劉睿琦，黃 通，徐 浩，毛強兵，張玉彬，李 棟，黎 卿

(華中科技大學 物理學院 引力與量子物理湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430074)

1687年，牛頓在《自然哲學的數(shù)學原理》一書中提出萬有引力定律，其數(shù)學表示為[1]：

(1)

其中，比例系數(shù)G為萬有引力常數(shù)，反應了引力作用的大小。歷史上第一個G值是從1789年卡文迪許的扭秤實驗得到的。他用實驗的方法測定地球質(zhì)量和密度，其改進的扭秤，開創(chuàng)了弱力測量的新時代。

常用的扭秤測G方法有：直接傾斜法、補償法、共振法和周期法等[2-5]。扭秤周期法是被采用次數(shù)最多、且測量結(jié)果較為理想的方法之一，在CODATA-2018收錄的16個G值結(jié)果中，有7個采用扭秤周期法獲得[6]。通過測量兩種不同實驗條件下的扭秤周期變化量得到G值，優(yōu)點是將對弱力的測量轉(zhuǎn)化為更容易獲取高精度的時間測量[7]。

本文基于扭秤周期法相關(guān)原理，設(shè)計了一套簡易的周期法測G實驗裝置，精確測量扭秤、吸引質(zhì)量的物理參量及其相對位置，并進行誤差分析?；谠撈脚_，進行有無球配置周期數(shù)據(jù)積累，高精度提取扭秤周期，在1%精度下給出萬有引力常數(shù)G測量結(jié)果。本實驗作為一門針對物理專業(yè)本科生的創(chuàng)新性物理實驗教學課程，實驗內(nèi)容涵蓋大學物理課程的眾多知識點，如力學、運動學、光學、計量學等。通過該物理實驗有助于培養(yǎng)學生邏輯思維能力、實踐動手能力、誤差設(shè)計與分析能力等。

1 實驗原理

1.1 扭秤周期法測G原理

通常扭秤由一根細絲懸掛，并繞細絲在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動?？紤]有速度阻尼情況下扭秤自由振蕩運動方程為：

(2)

其中I為扭秤的轉(zhuǎn)動慣量，γ為阻尼系數(shù)，K為扭絲的彈性回復系數(shù)。

扭秤旁邊放置兩個不銹鋼球作為吸引質(zhì)量，如圖1所示。通常吸引質(zhì)量有兩種配置：(1)有球配置，球心連線與扭秤平衡位置重合；(2)無球配置，扭秤周圍不放置球。吸引質(zhì)量對扭秤產(chǎn)生額外的引力力矩τg，此時扭秤的運動方程為：

(3)

其中引力力矩τg可近似按θ展開取至一階項：

(4)

圖1 有、無球配置示意圖

由于吸引質(zhì)量是對稱放置的，當扭秤處于平衡位置時，引力力矩都等于零，即上式第一項為零。記Kg=(?2Ug/?θ2)θ=0，則有：

(5)

代入扭秤運動方程，得

(6)

假設(shè)扭絲彈性恢復系數(shù)K是個常數(shù)，不隨時間、扭轉(zhuǎn)頻率等發(fā)生變化，那么有球配置：

(7)

無球配置：

(8)

兩式相減，得：

(9)

萬有引力常數(shù)G可從Kg中提取出來，即Kg=GCg，其中Cg是引力耦合系數(shù)，則

(10)

通過測量有、無球配置下的頻率平方差Δω2，以及引力耦合系數(shù)Cg，和各部件轉(zhuǎn)動慣量I，即可根據(jù)上式計算出G值。

1.2 引力耦合常數(shù)Cg建模

Cg項僅與扭秤與吸引質(zhì)量的幾何和位置等參量相關(guān)。具體計算過程如下：

如圖2所示，以扭秤中心為坐標原點，沿扭秤平衡位置指向球的水平軸為X軸正向，以扭絲豎直向上為Z軸正向，通過右手螺旋定則確定Y軸正向。當扭秤偏離平衡位置θ0時，質(zhì)量為M、球心坐標為(x2,y2,z2)的球與玻璃扭秤上質(zhì)量為dm，坐標為(x1,y1,z1)質(zhì)量元之間的引力勢為

(11)

圖2 球與質(zhì)量元之間引力勢能

積分后得到球與扭秤之間的引力勢能：

(12)

其中

(13)

如圖2所示，該質(zhì)量元在隨著扭秤一起運動的柱坐標系中的坐標為(r,θ,z)，存在一個簡單的變換：

x1=rcos(θ0+θ) ,

(14)

y1=rcos(θ0+θ).

(15)

將引力勢能對角度求二階導，得到Kg

(16)

其中

R0=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2,

(17)

對整個長寬高為2l，2m，2n的扭秤進行積分

(18)

由此可得引力耦合系數(shù)Cg

(19)

2 實驗內(nèi)容

2.1 實驗儀器

2.1.1 主要實驗平臺

扭秤周期法測G實驗如圖3所示，裝置主體為一個二級擺系統(tǒng)，尺寸為90 mm×10 mm×25 mm的矩形玻璃扭秤通過套管和夾具懸掛于主體懸絲下端，主體懸絲為長約600 mm，直徑25 μm的鎢絲。為抑制單擺等其它運動模式，主體懸絲連接到一個磁阻尼單元下端。磁阻尼由一根50 mm長、直徑80 μm的鎢絲懸掛至頂端的真空導引上。二級擺扭秤系統(tǒng)安裝在一個真空容器內(nèi)(10-4Pa)。吸引質(zhì)量為兩個直徑120 mm的不銹鋼球體，它們對稱的放置在扭秤兩邊。通過手動的方式實現(xiàn)有球和無球配置的切換。

圖3 扭秤周期法測G實驗設(shè)計圖

2.1.2 光杠桿系統(tǒng)

實驗中扭秤信號監(jiān)測示意圖如圖4所示。從激光管出來的激光在扭秤表面被反射后，入射到位置探測器PSD表面，通過光電作用在入射點產(chǎn)生正比于光強的電流，然后通過襯底流向兩端的電極，在兩個電極處流出的電流為I1和I2。經(jīng)由轉(zhuǎn)換電路之后變?yōu)殡妷篤1和V2。為了降低激光器功率波動等因素的影響，選取兩路電壓的除信號給出扭秤的角度變化。令Δ/Σ=(V1-V2)/(V1+V2)，則扭秤的角度變化δθ為：

(20)

其中l(wèi)1為扭秤與位置探測器之間的距離，l2為兩個探測器電極之間的距離。

圖4 PSD角度監(jiān)測系統(tǒng)示意圖

2.2 實驗測量樹狀圖

如圖5所示，該實驗中主要代測物理量包含兩個部分：①扭秤與吸引質(zhì)量的尺寸、質(zhì)量和相對位置決定的幾何與質(zhì)量項Pg=Cg/I；②扭秤在有吸引質(zhì)量和無吸引質(zhì)量兩種不同配置下周期變化Δω2。

圖5 測G實驗樹狀圖

各項參量的測量不確定度為

(21)

將各測量值的不確定度進行合成可得總的相對不確定度：

(22)

2.3 實驗準備和相關(guān)量測量

按實驗設(shè)計搭建裝置，裝置主要分為二級擺扭秤系統(tǒng)和吸引質(zhì)量系統(tǒng)，搭建過程中需要對各部分進行測量和調(diào)試。

2.3.1 二級擺系統(tǒng)

二級擺系統(tǒng)的準備和測量主要為：①扭秤質(zhì)量和尺寸；②夾具質(zhì)量和尺寸；③套管質(zhì)量和尺寸；④粘貼夾具；⑤測量膠水參數(shù)；⑥制作鎢絲；⑦磁阻尼單元。

質(zhì)量與尺寸分別通過PR-2004電子天平、比長儀進行測量。PR-2004電子天平的最大允許誤差為0.8 mg。比長儀精度1 μm。

夾具、套管的質(zhì)量和尺寸分別用PR-2004電子天平、游標卡尺和千分尺進行測量，游標卡尺精度0.02 mm，千分尺精度0.001 mm。并在影像儀下進行粘貼，流程如下：根據(jù)扭秤上表面的中心坐標和套管半徑可以在影像儀中畫出圓形。將紫外膠均勻涂抹在夾具下表面，保證紫外膠的厚度一致，再將夾具和套管整體放在扭秤上表面中心處，令套管外徑與畫出的圓形重合，用紫外光照射約12 min預固化，在影像儀下發(fā)現(xiàn)套管的相對位置沒變，繼續(xù)用紫外燈照射約12 h，完成夾具的粘貼。

圖6 懸絲制作示意圖

2.3.2 吸引質(zhì)量單元

吸引質(zhì)量單元的準備和測量工作主要為：①球質(zhì)量的測量；②球直徑測量；③支撐環(huán)定位；④球心間距測量。

吸引質(zhì)量球質(zhì)量與尺寸分別通過電子天平、外徑千分尺進行測量。電子天平精度0.1 g，外徑千分尺精度6 μm。

在實驗過程中，為使球心連線與扭秤重合，需要對支撐環(huán)進行定位，使球關(guān)于容器中心對稱擺放。具體定位流程如圖7所示：(1)調(diào)節(jié)兩球沿X軸對稱：輔助件為平行的兩塊鋁制平板，兩平板之間間距為L，如下圖所示放置在扭秤一側(cè)；另一側(cè)垂直放置電控平移臺，平移臺上固定一個激光頭。首先移動平移臺將激光與扭秤夾具左右側(cè)兩次相切，得到扭秤中心位置。將激光頭移動到中心位置后，向X負方向移動L/2后，調(diào)整輔助平板，使其左側(cè)內(nèi)表面與激光相切，再將激光頭調(diào)回中心位置，向X正方向移動L/2后，再次微調(diào)輔助平板，使其右側(cè)內(nèi)表面與激光相切；將吸引質(zhì)量球放在支撐環(huán)上，調(diào)整兩支撐環(huán)位置使兩球分別與平板左、右側(cè)內(nèi)表面相切，注意：需要在Y方向給扭秤中心留出空間，保證下一步的操作。(2)調(diào)節(jié)兩球沿Y軸對稱：如圖所示將平移臺與之前位置垂直，再次通過移動激光頭找到扭秤中心，控制平移臺使激光頭向Y軸正向移動球半徑R，再次調(diào)整兩支撐環(huán)使左右兩球與激光相切；完成支撐位置調(diào)節(jié)。

圖7 支撐環(huán)定位示意圖

調(diào)整好支撐環(huán)位置后，通過精度為6 μm的外徑千分尺測量兩球外球面間距，減去兩球半徑得到球心間距。

2.3.3 相對位置調(diào)節(jié)與測量單元

在完成扭秤單元和吸引質(zhì)量單元的測量和搭建后，需要對其相對位置進行調(diào)節(jié)，具體包括：①球心至基準面距離；②扭秤中心至基準面距離；③扭秤姿態(tài)；④球心連線與扭秤調(diào)平行用精度為20 μm的高度尺測量球頂至基準面距離，減去球半徑得到球心至基準面距離。

通過頂針法測量扭秤中心到基準面的距離，如圖8所示，制作了測量輔助件，螺旋測微頭固定在鋁桿上，鋁桿固定在銅柱上。將銅柱放置在基準面上，將鋁桿伸入真空容器扭秤下方，調(diào)節(jié)螺旋測微頭，使其頂端恰好與扭秤下端接觸，用高度尺測量螺旋測微頭頂端與基準面距離，加上扭秤半高，即可得到扭秤中心到基準面的距離。

圖8 扭秤高度測量

扭秤姿態(tài)是指扭秤懸掛好后存在傾斜，如圖9所示，存在θX和θY兩個方向的傾斜。首先用激光器測量某一面的角度θy1，然后將扭秤旋轉(zhuǎn)180°，再通過激光器測量角度θy2，那么θy方向的姿態(tài)角即為

θy=(θy1-θy2)/2.

(23)

同理可測θx方向的姿態(tài)角。

圖9 扭秤姿態(tài)測量

最后需要將扭秤平衡位置與球心連線的夾角調(diào)為零，具體流程如下：如圖10所示，將標準塊從右側(cè)靠上兩個球，此時光杠桿記錄的標準塊讀數(shù)為B，因此球心連線與讀數(shù)B建立起了聯(lián)系；拿走標準塊，此次光杠桿監(jiān)測扭秤。通過導引將扭秤的平衡位置調(diào)節(jié)至B，此時，扭秤與球心連線調(diào)平行。

圖10 扭秤與球心連線調(diào)平行示意圖

2.3.4 有無球數(shù)據(jù)積累與處理

在扭秤單元，吸引質(zhì)量單元，和相對位置參數(shù)都調(diào)整測量完畢后，啟動機械泵、分子泵將真空室抽真空，然后由離子泵維持高真空。采用光杠桿記錄有球下扭秤運動1天，再將吸引質(zhì)量球移走，記錄無球數(shù)據(jù)1天，再將球放回，再記錄有球數(shù)據(jù)1天，如此反復，得到多組有無球配置的扭秤運動數(shù)據(jù)。

得到扭秤運動原始數(shù)據(jù)后，采取相位法提取扭秤周期，相位法的主要思想是通過目標函數(shù)來逼近實驗數(shù)據(jù)序列，根據(jù)目標函數(shù)與實驗數(shù)據(jù)之間的殘差來修正目標函數(shù)的參數(shù)，從而給出最佳逼近?？紤]到扭秤在以基頻振蕩的同時還會受到非線性效應、結(jié)構(gòu)阻尼、扭絲蠕變等因素的影響，可以選擇如下目標函數(shù)去逼近實驗數(shù)據(jù)[8]：

Y(t)=∑e-βntAncos(nωt+φn)+kt+B0.

(24)

采用相位法處理數(shù)據(jù)的規(guī)范為：

①輸入?yún)⒖碱l率ωRef。一般采用離散快速傅里葉方法(FFT)對數(shù)據(jù)進行處理，得到參考頻率。

②通過相位法計算參考信號與扭秤數(shù)據(jù)的相位差。

(25)

③剔除異常數(shù)據(jù)，如受到地震沖擊影響的數(shù)據(jù)。

④根據(jù)相位變化確定扭秤周期。

⑤由A-B-A線性差值法[9]給出Δω2。

3 數(shù)據(jù)處理及分析

3.1 幾何與質(zhì)量項Pg

實驗中，對扭秤、吸引質(zhì)量和其相對位置進行詳細測量測量結(jié)果如表1所示。

得到I，Cg及其不確定度：

I=4.3×10-5kg·m2

uI=9.7×10-10kg·m2

Cg=0.347kg3·N-1·s-2

uCg=0.004kg3·N-1·s-2

表1 參數(shù)測量結(jié)果

3.2 有無球配置下Δω2

實驗中分別進行了5組有球配置和無球配置的周期數(shù)據(jù)測量，選取其中較為穩(wěn)定的數(shù)據(jù)，通過上述方法利用MATLAB程序計算出每組的周期，再計算平均值得出有球配置和無球配置的周期如下：

T0=(484.6747±0.001 4)s

TN=(484.9018±0.000 3)s

其中下標0、n分別代表無球配置和有球配置。根據(jù)如下公式

(26)

得到Δω2及其不確定度

Δω2=5.373×10-7s-2

uΔω2=1×10-9s-2

3.3 系統(tǒng)效應評估

3.3.1 磁阻尼效應

為了抑制單擺等運動模式對扭秤運動的干擾，通常引入一個額外的磁阻尼單元與扭秤構(gòu)成一個如下圖11所示的二級擺扭秤系統(tǒng)，其中K1和I1分別為上端懸絲的彈性系數(shù)和阻尼盤的轉(zhuǎn)動慣量。鋁環(huán)、紫銅柱以及鋁桿構(gòu)成的磁阻尼盤用鎢絲懸掛，由永磁鐵和鐵框架產(chǎn)生的磁力線垂直穿過鋁環(huán)的邊緣，當鋁環(huán)做單擺等運動時切割磁力線因此能量被抑制，而理想情況下鋁環(huán)的扭轉(zhuǎn)將不受影響。磁阻尼盤中紫銅柱的作用是增加整體的重量使鎢絲被拉得更直，從而提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

圖11 二級擺扭秤系統(tǒng)示意圖

對于二級擺扭秤系統(tǒng)，系統(tǒng)的Lagrange量為：

(27)

此時G的表達式為：

(28)

在精度不高(誤差要求在1%)的情況下，可以認為：

(29)

仍通過式(10)計算G值。

3.3.2 熱彈性效應

扭絲熱彈性效應是指扭絲的彈性系數(shù)K會隨溫度的變化而變化。扭絲彈性系數(shù)是直徑、長度和所用材料的剪切模量的函數(shù)，而這些參量均會受到溫度的影響。彈性系數(shù)與溫度在很小范圍附近呈線性關(guān)系，表示為K(T)=K0(1+αkΔT)。通過溫度調(diào)制實驗得到周期隨溫度的變化，從而確定熱彈性系數(shù)αk。在該實驗中，記錄數(shù)據(jù)過程中禁止人員進出實驗場所，以保證溫度恒定，在1%精度的前提下，可以認為熱彈性效應對實驗沒有影響。

3.3.3 滯彈性效應

在理想情況下認為扭絲滿足經(jīng)典胡克定律τ=Kθ，即應力隨應變瞬時改變。而現(xiàn)實情況是，應力并沒有隨著應變的出現(xiàn)立刻產(chǎn)生，而是有一個弛豫時間，這種應力滯后于應變的特征，被稱為滯彈性。國際上描述滯彈性的經(jīng)典理論是Maxwell模型[10]。Kuroda根據(jù)該模型給出由于扭絲的滯彈性貢獻給G值的效應為[11]

(30)

其中Q為扭絲的品質(zhì)因數(shù)，與材料本身有關(guān)。該實驗中采用鎢絲作為扭絲，鎢絲的品質(zhì)因數(shù)約為1 700，根據(jù)式(30)計算可知，滯彈性效應為0.019%，相比于1%的精度要求是可以忽略的。

3.4 萬有引力常數(shù)G的計算

由扭秤的轉(zhuǎn)動慣量I、扭秤與吸引質(zhì)量的引力耦合系數(shù)Cg有球配置和無球配置下扭秤振蕩的頻率平方差Δω2及其不確定度，根據(jù)式(12)計算出萬有引力常數(shù)G為：

G=6.672×10-11m3·kg-1·s-2

相對不確定度δG/G=1.2%。其中，I、Cg、Δω2對最終測量結(jié)果的不確定度的貢獻分別為

結(jié)果表明，Cg對G的測量結(jié)果的不確定度影響是最大的，而Cg的不確定度主要來源于支撐環(huán)定位過程中兩球球心連線中點與扭秤中心的重合精度。由于在支撐環(huán)定位過程中是使用平移臺來確定兩球球心的位置，其精度大約為1mm左右，相比于其它參量，其對Cg的計算誤差影響較大。

Δω2對G的測量結(jié)果的不確定度影響雖然小于Cg的影響，但其對不確定度貢獻的數(shù)量級相同。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，在計算Δω2時，白天獲取的數(shù)據(jù)的振幅具有較為明顯的非線性漂移，如圖12(a)所示，而晚上獲取的數(shù)據(jù)的漂移基本保持線性，如圖12(b)所示。產(chǎn)生該非線性漂移的主要原因是白天實驗室周邊的人為活動引起的測量背景引力場的變化，該非線性漂移也是造成Δω2的測量誤差的主要原因。經(jīng)分析，將測量安排在人為活動較少的晚上進行，可以減少非線性漂移，能夠?qū)ⅵう?的測量精度提高一個數(shù)量級，從而提高G的測量精度。

(a)白天測量數(shù)據(jù)

4 結(jié) 語

本實驗基于扭秤周期法原理，設(shè)計了實驗測量裝置，在1%的精度下進行了測G實驗研究。

通過本實驗的訓練，使學生掌握基本的精密測量實驗原理，熟悉實驗設(shè)計、方案建模、誤差分析和數(shù)據(jù)處理、結(jié)果分析等實驗手段和方法。通過溫度、時間、長度、質(zhì)量、距離等基本物理量的測量與不確定度評估，培養(yǎng)學生的科研素養(yǎng)，為精密測量學科培養(yǎng)人才。