周 桐,賀豐源,王錦輝

(上海交通大學(xué) 物理與天文學(xué)院,上海 200240)

耦合擺具有典型的相互作用系統(tǒng)，在物理教學(xué)中受到廣泛重視[1-3]。通常耦合擺是由兩個通過彈簧進(jìn)行耦合的單擺構(gòu)成，在不同實(shí)驗(yàn)條件下可以觀察到簡諧振動、拍振動以及無序振動等現(xiàn)象。對于由三個單擺通過彈簧耦合的三體耦合擺來說，研究相對較少。由于描述三體耦合擺的二階微分方程組難以精確求解，因此相關(guān)研究大多只建立在數(shù)值模擬的層面，定量實(shí)驗(yàn)較少[4-6]，而借助智能手機(jī)進(jìn)行定量研究的實(shí)驗(yàn)更是未見報(bào)導(dǎo)。利用智能手機(jī)中的三軸磁傳感器(電子羅盤)研究磁性單擺運(yùn)動，可以很方便地研究單擺運(yùn)動規(guī)律，較為精確地測量重力加速度[7]。本文中將釹鐵硼小磁鐵粘在擺上，利用智能手機(jī)磁傳感器測量磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時間的變化研究三體耦合擺的運(yùn)動。

1 原理簡述

1.1 小角度無阻尼三體耦合擺運(yùn)動方程

三體耦合擺示意圖如圖1所示，三個相同的剛性無阻尼振動擺，兩兩之間通過彈簧相連形成耦合擺，由于彈簧的作用，耦合擺平衡位置并不是豎直位置，可能位于內(nèi)側(cè)，也可能位于外側(cè)，這取決于彈簧的情況。圖中的φ1、φ2和φ3分別表示P1、P2和P3擺相對于平衡位置的角位移。

設(shè)三個剛性振動擺完全一致。質(zhì)量為m，質(zhì)心位置與棒轉(zhuǎn)動軸距離為L，轉(zhuǎn)動慣量為J，彈簧倔強(qiáng)系數(shù)為k，耦合點(diǎn)(彈簧與棒聯(lián)結(jié)位置)與棒轉(zhuǎn)動軸距離為耦合長度l。在小角度擺動下有：sinφ1≈φ1，sinφ2≈φ2，sinφ3≈φ3?？闪谐龇匠探M：

圖1 三體耦合擺示意圖

(1)

(2)

1.2 耦合彈簧的改進(jìn)

通常單擺之間的耦合是用彈簧來實(shí)現(xiàn)。如果要改變彈簧的勁度系數(shù)k值，圖1所示的結(jié)構(gòu)就很難進(jìn)行調(diào)整。在本實(shí)驗(yàn)中，如圖2所示，相鄰兩個單擺之間利用細(xì)線聯(lián)結(jié)，在細(xì)線上懸掛鉤碼作為等效彈簧，來進(jìn)行耦合[8]。鉤碼質(zhì)量為m0，細(xì)線長為2l0。細(xì)線與經(jīng)鉤碼的鉛垂線夾角為θ，等效勁度系數(shù)

(3)

圖2 等效彈簧示意圖

假設(shè)φ2=φ3=0，則P1擺偏離平衡位置一個小角度φ1引起的θ變化為

(4)

由(3)和(4)式可求出勁度系數(shù)的變化為

(5)

其中m0、g、l、θ、l0分別取0.050 00 kg、9.794 m/s2、0.200 0 m、π/4、0.250 0 m。當(dāng)φ1最大變化值為0.01 rad，Δk最大變化為0.047 N/m。由(3)式計(jì)算出的k為2.770 N/m，相對誤差為1.7%?？梢钥闯霎?dāng)耦合擺擺動幅度很小時，k可以作為一個定值。只要改變m0的值，可以很方便地調(diào)節(jié)k的大小。

1.3 利用Maple軟件求解析解

Maple作為專業(yè)的數(shù)學(xué)軟件，擁有強(qiáng)大的符號計(jì)算能力及數(shù)值模擬功能[9]。按照(2)式,設(shè)定初始條件即可根據(jù)選擇的微分方程解法進(jìn)行求解并作圖。

雖然一般情形下的二階微分方程組無法得到解析解，但在不考慮空氣阻尼或擺轉(zhuǎn)動時摩擦阻尼的影響前提下，在特殊初始條件下存在解析解。所有擺釋放前速度均為0，即

(6)

角位移逆時針方向?yàn)檎?。初始情況下角位移可取-0.01 rad、0，0.01 rad三種可能，則三體擺共有27種不同的初始狀態(tài)。去除無耦合的及相似解，選取以下四種初始角度，通過Maple微分方程求解器能夠得到解析解。參數(shù)J、D、k和l分別取2.55×10-2kgm2，0.312 0 Nm，0.950 0 N/m，0.200 0 m。

(1)φ1(0)=-0.01,φ2(0)=φ3(0)=0

(7)

其中

(2)φ2(0)=-0.01,φ1(0)=φ3(0)=0

(8)

(3)φ2(0)=0,φ1(0)=φ3(0)=-0.01

(9)

(4)φ3(0)=0,φ2(0)=-φ1(0)=-0.01

解析解為

(10)

公式(8)和(9)中P1和P3擺隨時間變化關(guān)系完全相同。

2 實(shí)驗(yàn)裝置

三體耦合擺的實(shí)驗(yàn)裝置如圖3所示.

圖3 三體耦合擺的實(shí)驗(yàn)裝置

剛性振動擺由穿過固定在水平支架上的不銹鋼針的細(xì)木棒組成，木棒底部固定重物進(jìn)行配重。木棒之間通過吊在細(xì)尼龍線上的鉤碼進(jìn)行耦合。在木棒底端的重物上粘上釹鐵硼小磁鐵。調(diào)節(jié)手機(jī)位置，使得智能手機(jī)的磁傳感器盡量位于磁鐵的正下方。在每根木棒上標(biāo)記好刻度，方便調(diào)整耦合長度。實(shí)驗(yàn)時控制木棒的擺動方向使得三擺在同一個平面內(nèi)擺動。

德國亞琛工業(yè)大學(xué)的Sebastian Staacks等人開發(fā)出了運(yùn)行在智能手機(jī)上的物理實(shí)驗(yàn)軟件Phyphox[10]。在本實(shí)驗(yàn)中，利用的Phyphox APP中的磁力計(jì)模塊測量磁感應(yīng)強(qiáng)度。研究表明小角度(φ<0.017 rad)擺動時，角位移與磁感應(yīng)強(qiáng)度x分量Bx在成正比[7]，通過讀取x軸磁力計(jì)的數(shù)據(jù)，可以獲得耦合擺振動幅度和周期。

3 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

3.1 三體耦合擺在不同初始條件下的運(yùn)動

使用三部手機(jī)的Phyphox App同時測定各擺下方Bx隨時間的變化，利用Maple軟件對運(yùn)動方程進(jìn)行數(shù)值求解，將實(shí)驗(yàn)結(jié)果與所求的解進(jìn)行比較。其中四種初始條件下耦合長度l均為0.200 0 m。

(1)φ1(0)=-0.01rad、φ2(0)=φ3(0)=0

第一種初始條件下，左邊一擺離開平衡位置釋放，實(shí)驗(yàn)測得三個擺Bx隨時間變化關(guān)系如圖4所示。

可以看出P2擺能觀察到“拍”的現(xiàn)象。拍周期約為11 s。幅度由于空氣阻尼以及轉(zhuǎn)動摩擦阻尼的影響隨時間增大而減小。P1擺幅度隨t增加而減小，在28 s左右幅度最小，然后又逐漸增加。與此相反，P3擺幅度在20～35 s左右幅度最大。利用式(7)計(jì)算得到P1、P2和P3擺角位移理論曲線圖如圖4(b)(d)(f)所示。與理論計(jì)算的角位移相比，Bx的振幅明顯“上下”不對稱，這是由于很難將完全將手機(jī)磁傳感器放在磁鐵正下方。理論計(jì)算結(jié)果顯示P1和P3擺未表現(xiàn)“拍”現(xiàn)象。P2擺理論計(jì)算得到的拍周期和峰值位置與實(shí)驗(yàn)值基本一致。

(a)、(c)、(e)分別為測量得到的P1、P2和P3擺Bx隨時間變化關(guān)系。(b)、(d)、(f)分別為計(jì)算得到的P1、P2和P3擺角位移隨時間變化關(guān)系。

(2)φ2(0)=-0.01rad,φ1(0)=φ3(0)=0

第二種初始條件下僅中間一擺離開平衡位置釋放，測量得到的得到三個擺Bx隨時間變化如圖5所示。

可以看出P1、P2和P3擺均顯示拍現(xiàn)象。拍周期11 s左右。但P2的峰谷變化不是特別明顯。當(dāng)t=5 s時P2幅度極小，兩側(cè)的P1和P3擺振幅均接近極大值。但隨t增加，極值位置逐漸偏離。圖5中(b)(d)(f)插圖顯示三個擺根據(jù)(8)式計(jì)算出的角位移隨時間變化關(guān)系，與實(shí)驗(yàn)曲線一樣，呈現(xiàn)拍的現(xiàn)象，但峰值位置隨著時間增加，與實(shí)驗(yàn)值偏離越來越大。

上面的兩種初始條件是只改變?nèi)w耦合擺其中一個擺的角位移，下面的兩種初始條件則是改變兩個擺角位移。

(a)、(c)、(e)分別為測量得到的P1、P2和P3擺Bx隨時間變化關(guān)系。(b)、(d)、(f)分別為計(jì)算得到的P1、P2和P3擺角位移隨時間變化關(guān)系。

(3)φ2(0)=0,φ1(0)=φ3(0)=-0.01rad

在這種初始條件下，中間擺不動，兩邊兩擺向左偏離平衡位置釋放。三個擺Bx隨時間變化如圖6所示。

圖6 三體耦合擺在第三種初始條件下的實(shí)驗(yàn)和理論曲線

P1和P3擺呈現(xiàn)的拍現(xiàn)象沒有P2擺明顯。但仍可看出當(dāng)P2振幅極小時，P1和P3擺振幅接近極大位置。這一測量結(jié)果符合利用公式(9)所計(jì)算的角位移隨時間變化關(guān)系。

(4)φ3(0)=0,φ2(0)=-φ1(0)=-0.01rad

此種情況下相鄰兩擺反方向離開平衡位置釋放，三個擺Bx隨時間變化如圖7所示。

這組實(shí)驗(yàn)結(jié)果較為有趣，其中P2的Bx隨時間變化幅度隨時間逐漸減小，有微弱的拍存在。P2的角位移計(jì)算結(jié)果接近正弦曲線，無拍現(xiàn)象產(chǎn)生。P1和P3擺拍現(xiàn)象非常明顯。利用公式(10)計(jì)算的拍周期約為17 s。實(shí)驗(yàn)測得的P1和P3擺拍周期稍小，分別為15和14 s。

(a)、(c)、(e)分別為測量得到的P1、P2和P3擺Bx隨時間變化關(guān)系。(b)、(d)、(f)分別為計(jì)算得到的P1、P2和P3擺角位移隨時間變化關(guān)系。

(a)、(c)、(e)分別為測量得到的P1、P2和P3擺Bx隨時間變化關(guān)系。(b)、(d)、(f)分別為計(jì)算得到的P1、P2和P3擺角位移隨時間變化關(guān)系。

圖7 三體耦合擺在第四種初始條件下的實(shí)驗(yàn)和理論曲線

3.2 研究耦合長度與中間擺拍周期關(guān)系

圖4-6顯示前三種初始條件下P2擺拍周期實(shí)驗(yàn)值和理論值均在11 s左右，因此選取第一種初始條件的三體耦合擺，研究P2擺拍周期與耦合強(qiáng)度之間的關(guān)系。耦合強(qiáng)度可以通過調(diào)節(jié)m0或者l。本實(shí)驗(yàn)中通過調(diào)節(jié)l來改變耦合強(qiáng)度。圖8是第一種初始情況下，拍周期T與l的變化關(guān)系。隨著l從10 cm增加到35 cm，測量得到的T從24.65 s單調(diào)減少到4.48 s。

圖8 三體耦合擺在第一種初始條件下P2擺拍周期T隨l變化的實(shí)驗(yàn)和理論值

當(dāng)l≥5 cm，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)均在利用式(7)得到的理論值附近，平均相對誤差僅8.8%。在l為10 cm耦合較弱的情況下，存在比較大的誤差。

4 結(jié) 語

本文利用智能手機(jī)磁傳感器研究了四種典型初始條件下三體耦合擺運(yùn)動規(guī)律，觀察到明顯的拍現(xiàn)象，以及能量在擺之間非常直觀的轉(zhuǎn)移過程。實(shí)驗(yàn)裝置簡易并且成本很低，可以得到定量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。另外，實(shí)驗(yàn)中使用鉤碼加尼龍線的組合代替彈簧，一方面居家實(shí)驗(yàn)中很難找到合適的彈簧，另一方面還可通過改變鉤碼質(zhì)量或者改變尼龍線所系的位置來調(diào)節(jié)耦合強(qiáng)度，實(shí)驗(yàn)內(nèi)容更為豐富。

最后，對三體耦合擺而言，雖然無法得到一般條件下的運(yùn)動方程的解析解，本文利用Maple軟件選定無阻尼情況下四種初始條件進(jìn)行了數(shù)值求解。