王錦瑞，張亞娣

數(shù)學(xué)悖論與數(shù)學(xué)發(fā)展關(guān)系分析

王錦瑞，張亞娣

（1. 陜西學(xué)前師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，陜西 西安 710100；2. 商丘市民主路第二小學(xué)，河南 商丘 476000）

基于數(shù)學(xué)悖論的定義，探討了數(shù)學(xué)悖論對(duì)數(shù)系、微積分、概率論、集合論、幾何學(xué)等方面發(fā)展的影響，分析了數(shù)學(xué)悖論在無理數(shù)的產(chǎn)生，歐氏幾何與非歐幾何的發(fā)展、概率論的公理化以及微積分基礎(chǔ)的完善等各方面發(fā)揮的不可替代作用．并由此表明，數(shù)學(xué)悖論的提出是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的必然產(chǎn)物，它反映出數(shù)學(xué)的概念、理論體系在當(dāng)時(shí)歷史條件下或存在一定漏洞，從而打破了數(shù)學(xué)思維的慣性及局限性，不斷促進(jìn)新的數(shù)學(xué)理論體系的產(chǎn)生，進(jìn)而推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展與完善．

數(shù)學(xué)悖論；貝特朗悖論；羅素悖論；數(shù)學(xué)發(fā)展

公元前６世紀(jì)的古希臘，在克里特島上的哲學(xué)家巴門尼德說：“每一個(gè)克里特島人說的每一句話都是假話”．巴門尼德作為克里特島上的一員，這句話顯然是一個(gè)矛盾，這就是著名的巴門尼德悖論，是迄今為止發(fā)現(xiàn)的最早的邏輯悖論[1]．各種哲學(xué)悖論、邏輯悖論、數(shù)學(xué)悖論的產(chǎn)生在一定程度上為當(dāng)時(shí)的科學(xué)發(fā)展帶來困擾與恐慌，但從更深層面來看更為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展指明了方向．作為指路明燈的數(shù)學(xué)悖論，其分析與解決的過程促使數(shù)學(xué)理論體系逐步走向完善．本文通過分析數(shù)系、微積分、概率論、集合論、幾何學(xué)等內(nèi)容中提出的數(shù)學(xué)悖論及其解決方法，探討數(shù)學(xué)悖論對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展史產(chǎn)生的重要影響．

1　數(shù)學(xué)悖論的定義

悖論的定義可以這樣表述：由一個(gè)被承認(rèn)是真的命題為前提，設(shè)為B，進(jìn)行正確的邏輯推理后，得出一個(gè)與前提互為矛盾命題的結(jié)論非B，反之，以非B為前提，亦可推得B，那么命題B就是一個(gè)悖論，當(dāng)然非B也是一個(gè)悖論[2]．我國著名數(shù)學(xué)家徐利治曾指出產(chǎn)生悖論的根本原因在于舊的認(rèn)識(shí)與新的事實(shí)的沖突．也就是說，一切事物總是在不斷發(fā)展的，而在這一過程中，可能會(huì)出現(xiàn)一些舊的認(rèn)識(shí)無法解決的新的現(xiàn)實(shí)，從而引起思想認(rèn)識(shí)方面的劇烈沖突，這種沖突發(fā)展成為悖論表現(xiàn)出來．

在數(shù)學(xué)研究過程中，根據(jù)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆霞榷ㄒ?guī)則的推理，通常會(huì)得出正確的結(jié)論．但是在有些情況下，卻產(chǎn)生了與現(xiàn)有的數(shù)學(xué)規(guī)范互相沖突的認(rèn)知矛盾，這就是數(shù)學(xué)悖論．?dāng)?shù)學(xué)悖論的產(chǎn)生通常是由于人的數(shù)學(xué)思維在特定歷史時(shí)期具有局限性，暴露了一定歷史階段下數(shù)學(xué)基礎(chǔ)體系的不足．與一些超越客觀事實(shí)的哲學(xué)悖論不同，數(shù)學(xué)悖論基于人類對(duì)于客觀事實(shí)的認(rèn)識(shí)而產(chǎn)生，是人類依據(jù)客觀事實(shí)不斷追尋真理的產(chǎn)物．研究數(shù)學(xué)悖論，有助于了解數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾的產(chǎn)生、解決及發(fā)展進(jìn)程．

2　數(shù)學(xué)悖論與數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)系分析

2.1　數(shù)學(xué)悖論與數(shù)系發(fā)展

數(shù)系發(fā)展經(jīng)過了一個(gè)從模糊到清晰不斷擴(kuò)充完善的過程．其中，無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)對(duì)整個(gè)數(shù)系的發(fā)展起著不可忽視的作用．公元前600—500年，作為歷史上第一個(gè)數(shù)學(xué)共同體的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，在當(dāng)時(shí)的古希臘數(shù)學(xué)界占據(jù)絕對(duì)的領(lǐng)導(dǎo)地位．他們所推崇的“唯數(shù)論”也被看作是絕對(duì)權(quán)威，不可撼動(dòng)的真理．他們認(rèn)為數(shù)的和諧即為宇宙的本質(zhì)，崇尚“萬物皆數(shù)”[3]．在其理論中，數(shù)被分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)（整數(shù)之比）２種，并認(rèn)為萬物皆是可公度的．

但是，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個(gè)學(xué)生希帕索斯（Hippasus）在對(duì)正方形對(duì)角線長度的求解過程中得出其是一個(gè)不可公約量，可公度原理是不正確的．并且在此過程中證明了其作為一個(gè)量存在的合理性．畢達(dá)哥拉斯悖論的出現(xiàn)使“一切量皆可公度”這一理念不再被人信服．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派陷入兩難的尷尬境地．

在之后的很長一段時(shí)間里不可通約量都被視為一種“怪?jǐn)?shù)”而令人難以接受．直到19世紀(jì)也沒有學(xué)者能夠給予無理數(shù)一個(gè)明確的定義．隨著分析學(xué)的發(fā)展，人們不得不重視無理數(shù)的研究．19世紀(jì)下半葉，哈密頓、威爾斯特拉斯、戴德金和康托爾等著名的數(shù)學(xué)家認(rèn)真地研究了無理數(shù)，給出了無理數(shù)的嚴(yán)格定義，提出了一個(gè)同時(shí)含有理數(shù)和無理數(shù)的新的數(shù)類——實(shí)數(shù)，并建立了完整的實(shí)數(shù)理論[4]51．至此，無理數(shù)終于被充分理解且有了合法的地位，人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)也自此擴(kuò)充到完備的實(shí)數(shù)理論，之后，數(shù)系不斷擴(kuò)大和發(fā)展，復(fù)數(shù)、四元數(shù)等多種數(shù)系逐漸被定義出來，數(shù)域的分類不斷細(xì)化．

2.2　數(shù)學(xué)悖論與微積分的發(fā)展

17世紀(jì)后期，微積分學(xué)快速發(fā)展起來并以其運(yùn)算完整且應(yīng)用范圍廣泛的優(yōu)勢在自然科學(xué)的理論研究和實(shí)際應(yīng)用中發(fā)揮著重要作用，引起了人們廣泛重視．但是，剛剛建立起來的微積分在基礎(chǔ)問題中還存在許多缺陷，不能科學(xué)合理地給出無窮小量的概念，因此受到了來自不同方向的批判和攻擊．其中最有力的攻擊便來自英國大主教喬治·貝克萊（George Berkeley） 的評(píng)判，后人稱其為貝克萊悖論．

無窮小概念的混亂與不規(guī)范導(dǎo)致微分、積分等理論的基礎(chǔ)并不穩(wěn)固，存在缺陷．但由于許多實(shí)際問題都可以通過微積分方法快速地解決，使得一些數(shù)學(xué)家對(duì)微積分基礎(chǔ)問題的研究不再感興趣．直到19世紀(jì)20年代，為了滿足分析學(xué)的發(fā)展需要，微積分基礎(chǔ)完善工作迫在眉睫．法國數(shù)學(xué)家奧古斯丁·路易斯·柯西（Augustin Louis Cauchy）在這一研究過程中做出了突出貢獻(xiàn)．但由于缺少嚴(yán)格的實(shí)數(shù)理論作為支撐，柯西的理論依舊存在缺陷．之后，經(jīng)過卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass）的不懈努力，完備的實(shí)數(shù)理論才得以建立起來．由此，經(jīng)過眾多數(shù)學(xué)家一個(gè)多世紀(jì)的共同研究，微積分理論的邏輯基礎(chǔ)工作基本進(jìn)入了尾聲．微積分嚴(yán)密基礎(chǔ)的實(shí)現(xiàn)解決了“無窮小量是否為零”的矛盾，分析學(xué)得到進(jìn)一步發(fā)展．

2.3　數(shù)學(xué)悖論與概率論的發(fā)展

19世紀(jì)一門新的學(xué)科——幾何概率學(xué)興起，使得許多概率問題的計(jì)算更加快捷，而不用像以往一樣僅僅局限于運(yùn)用微積分的知識(shí)解決問題．但是貝特朗（Bertrand ）在探討圓內(nèi)有關(guān)弦長的概率時(shí)發(fā)現(xiàn)的貝特朗悖論卻引發(fā)了爭論．

運(yùn)用3種不同的解決思路得出了3個(gè)不同的結(jié)論，這嚴(yán)重違背了數(shù)學(xué)的準(zhǔn)確性，令人產(chǎn)生困惑．其實(shí)3種解法都有其合理性，產(chǎn)生這一結(jié)果根本原因，是因?yàn)樵凇叭∠摇睍r(shí)沒有做具體的規(guī)定，通過給定相應(yīng)“等可能假設(shè)”，我們可以得出與之對(duì)應(yīng)的樣本空間．如果在解題前列出所求弦在圓內(nèi)分布3種情況，便可以得出3個(gè)相應(yīng)的樣本空間．針對(duì)不同的樣本空間，產(chǎn)生了3種不同的答案．如果在題目中給出具體的樣本空間，便可以得出唯一正確的答案．貝特朗悖論的提出明確了概率問題的基礎(chǔ)，那就是首先應(yīng)該確定樣本空間的范圍．

當(dāng)時(shí)雖然借助分析法這一工具使得概率論得以進(jìn)一步發(fā)展，但由于19世紀(jì)的分析學(xué)發(fā)展本身就不完善，導(dǎo)致概率論體系也存在一些缺陷．貝特朗悖論便是在這種背景中提出的．貝特朗悖論的提出引起了數(shù)學(xué)家們對(duì)概率論尤其是概率這一基本概念的深入思考，由此展開了關(guān)于概率論基礎(chǔ)的一系列研究．1900年希爾伯特就曾呼吁要把概率論公理化的工作提上日程．著名數(shù)學(xué)家伯恩斯坦最早對(duì)概率嚴(yán)格化進(jìn)行嘗試，并在1927年出版的《概率論》中引進(jìn)了3個(gè)公理：（1）概率的可比較性公理；（2）不相容事件公理；（3）事件組合公理[7]，并在之后給出了第一個(gè)系統(tǒng)的概率論公理化體系．但在他的體系中沒有對(duì)概率的數(shù)值定義一個(gè)基本概念，沒有從根本上解決問題．20世紀(jì)20年代起，數(shù)學(xué)家們通過不斷探索分析，逐漸將概率基礎(chǔ)問題的研究和集合論與函數(shù)論的思想聯(lián)系起來，找到了正確發(fā)展方向，建立起以測度論為基礎(chǔ)的概率論的公理化體系．至此，由貝特朗悖論引發(fā)的對(duì)概率論基礎(chǔ)問題的疑惑得以圓滿解決．

2.4　數(shù)學(xué)悖論與集合論的完善

其實(shí)，在羅素之前，一些數(shù)學(xué)家就已經(jīng)相繼給出關(guān)于集合論的一些其他悖論．但與羅素悖論相比這些悖論都相對(duì)繁瑣，難以理解，因此僅出現(xiàn)了一些小波動(dòng)而并未引起較大影響．羅素悖論因?yàn)檎務(wù)摰氖亲罨A(chǔ)的問題而顯得通俗易懂，使其剛發(fā)現(xiàn)便被各界廣泛討論．眾多數(shù)學(xué)家為了解決以羅素悖論為代表的集合論中的各種悖論很快行動(dòng)起來．羅素提出了惡性循環(huán)原則，雖然遵循該原則是消除集合論中已知悖論的一種方法，但并未從根本上解決問題．德國數(shù)學(xué)家恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）認(rèn)為集合論中的一些悖論和矛盾是由它的根本原理導(dǎo)出來的．為此他提出９條公理并建立了Z公理．Z公理規(guī)定該公理系統(tǒng)只承認(rèn)在其允許的范圍內(nèi)所構(gòu)造的集合，羅素悖論由此排除．之后，經(jīng)弗蘭克爾（Abraham Fraenkel）等一批數(shù)學(xué)家對(duì)Z公理作了進(jìn)一步完善和改進(jìn)，形成了今天著名的ZFC系統(tǒng)．由于ZFC系統(tǒng)本身的相容性并沒有解決，盡管如今現(xiàn)有的悖論都已解決，但依舊無法保證之后可能出現(xiàn)的情況．受到說謊者悖論的啟發(fā)，奧地利偉大的數(shù)量邏輯學(xué)家?guī)鞝柼亍じ绲聽枺↘urt Godel）提出了不完備性定理，不完備性定理指出：“如果形式算術(shù)系統(tǒng)是無矛盾的，則存在著這樣一個(gè)命題，該命題及其否定命題在該系統(tǒng)中都不能證明，也就是說它是不完備的”[4]52，這是關(guān)于數(shù)理邏輯研究的一個(gè)突破性成果．為數(shù)學(xué)家關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的不休爭論畫上休止符，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)基本結(jié)束．

2.5　數(shù)學(xué)悖論與幾何學(xué)的發(fā)展

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)之前，古希臘人對(duì)幾何學(xué)具有絕對(duì)的研究優(yōu)勢．他們依據(jù)原子論為基礎(chǔ)，把幾何與算數(shù)聯(lián)系起來，獲得了巨大成就．由于希帕索斯發(fā)現(xiàn)了不可公約量，證明并非所有線段都可公度，可公度原理隨之被推翻．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的幾何學(xué)也隨之產(chǎn)生巨大漏洞．為了避開這一悖論，數(shù)學(xué)家工作的重點(diǎn)逐漸轉(zhuǎn)移到幾何上來．歐多克索斯（Eudoxus） 引入了“量”的概念，以“量”來表示線段、角等不是固定不變的東西，并以此與離散的數(shù)區(qū)別開來． 歐多克索斯用“量”表示不連續(xù)的數(shù)與幾何圖形聯(lián)系起來，重新給出了兩者間的對(duì)稱關(guān)系．雖然歐多克索斯的這種方法為不可公度比給出合理的解釋，促使當(dāng)時(shí)的幾何學(xué)的研究不斷深入，但同時(shí)也將其與代數(shù)分裂開來，導(dǎo)致僅僅在幾何學(xué)中才能進(jìn)行相關(guān)計(jì)算．同時(shí)使得希臘人意識(shí)到應(yīng)該用更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度對(duì)待幾何研究問題，不能僅僅依靠直覺想法或生活經(jīng)驗(yàn)給出結(jié)論．由此希臘人在幾何研究中加入推理和證明，不斷消除矛盾和解除危機(jī)，希臘數(shù)學(xué)進(jìn)入巔峰時(shí)期．

公元前3世紀(jì)，歐幾里德通過對(duì)當(dāng)時(shí)的幾何學(xué)研究成果進(jìn)行詳細(xì)歸類和分析，編寫出《幾何原本》．《幾何原本》的出版標(biāo)志著幾何學(xué)由此進(jìn)入歐氏幾何時(shí)代 ．但隨著研究的不斷深入，該書中的第五條公設(shè)引起了質(zhì)疑．為了證明這一公設(shè)的合理性，數(shù)學(xué)家們進(jìn)行了各種嘗試，但都以失敗告終．并且在這一過程中發(fā)現(xiàn)了許多“直觀悖論”，非歐幾何也由此逐漸發(fā)展起來．由于歐氏幾何其直觀與邏輯推理結(jié)果完全一致，而非歐幾何則是彼此對(duì)立的，因此由于非歐幾何中出現(xiàn)了“直觀悖論”，致使那些以直觀作為真理標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)家不承認(rèn)非歐幾何的存在[10]．直至后來通過數(shù)學(xué)家克萊因等人的努力，非歐幾何才慢慢地得到認(rèn)可．

3　數(shù)學(xué)悖論與數(shù)學(xué)發(fā)展的關(guān)系評(píng)價(jià)

數(shù)學(xué)悖論帶來的影響并不是負(fù)面消極的，更多的是為數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展指引方向．在數(shù)系、幾何、概率等多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)悖論均發(fā)揮著不可忽視的作用．?dāng)?shù)學(xué)悖論作為源頭引發(fā)了３次重大數(shù)學(xué)危機(jī)，但每一次危機(jī)的解決又促使數(shù)學(xué)體系更加完備．經(jīng)過第一次危機(jī)，數(shù)系因無理數(shù)的加入得以擴(kuò)充．同時(shí)使古希臘數(shù)學(xué)家認(rèn)識(shí)到，對(duì)事物的判斷不能僅依靠直觀感覺和生活經(jīng)驗(yàn)，嚴(yán)格的推理證明更加可靠．以致后來他們對(duì)待幾何知識(shí)更加嚴(yán)謹(jǐn)，歐氏幾何正是由此逐漸發(fā)展起來．第二次數(shù)學(xué)危機(jī)引發(fā)數(shù)學(xué)家對(duì)實(shí)數(shù)論的濃厚興趣，實(shí)數(shù)理論由此建立，為微積分的進(jìn)一步完善奠定了更加穩(wěn)固的基礎(chǔ)．第三次數(shù)學(xué)危機(jī)發(fā)起了關(guān)于數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題檢查和鞏固的工作，修補(bǔ)了數(shù)學(xué)大廈根基的裂縫．經(jīng)過發(fā)現(xiàn)悖論——解決悖論這樣一個(gè)循環(huán)往復(fù)螺旋向上的過程．面對(duì)數(shù)學(xué)悖論帶來的恐慌與危機(jī)，人類逐漸從否認(rèn)、逃避轉(zhuǎn)變?yōu)榻邮懿⒎e極尋找解決的方案．如今，數(shù)學(xué)悖論帶給我們的不僅僅是困惑，更多的是思維的開拓、數(shù)學(xué)的發(fā)展與完善，期待新的數(shù)學(xué)悖論的出現(xiàn)，并由此推動(dòng)數(shù)學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展．

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Analysis on the relationship between mathematical paradox and mathematical development

WANG Jinrui，ZHANG Yadi

（1. School of Mathematics and Statics，Shaanxi Xueqian Normal University，Xi′an 710100，China；2. Shangqiu Minzhu Road No.2 Primary School，Shangqiu 476000，China）

Based on the definition of mathematical paradox，the influence of mathematical paradox on the development of logarithm system，geometry，probability，calculus was discussed．The irreplaceable role of the mathematical paradox was specifically analyzed in the generation of irrational numbers，the development of Euclidean geometry and non Euclidean geometry，the axiomatization of probability theory，and the improvement of the foundation of calculus．it showed that emergence of mathematical paradox is the inevitable outcome in the process of mathematical development，it reflected that the concept and theoretical system of mathematics may have some loopholes under the historical conditions at that time，thus broken the inertia and limitations of mathematical thinking，constantly promoted the emergence of new mathematical theoretical system, and further promoted the development and improvement of mathematics.

mathematical paradox；Bertrand′s paradox；Russell′s paradox；mathematics development

1007-9831（2022）09-0022-04

N91

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.09.006

2022-01-05

國家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目（18BTJ014）

王錦瑞（1985-），女，陜西咸陽人，副教授，博士，從事數(shù)學(xué)史研究．E-mail：dreams1985@126.com