華杰，董賀，汪玉海，張剛，汪津

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程教學(xué)方法

華杰，董賀，汪玉海，張剛，汪津

（吉林師范大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院，吉林 四平 136000）

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程是普通高等院校電子信息類、電氣工程類、自動化等理工科專業(yè)的必修基礎(chǔ)課程之一．為了提升課堂教學(xué)質(zhì)量，利用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式提高課堂教學(xué)效率，利用可視化教學(xué)增強(qiáng)學(xué)生抽象思維及空間想象能力，利用應(yīng)用實例加強(qiáng)課程知識點的理解，使學(xué)生系統(tǒng)、準(zhǔn)確地掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的核心思想，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，為后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．

復(fù)變函數(shù)；積分變換；教學(xué)方法；學(xué)習(xí)興趣

復(fù)變函數(shù)與積分變換課程是高等數(shù)學(xué)的后續(xù)課程，也是高等院校電子信息類、電氣工程類、自動化等理工科專業(yè)重要的基礎(chǔ)課，通過該課程的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理、抽象思維以及空間想象等能力[1]．復(fù)變函數(shù)與積分變換課程在專業(yè)課程體系中具有承上啟下的重要地位，相關(guān)的理論知識在自然科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用．隨著電子信息技術(shù)的快速發(fā)展，新技術(shù)、新應(yīng)用不斷涌現(xiàn)．在新工科“寬口徑”培養(yǎng)要求下，電子信息類專業(yè)培養(yǎng)方案中實踐教學(xué)學(xué)時增加，課堂教學(xué)學(xué)時相應(yīng)地有所減少[2]．這就要求教師要對復(fù)變函數(shù)與積分變換課程的知識點進(jìn)行梳理，在“減課時不減質(zhì)量”的前提下，優(yōu)化課堂教學(xué)內(nèi)容，改革教學(xué)方法，使學(xué)生系統(tǒng)、準(zhǔn)確地理解和掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換理論，實現(xiàn)課程教學(xué)目標(biāo)．

1　利用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式提高課堂教學(xué)效率

復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)、微積分、級數(shù)等概念與高等數(shù)學(xué)中一元實變函數(shù)相應(yīng)知識點基本一致，可以看作是實數(shù)范圍內(nèi)的相應(yīng)內(nèi)容直接推廣到復(fù)數(shù)范圍，但復(fù)變函數(shù)也有許多其獨(dú)有的性質(zhì)和定理，這些是教學(xué)的重點和難點．針對這個特點，嘗試?yán)梅D(zhuǎn)課堂（Flipped Classroom）教學(xué)模式來輔助完成教學(xué)，力爭用時少，但質(zhì)量高[3]．課前學(xué)生利用中國大學(xué)MOOC、智慧樹網(wǎng)站平臺以及國內(nèi)重點大學(xué)（如北京師范大學(xué)、西安交通大學(xué)等）等開放的課程視頻自學(xué)相關(guān)課節(jié)內(nèi)容；課上師生針對疑難問題進(jìn)行交流討論，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確掌握課程知識點．與傳統(tǒng)“滿堂灌”的教學(xué)模式相比，翻轉(zhuǎn)課堂的優(yōu)勢是通過多渠道的學(xué)習(xí)資源以及課堂互動討論環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和獨(dú)立思考的能力[4-6]．但教師在布置自學(xué)內(nèi)容時要設(shè)計探究性的問題，引導(dǎo)學(xué)生帶著問題邊學(xué)習(xí)邊思考，這是利用翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式提高課堂效率的重要保證．復(fù)變函數(shù)中的泰勒級數(shù)與高等數(shù)學(xué)中冪級數(shù)相關(guān)度很高，可以利用翻轉(zhuǎn)課堂組織該部分教學(xué)．在學(xué)生自學(xué)前，教師提出思考問題：冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓域內(nèi)為解析函數(shù)，圓域內(nèi)解析的函數(shù)是否可以展成冪級數(shù)，如何展開成冪級數(shù)，如何確定展開級數(shù)的收斂圓域半徑．課堂上通過師生討論給出問題的答案．這樣即節(jié)省了寶貴的課堂授課時間，又培養(yǎng)了學(xué)生的主動探究能力．翻轉(zhuǎn)課堂同樣可以延伸到課外的QQ群、微信群中，形成線上/線下混合的討論式、探究式輔助教學(xué)模式，使學(xué)生獲得較好的學(xué)習(xí)效果．

但是需要注意的是，即使利用翻轉(zhuǎn)課堂，教師在課堂上也需要對重要的知識點進(jìn)行詳細(xì)的講解．如復(fù)數(shù)四則運(yùn)算及乘方、開方運(yùn)算，這部分內(nèi)容學(xué)生在初等代數(shù)中接觸過，可以利用翻轉(zhuǎn)課堂開展教學(xué)．但這部分知識在后續(xù)的復(fù)積分估值不等式以及解析函數(shù)的性質(zhì)定理中反復(fù)應(yīng)用．因此，教師在課堂上解答課前問題的同時，仍需通過例題形式突出講解復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，加深學(xué)生對運(yùn)算法則的理解，為后續(xù)定理證明奠定良好的基礎(chǔ)．

2　利用可視化教學(xué)增強(qiáng)學(xué)生抽象思維及空間想象能力

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圖1　指數(shù)函數(shù)的四維圖像

3　利用應(yīng)用實例加強(qiáng)課程知識點的理解

作為信號與信息分析領(lǐng)域中重要的數(shù)學(xué)工具，傅里葉（Fourier）積分變換是復(fù)變函數(shù)與積分變換課程中的重要教學(xué)內(nèi)容．但是在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生對積分變換內(nèi)容很容易產(chǎn)生厭學(xué)情緒，主要原因有：（1）積分變換過程中大量的數(shù)學(xué)公式增加了學(xué)生的計算難度；（2）學(xué)生對高度抽象的傅里葉變換缺少實踐應(yīng)用的直觀認(rèn)識．針對這些問題，在教學(xué)過程中調(diào)整教學(xué)重點：（1）由于傅里葉變換的相關(guān)運(yùn)算已經(jīng)非常成熟，實際應(yīng)用時可以直接調(diào)用函數(shù)，所以講授該部分內(nèi)容時可以淡化復(fù)雜的計算；（2）對于工科學(xué)生來說，學(xué)習(xí)的重點是理解好傅里葉變換的物理意義并能正確應(yīng)用傅里葉變換．因此，在正式講授積分變換前通過具體實例介紹傅里葉變換在信號檢測、信號去噪以及美圖等領(lǐng)域的應(yīng)用[11]．首先，用Matlab程序?qū)唵蔚膯晤l正弦信號做傅里葉變換，演示變換后的頻譜圖；接下來，介紹在語音信號傳輸過程會受到噪音干擾的情況，通信領(lǐng)域去噪音的方法是：利用傅里葉變換將時域信號（原始信號）變?yōu)榉蛛x的頻譜信號，然后通過濾波器在頻域里去除噪聲部分（見圖2）[12]．最后，教師向?qū)W生繼續(xù)介紹傅里葉變換在美圖中的應(yīng)用：由于圖像的色彩主要由色彩頻率決定，高頻分量代表了圖像的細(xì)節(jié)，紋理信息，低頻部分代表了圖像的輪廓信息．因此可以利用傅里葉變換把圖片從空間域轉(zhuǎn)化為頻率域，通過濾波的方式刪掉高頻部分函數(shù)，再進(jìn)行傅里葉逆變換把圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到圖像域，這樣就刪掉了某些細(xì)節(jié)問題（如臉上的斑點、皺紋等），實現(xiàn)美圖效果．通過這些具體實例講解，引導(dǎo)學(xué)生歸納出傅里葉變換的物理意義：傅里葉變換就像數(shù)學(xué)上的棱鏡，它能夠把多個頻率分量疊加組成的信號函數(shù)按照頻率進(jìn)行分解，然后可以對信號的頻譜進(jìn)行分析處理．一系列的應(yīng)用介紹能夠明顯激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，有效提高教學(xué)效果．

圖2　含噪語音的時域波形和頻譜

4 結(jié)語

在復(fù)變函數(shù)與積分變換課程學(xué)時量減少的情況下，教師應(yīng)結(jié)合實際教學(xué)情況，利用現(xiàn)代信息技術(shù)合理安排教學(xué)內(nèi)容，探索多種形式相融合的教學(xué)模式，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生分析問題和解決問題的能力，為后續(xù)課程學(xué)習(xí)奠定良好的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)．

[1] 全國高校工科數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會．《復(fù)變函數(shù)》教學(xué)基本要求[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，1986（2）：123．

[2] 教育部高等學(xué)校教學(xué)指導(dǎo)委員會．普通高等學(xué)校本科專業(yè)類教學(xué)質(zhì)量國家標(biāo)準(zhǔn)[M]．北京：高等教育出版社，2018．

[3] 何朝陽，歐玉芳，曹祁．美國大學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的啟示[J]．高等工程教育研究，2014（2）：148-151．

[4] 王國棟，卓春英．Mooc+翻轉(zhuǎn)課課堂視域下工程數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式研究[J]．北京城市學(xué)院學(xué)報，2016（5）：43-46．

[5] 劉海成，李艷鳳，代冬巖，等．基于“微課+翻轉(zhuǎn)課堂”的高等數(shù)學(xué)混合教學(xué)實踐研究[J]．高師理科學(xué)刊，2020，40（1）： 64-67．

[6] 廖國建，何穎，謝建平．以達(dá)托霉素產(chǎn)生菌菌株改造為主線的微生物工程綜合實驗的探索和實踐[J]．微生物學(xué)通報， 2018，45（3）：713-716．

[7] 張雪峰，張英博．ＭALAB在復(fù)變函數(shù)中輔助教學(xué)作用[J]．曲阜師范大學(xué)學(xué)報，2020（4）：117-121．

[8] 薛定宇，陳陽泉．高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的ＭALAB求解[M]．北京：清華大學(xué)出版社，2004．

[9] 韓英，陳佳旗．復(fù)變函數(shù)的可視化問題研究[J]．北京石油化工學(xué)院學(xué)報，2012（4）：61-64．

[10] 王正林，龔純，何倩．精通MATLAB科學(xué)計算[M]．北京：電子工業(yè)出版社，2007．

[11] 郭勇，楊立東．Fourier變化的工程例證式教學(xué)法探索[J]．高師理科學(xué)刊，2020，40（2）：76-83．

[12] 朱瑩，王淵，余璟，等．以工程應(yīng)用為牽引的傅里葉變換性質(zhì)教學(xué)探討[J]．科教文匯，2021（23）：101-103．

The teaching methods of complex function and integral transform

HUA Jie，DONG He，WANG Yuhai，ZHANG Gang，WANG Jin

（School of Information Technology，Jilin Normal University，Siping 136000，China）

Complex function and integral transformation is a compulsory basic course for science and engineering majors in colleges and universities，such as electronic information，electrical engineering，and automation specialty etc．In order to improve the quality of classroom teaching，the flipped classroom mode is used to improve classroom teaching efficiency，visual teaching is used to enhance students′ ability of abstract thinking and spatial imagination，and application instances are used to strengthen the understanding of knowledge points in the course，which can enable students to systematically and accurately master the core idea of complex function and integral transform，enhance their thinking ability of mathematics，lay a foundation for the study of subsequent professional courses．

complex function；integral transform；teaching method；learning interesting

1007-9831（2022）09-0067-04

O174.5∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2022.09.014

2021-11-09

2021年吉林省高等教育教學(xué)改革研究課題（JLJY202144925817）

華杰（1973-），女，吉林柳河人，教授，博士，從事工程數(shù)學(xué)類課程教學(xué)研究．E-mail：huajiehj@163.com