shí)驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象完全一致。

(a) 等傾干涉

4 結(jié) 語

根據(jù)對(duì)邁克爾遜干涉儀產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的原因進(jìn)行理論分析，結(jié)合Matlab軟件對(duì)實(shí)驗(yàn)過程中的幾種干涉圖樣進(jìn)行模擬，得到了結(jié)果與實(shí)際結(jié)果完全一致的效果圖，保證了仿真模擬的真實(shí)性。在此基礎(chǔ)上與unity軟件相結(jié)合，搭建虛擬仿真實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，既可以清晰的展現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，也可以為使用者提供清晰的理論指導(dǎo)，使他們更加直觀、深刻的理解產(chǎn)生干涉的具體過程，同時(shí)提高使用者與仿真實(shí)驗(yàn)的互動(dòng)感。虛擬仿真實(shí)驗(yàn)不僅可以拓寬邁克爾遜干涉儀的使用，而且當(dāng)與其他實(shí)驗(yàn)相結(jié)合提高實(shí)驗(yàn)的綜合性與拓展性。